湖北省黃石二中(435000)

張熙靈●

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不等式問題證明與思路

湖北省黃石二中(435000)

張熙靈●

不等式問題、數(shù)列問題以及函數(shù)問題是歷年高中數(shù)學(xué)的壓軸大題，其中不等式問題更是進(jìn)入大學(xué)后高等數(shù)學(xué)難題中的領(lǐng)頭羊.一般而言，不等式問題，解題方法主要有比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、判別式法等十多種方法.本文另辟蹊徑，通過三個例題，從易到難分別介紹構(gòu)造法、函數(shù)法、泰勒級數(shù)法在不等式問題中的應(yīng)用，并對不等式問題的證明方法進(jìn)行總結(jié)，提出針對不等式問題的想法.

不等式；構(gòu)造法；函數(shù)法；泰勒公式

一、構(gòu)造法證明不等式

構(gòu)造法證明不等式其實質(zhì)是將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.借助其他形式，如函數(shù)，二次方程的Δ，數(shù)列，向量等，通過一系列的數(shù)學(xué)運算與化簡，把不等式的證明轉(zhuǎn)換為其他類型函數(shù)或方程的求解.如下題，把不等式的證明轉(zhuǎn)換為二次方程根的存在性，巧妙地避開了直接運算不等式而帶來的復(fù)雜計算，為不等式的證明方法提供了一個新的思路.

證明 構(gòu)造方程(tanγ-2tanα)x2-2(tanαtanβ)x+(2tanβ-tanγ)=0.

1)若tanγ-2tanα=0，因為(tanαtanβ)2≥0，所以原不等式成立.

2)若tanγ-2tanα≠0，當(dāng)x=-1時，

(tanγ-2tanα)+2(tanαtanβ)+(2tanβ-tanγ)=0，

所以x=-1是方程的根.所以Δ=4(tanαtanβ)2-4(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)≥0,所以(tanαtanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ).得證.

注：形如B2-AC≥0(或≤0)型不等式可嘗試用構(gòu)造二次方程來解.

二、函數(shù)法證明不等式

所謂函數(shù)法，就是從要證明不等式中的某些解析式出發(fā)，通過構(gòu)造一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，并利用函數(shù)的性質(zhì)，完成不等式的證明.其主要的解題思路為，先把不等式化簡，用某一函數(shù)代替不等式中復(fù)雜部分，然后針對不同類型的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)值的有界性或根的存在性求得參量的取值范圍，再通過一系列數(shù)學(xué)運算最終證明之.

4(3y+1)2-4(7y-11)(3y+1)≥0，從而有： (3y+1)(y-3)≤0 ，

三、利用泰勒級數(shù)證明不等式

證 由泰勒公式可得(令x0分別為-h與+h)：

所以，當(dāng)limh→0 時，f″(x)≥0，命題得證.

[1]胡漢明. 不等式證明問題的思考方法[J].數(shù)學(xué)通訊，2001(9):22-23．

[2]胡炳生，吳俊. 現(xiàn)代觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2001:2118-223.

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