郁元順

[摘 要] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要思維的驅(qū)動(dòng)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)需要學(xué)生的思維參與，數(shù)學(xué)思維需要實(shí)際需要的驅(qū)動(dòng). 結(jié)合初中數(shù)學(xué)中的基本概念，通過問題情境與問題變式，來驅(qū)動(dòng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)概念的意義，是有效教學(xué)的重要途徑.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；實(shí)際需要；數(shù)學(xué)思維

通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)是抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的是符號(hào)及符號(hào)之間的運(yùn)算. 這樣的認(rèn)識(shí)是正常的，因?yàn)閿?shù)學(xué)就是研究數(shù)與形的科學(xué)，數(shù)是抽象的，形也是實(shí)際事物抽象的結(jié)果，因此可以說抽象是數(shù)學(xué)固有的屬性. 但在實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)另外一種情形，那就是很多學(xué)生恰恰是因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象才感覺到數(shù)學(xué)難學(xué)的. 這就造成了一個(gè)悖論：數(shù)學(xué)本身是抽象的，但學(xué)生卻因?yàn)槌橄蠖幌矚g數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 如何化解這個(gè)悖論呢？筆者以為關(guān)鍵在于需要理清數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系. 數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不一樣的，數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著超越數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)研究本身的另外的需要. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)教學(xué)需要注重形象思維（這與初中學(xué)生的思維特征是一致的，形象思維依然占據(jù)主導(dǎo)地位的初中學(xué)生，需要形象思維作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的支撐），但是形象思維是不是就意味著用生動(dòng)形象的事物呈現(xiàn)在學(xué)生面前，以讓學(xué)生感覺好玩、有趣呢？是不是要用現(xiàn)代教學(xué)手段，用聲光電去刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)需求呢？筆者以為并不全然如此，因?yàn)閿?shù)學(xué)本身所具有的抽象特征，決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)終歸是要走理性的道路的. 因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，用具有形象思維的本質(zhì)去驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，才是有效教學(xué)的根本. 基于這樣的判斷，筆者提出用實(shí)際問題及其產(chǎn)生的學(xué)習(xí)需要，去驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，本文嘗試就此問題進(jìn)行探討.

創(chuàng)設(shè)情境，體驗(yàn)實(shí)際需要

實(shí)際需要是由實(shí)際問題驅(qū)動(dòng)的，實(shí)際問題來源于生活，如果能夠引用學(xué)生體驗(yàn)過的實(shí)際生活，或者改造成為學(xué)生能夠理解接受的生活，那其就是有效的. 考慮到上面所說的實(shí)際需要對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維驅(qū)動(dòng)的重要作用，筆者采取了創(chuàng)設(shè)情境的辦法，以讓學(xué)生在實(shí)際需要的體驗(yàn)當(dāng)中認(rèn)識(shí)引入負(fù)數(shù)的必要性. 具體做法如下：

第一步，基于教材設(shè)計(jì)，創(chuàng)設(shè)問題情境. 這一步的情境創(chuàng)設(shè)靈感來源于教材，也采用了教材中的相關(guān)素材，但筆者的思路不僅僅是讓學(xué)生感覺簡(jiǎn)單的數(shù)的產(chǎn)生史，更在于讓學(xué)生產(chǎn)生一種心境，以強(qiáng)化數(shù)在不斷發(fā)展的認(rèn)識(shí). 筆者用多媒體向?qū)W生呈現(xiàn)教材上的三幅插圖，讓學(xué)生感受最古老的計(jì)數(shù)的產(chǎn)生過程——教師要特別強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)需要本身驅(qū)動(dòng)了數(shù)的產(chǎn)生，而這個(gè)數(shù)其實(shí)就是已經(jīng)學(xué)過的“正數(shù)”；第二幅插圖給出了“0”（這個(gè)時(shí)候筆者并沒有呈現(xiàn)第三幅圖），讓學(xué)生將“沒有”與“0”產(chǎn)生對(duì)應(yīng)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)是在不斷發(fā)展的. 在這一步中，筆者特地引導(dǎo)學(xué)生比較兩幅圖，以生成數(shù)的發(fā)展的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上再呈現(xiàn)第三幅圖，學(xué)生自然就認(rèn)識(shí)到原來在正數(shù)、0的基礎(chǔ)上，又引入了負(fù)數(shù). 由此，便產(chǎn)生了一種隱性的需要.

第二步，基于邏輯思維，判斷數(shù)的發(fā)展方向. 在上面三幅圖比較完畢之后，給學(xué)生提出一個(gè)問題：你認(rèn)為數(shù)為什么會(huì)不斷發(fā)展？根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生起初會(huì)感覺到這個(gè)問題有點(diǎn)空泛，不知道從何答起. 此時(shí)只要稍作點(diǎn)撥，學(xué)生就發(fā)現(xiàn)實(shí)際生活中的需要，讓數(shù)有了新的發(fā)展. 這個(gè)時(shí)候?qū)W生一般是想不到發(fā)展方向的，但一定會(huì)認(rèn)識(shí)到數(shù)是有發(fā)展方向的. 記得班上有一個(gè)學(xué)生在下面插言：“負(fù)數(shù)也是實(shí)際需要之下才產(chǎn)生的嗎？”課后筆者與這個(gè)學(xué)生交流，才知道他已經(jīng)在校外機(jī)構(gòu)學(xué)過這一內(nèi)容，但并沒有從實(shí)際需要的角度形成認(rèn)知.

第三步，基于上述認(rèn)知提出新的問題. 新的問題是：在我們的生活中還有一種新的情形，這種情形用我們小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)已經(jīng)無(wú)法描述，這也是一種現(xiàn)實(shí)需要，它能不能讓我們想出新的數(shù)來描述呢？這里筆者舉出了零下溫度的例子，但并沒有直接給出負(fù)數(shù)的概念，而是讓學(xué)生自己去想辦法用數(shù)描述這種現(xiàn)實(shí)需要. 這也算是實(shí)際問題的驅(qū)動(dòng)方式，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有著明顯的激發(fā)作用.

分析需要，建立數(shù)學(xué)概念

在上述問題的基礎(chǔ)上，學(xué)生此時(shí)的思維已經(jīng)集中在“能不能自己想個(gè)數(shù)去描述新的實(shí)際需要（零下溫度的表示）”上. 這個(gè)時(shí)候?qū)嶋H需要已經(jīng)開始明顯驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，而這一過程實(shí)際上又是具有顯著的探究特征的，畢竟用一個(gè)新的數(shù)來描述新的情況，是學(xué)生此前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中很少遇到的. 從課堂教學(xué)的即時(shí)情況來看，這一策略是成功的，因?yàn)閷W(xué)生在十分鐘左右的時(shí)間內(nèi)想到了很多的方法，而其中不少方法就與負(fù)數(shù)思想密切相關(guān). 結(jié)合課后跟學(xué)生交流的情況，筆者大致了解了學(xué)生在課堂上的想法.

有的學(xué)生認(rèn)為，零下的溫度可以在正數(shù)之前加上文字，就如“零下”兩個(gè)字就行了，但小組內(nèi)的其他學(xué)生就有反對(duì)意見，認(rèn)為漢字與數(shù)字混在一起，不倫不類，不能算是很好的方法；也有學(xué)生說能不能在零下的那個(gè)溫度的數(shù)值的上面或者下面加一個(gè)記號(hào)，如一橫，這樣就可以知道其是表示零下的溫度的；還有學(xué)生說既然是零下的溫度，那就可以想想零上溫度的表示有沒有什么特別的地方，結(jié)果發(fā)現(xiàn)日常所用的正數(shù)（學(xué)生此時(shí)還沒有正數(shù)的概念）沒有什么特別之處，因此思維就暫時(shí)陷入了困境. 當(dāng)然也有學(xué)生因?yàn)橹皩W(xué)過，或者在生活中聽說過等原因，提出了負(fù)數(shù)的概念. 這個(gè)時(shí)候在他們的意識(shí)當(dāng)中，負(fù)數(shù)前面的那個(gè)負(fù)號(hào)，已經(jīng)與實(shí)際需要產(chǎn)生了或斷或續(xù)的聯(lián)系，盡管這種聯(lián)系此時(shí)還不是很明確，但已經(jīng)能夠?yàn)楹竺娴膶W(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

有了學(xué)生豐富的思考，這個(gè)時(shí)候結(jié)合溫度計(jì)上的示數(shù)（用幻燈片放大），且在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，告訴學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的數(shù)其實(shí)都是正數(shù)，前面應(yīng)當(dāng)有個(gè)正號(hào)，只不過因?yàn)槭褂闷毡椋３Ｊ÷粤诉@個(gè)符號(hào). 如果需要表示零下的溫度，則可以在正數(shù)前面加上一個(gè)不可省略的負(fù)號(hào)，成為一個(gè)新的數(shù)，即負(fù)數(shù). 于是，負(fù)數(shù)概念自然形成.

隨后，數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的變式思想派上了用場(chǎng). 此時(shí)筆者向?qū)W生提問：生活中有沒有其他場(chǎng)合也是需要用負(fù)數(shù)的呢？這個(gè)時(shí)候，因?yàn)榍懊嫠龅匿亯|，學(xué)生已經(jīng)知道要尋找與已知實(shí)例相聯(lián)系，但情形又具有相反性質(zhì)的事物了. 于是，賺錢與花錢的例子，家庭里增加人與減少人的例子，圖書館里還回來的書與借出的書等，都成為理解負(fù)數(shù)概念的生動(dòng)鮮活的生活例子.

需要指出的是，學(xué)生舉例的過程，實(shí)際上也是內(nèi)心對(duì)負(fù)數(shù)概念認(rèn)識(shí)需要之下的數(shù)學(xué)思維過程，到此，負(fù)數(shù)概念就相對(duì)深刻了.

實(shí)踐應(yīng)用，深化概念理解

用應(yīng)用來強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念理解，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的常規(guī)手段，但有一點(diǎn)必須認(rèn)清，那就是簡(jiǎn)單的例題呈現(xiàn)并不是真正的數(shù)學(xué)應(yīng)用，往往還有可能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān). 因?yàn)槿绻诮忸}中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，且被教師懲罰了的話，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心與積極性沒有什么好處. 反之，如果教師能夠精心加工實(shí)踐應(yīng)用情形的出現(xiàn)方式，則可以讓學(xué)生產(chǎn)生自主解決問題的需要，使學(xué)習(xí)效果得到提高.

筆者找到了一道例題：下列國(guó)家的商品進(jìn)出口總額比上年的變化情況是：美國(guó)減少6.4%，德國(guó)增長(zhǎng)1.3%，法國(guó)減少2.4%，英國(guó)減少3.5%，意大利增長(zhǎng)0.2%，中國(guó)增加7.5%，寫出這些國(guó)家這一年商品進(jìn)出口總額的增長(zhǎng)率. 然后筆者對(duì)其進(jìn)行了習(xí)題情境的改編：今天我們生活的改善，得益于中國(guó)的改革開放，自改革開放以來，中國(guó)經(jīng)濟(jì)問題的增長(zhǎng)居世界前列，相比較而言，其他國(guó)家的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)則是不同景象. 某一年的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是這樣的：美國(guó)減少6.4%，德國(guó)增長(zhǎng)1.3%，法國(guó)減少2.4%，英國(guó)減少3.5%，意大利增長(zhǎng)0.2%，中國(guó)增加7.5%.

然后進(jìn)一步闡述：同學(xué)們看出來了沒有，有的國(guó)家是增長(zhǎng)的，有的國(guó)家是減少的，你們想到了什么？留幾秒鐘的時(shí)間讓學(xué)生思考，最后提出問題：這些國(guó)家這一年商品進(jìn)出口總額的增長(zhǎng)率是多少？

這一段描述需要高度重視的語(yǔ)氣，要將學(xué)生引入到因?yàn)橹袊?guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度很快而產(chǎn)生的自豪感與認(rèn)同感中，這是學(xué)生產(chǎn)生問題解決需要的關(guān)鍵. 很多情況下，因?yàn)榻處煵磺‘?dāng)?shù)恼Z(yǔ)氣，讓學(xué)生一眼就看出了只是換個(gè)花樣讓他們做題，一旦那樣，問題情境就不大可能讓學(xué)生產(chǎn)生解決問題的需要. 隨后的學(xué)習(xí)過程就簡(jiǎn)單了，只要學(xué)生認(rèn)識(shí)到“增長(zhǎng)”與“減少”是互為相反的，需要用正數(shù)和負(fù)數(shù)分別表示再運(yùn)算就行了. 真正達(dá)到了這一效果，實(shí)際上就深化了對(duì)正數(shù)和負(fù)數(shù)概念的理解.

總結(jié)分析，建立數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貴在得法，貴在學(xué)生的內(nèi)心產(chǎn)生一種滿足自我需要的學(xué)習(xí)動(dòng)力. 因此，在新的知識(shí)學(xué)習(xí)之后總結(jié)知識(shí)的形成過程是非常有必要的. 在正數(shù)與負(fù)數(shù)的概念學(xué)習(xí)之后，筆者讓學(xué)生回想負(fù)數(shù)的形成過程，再一次清晰地認(rèn)識(shí)到是因?yàn)閷?shí)際需要，驅(qū)動(dòng)了新的數(shù)學(xué)概念的生成.

在此基礎(chǔ)上告訴學(xué)生，其實(shí)很多數(shù)學(xué)概念的形成都遵循著同樣的途徑，有的是因?yàn)閷?shí)際生活的需要，有的則是因?yàn)閿?shù)學(xué)發(fā)展的需要，但無(wú)論是什么樣的需要，都是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力所在. 因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，如果學(xué)生能認(rèn)識(shí)到用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)生活需要進(jìn)行描述存在不夠的情形，那就說明新的數(shù)學(xué)概念即將誕生. 這樣的過程，與數(shù)學(xué)發(fā)展的過程有質(zhì)的相似，是真正的數(shù)學(xué)探究過程. 而這樣的認(rèn)識(shí)一旦形成，數(shù)學(xué)入門即成事實(shí).