何魏

摘要：函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要板塊內(nèi)容，特別是一元二次函數(shù)，因?yàn)樗蛿?shù)學(xué)中的其他板塊有著密切的聯(lián)系，比如說代數(shù)和三角函數(shù)和幾何之類的，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須學(xué)好這幾個(gè)基礎(chǔ)要素，特別是一元二次函數(shù)，因?yàn)樗菍W(xué)好其他環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)，現(xiàn)在的中考題往往是結(jié)合一元二次函數(shù)。幾何圖形和生活中的例子來考察學(xué)生的綜合能力，但是這對(duì)初中生來說具有一定的挑戰(zhàn)性，學(xué)生對(duì)這些已經(jīng)產(chǎn)生了恐懼心理。本論文就從一元二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系進(jìn)行解讀，為考生的歸納復(fù)習(xí)提供建議和參考。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；二次方程；關(guān)系；初中數(shù)學(xué)；函數(shù)

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們好多的同學(xué)，都存在一個(gè)認(rèn)為是最難的知識(shí)點(diǎn)，那就是：“二次函數(shù)”。沒錯(cuò)，不僅僅是學(xué)生覺得二次函數(shù)難，包括大多數(shù)從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一線教師也會(huì)有同樣的感受。那么，怎樣才能學(xué)好二次函數(shù)，就成為了初中學(xué)生和老師最最苦惱的問題。二次函數(shù)之所以難，我認(rèn)為二次函數(shù)難就難在函數(shù)本身就是一個(gè)比較抽象的知識(shí)，再加學(xué)生接觸函數(shù)時(shí)間還不長的，同時(shí)二次函數(shù)還有三個(gè)參數(shù)，比一次函數(shù)和反比例函數(shù)都多，還有就是二次函數(shù)的題目不僅僅考它本身的知識(shí)，它還可以把初中所有的代數(shù)和幾何知識(shí)放入其中，同時(shí)二次函數(shù)還是我們后面學(xué)習(xí)其它函數(shù)的基礎(chǔ)；可見，二次函數(shù)成為各個(gè)地區(qū)中考的壓軸題就變成了理所當(dāng)然的事。

既然二次函數(shù)題可以把初中所有的代數(shù)和幾何知識(shí)放入其中，因此，把二次函數(shù)與其它知識(shí)緊密聯(lián)系起來，是我們老師和學(xué)生必須掌握的基本數(shù)學(xué)原理。在這里，我就淺談一下二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系以及怎樣運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)來解決一些二次函數(shù)的題目，希望能給同學(xué)們和老師一點(diǎn)點(diǎn)啟示和收獲。

一、二次函數(shù)與一元二次方程形式上的聯(lián)系與區(qū)別

我們非常清楚的知道，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：f（x）=ax2+bx+c，（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）。認(rèn)真觀察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）和二次函數(shù)：f（x）=ax2+bx+c，（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）， 不難發(fā)現(xiàn)，它們?cè)谛问缴蠋缀跸嗤?，差別也只是一元二次方程的表達(dá)式等于0，而二次函數(shù)的表達(dá)式等于y（變量） 。為什么會(huì)這樣？那是因?yàn)楫?dāng)二次函數(shù)中的變量y 取0時(shí)，二次函數(shù)就變成了一元二次方程。

二、二次函數(shù)與一元二次方程在二次函數(shù)圖像上的關(guān)系

正是因?yàn)槎魏瘮?shù)與一元二次方程在形式上的類似，使得二者在二次函數(shù)的圖像上的關(guān)系格外密切。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，在求拋物線：f（x）=ax2+bx+c與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，令y=0，即：ax2+bx+c=0，二次函數(shù)一下就變成了一元二次方程，再求出該方程的解，這個(gè)方程的解便是拋物線與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三種情況①Δ=b2-4ac>0時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；②Δ=b2-4ac=0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根③Δ=b2-4ac<0時(shí)沒有實(shí)數(shù)根；相應(yīng)地：拋物線f（x）=ax2+bx+c與x 軸的交點(diǎn)情況有3種：①當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)②當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)③當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)，拋物線與x 軸有沒有交點(diǎn)。所以，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像與x 軸的交點(diǎn)情況與一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情況有關(guān)。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2（x1

三、應(yīng)用一元二次方程解決二次函數(shù)問題

正是因?yàn)橐辉畏匠膛c二次函數(shù)無論在形式上，還是在圖形上，關(guān)系都十分緊密，二次函數(shù)的圖像是一條曲線——拋物線 ，二次函數(shù)的點(diǎn)是坐標(biāo)表示；一元二次方程的解是點(diǎn)，與x軸有二個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn) ；所以在解決很多二次函數(shù)題時(shí)，經(jīng)常都要應(yīng)用一元二次方程的知識(shí)。這里，我就列舉幾個(gè)典型題型：

例題（1）

求證：二次函數(shù)y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值恒為正。

分析：要證明該函數(shù)的函數(shù)值恒為正，只要能夠證明到該拋物線的開口向上且與x 軸沒有交點(diǎn)即可，二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，當(dāng)a >0時(shí)，圖像開口向上；當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)，拋物線與x 軸沒有交點(diǎn)。

所以本題只需證明到a >0同時(shí)Δ=b2-4ac<0。就可

證明：y=3x2+（2m+3）x+2m2+1

Δ=（2m+3）2-12（2m 2+1）=-20（m-10）2-5，

∵（m-10）2≥0，

∴-20（m-10）2≤0，

∴Δ=-20（m-10）2-5<0，

∴拋物線與x 軸沒有交點(diǎn)，

∵3>0，∴拋物線開口向上，

∴二次函數(shù)y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值恒為正.

例題（2）：二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1，0）、（3，0），且與y 軸交于（0，3），求該二次函數(shù)的解析式。

分析：本題除了可用二次函數(shù)的交點(diǎn)式和一般式來解外，還可以用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理來解決該題。

過程如下：

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c， ∵拋物線與y 軸交于（0，3），

∴c=3，

∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1，0）、（3，0），

∴一元二次方程：ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1=1，x2=3

∴a=-1， b=2，∴

即：二次函數(shù)的解析式為：y=-x2+2x+3

例題（3）： 如圖，，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x1，0）， B（x2，0） ， 且x1+x2=4， x1x2=13。

（1）求拋物線的代數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線與y軸交于C點(diǎn)，求直線BC的表達(dá)式；

（3）求△ABC的面積.

解：（1）解方程組x1+x2=4x1x2=13 ， 得x1=1，x2=3.

故-12+b+c=0-32+3b+c=0 ，解這個(gè)方程組，得b=4，c=-3.

所以，該拋物線的代數(shù)表達(dá)式為y=-x2+4x-3.

（2）設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+m.

由（1）得，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）.

所以m=-33k+m=0 ， 解得k=1m=-3

∴直線BC的代數(shù)表達(dá)式為y=x-3

（3）由于AB=3-1=2，OC=│-3│=3.

故S△ABC=12AB·OC=12×2×3=3.

例題（4）.在體育測試時(shí)，初三的一名高個(gè)子男生推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線是某二次函數(shù)圖像的一部分（如圖），若這個(gè)男生出手處A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），鉛球路線的最高處B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（6，5）.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）該男生把鉛球推出去多遠(yuǎn)？（精確到0.01米）.

分析：這是一個(gè)實(shí)際問題，由于推出的鉛球不可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)，所以在求出函數(shù)解析式的時(shí)候要注意自變量x取值范圍。

解：（1）設(shè)y=a（x-6）2+5，則由A（0，2），得2=a（0-6）2+5，得a=-112.

故y=-112（x-6）2+5.（x≥0）

（2）由 -112（x-6）2+5=0，得x1=6+215，x2=6-215.

結(jié)合圖像可知：C點(diǎn)坐標(biāo)為（6+215，0）

故OC=6+215≈13.75（米）

即該男生把鉛球推出約13.75米.

我們通過上面的4個(gè)例子，你得到了什么啟示？又有哪些收獲？正是由于二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的關(guān)系，所以在解決二次函數(shù)問題時(shí)經(jīng)常會(huì)應(yīng)用二元一次方程的知識(shí)。我們一定要牢牢掌握好二次函數(shù)與一元二次方程的密切關(guān)系，在面對(duì)二次函數(shù)時(shí)，巧妙的運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)來解決二次函數(shù)中的問題。使我們能更好的理解二次函數(shù)的數(shù)學(xué)原理以及掌握其解題技巧。

（作者單位：四川蓬安縣茶亭鄉(xiāng)中心小學(xué)校 637800）endprint