陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609)

童永奇●

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處理立體幾何問(wèn)題的常用數(shù)學(xué)思想

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609)

童永奇●

本文擬通過(guò)歸類(lèi)舉例的形式，具體說(shuō)明處理有關(guān)立體幾何問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到的一些重要的數(shù)學(xué)思想，旨在幫助讀者拓寬解題思維，進(jìn)一步提高分析、解決此類(lèi)問(wèn)題的實(shí)際能力.

類(lèi)型一、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化既是一種思想，又是一種策略，也是一種方法.對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析思考后，認(rèn)為需要轉(zhuǎn)變成另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這就是轉(zhuǎn)化思想.轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)就是“尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化”.

(Ⅰ)求該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；

(Ⅱ)求PC和NC的長(zhǎng).

分析 第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，根據(jù)正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形即可獲解；第二問(wèn)的難點(diǎn)在于，準(zhǔn)確分析最短路線(xiàn)對(duì)應(yīng)的具體情景——可借助側(cè)面展開(kāi)圖，將空間中的最小值問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為平面中的最小值問(wèn)題，以便靈活利用平面幾何知識(shí)加以思考.

(Ⅱ)如圖，將側(cè)面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)120°，使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面內(nèi)，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置，連接MP1，則易知MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1到點(diǎn)M的最短路線(xiàn).

(Ⅰ)求證：EF∥平面ABC；

(Ⅱ)求證：平面ACD⊥平面BCDE；

(Ⅲ)求直線(xiàn)BD與平面AED的夾角θ的正弦值.

分析 第一問(wèn)考慮直線(xiàn)與平面平行的判定定理可知，欲證直線(xiàn)與平面平行，即證直線(xiàn)與直線(xiàn)平行；第二問(wèn)考慮平面與平面垂直的判定定理可知，欲證平面與平面垂直，即證直線(xiàn)與平面垂直；第三問(wèn)考慮空間向量法可知，欲求線(xiàn)面夾角的正弦值，即求直線(xiàn)的一個(gè)方向向量與平面的一個(gè)法向量的夾角的余弦值.

又EF?平面ABC，BM?平面ABC，故由線(xiàn)面平行的判定定理，得EF∥平面ABC.

∴AC2+BC2=AB2，

∴AC⊥BC.

∵CD⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴CD⊥AC.

于是，由BC∩CD=C及線(xiàn)面垂直的判定定理，得AC⊥平面BCDE.

又AC?平面ACD，故由面面垂直的判定定理，得平面ACD⊥平面BCDE.

設(shè)平面AED的法向量n=(x,y,z)，則

評(píng)注 本題主要考查立體幾何中線(xiàn)面平行、面面垂直的判定定理和空間向量法，突出地體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化思想”在分析、解決問(wèn)題中的靈活運(yùn)用.

類(lèi)型二、分類(lèi)與整合思想

分類(lèi)與整合思想是指當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)每一類(lèi)分別研究得出每一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整體問(wèn)題的解答.實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)與整合是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)解題策略.

分析 由于球心O與正三棱錐A-BCD的位置關(guān)系不確定，所以本題應(yīng)分情況加以討論.為了便于分析求解，在每種情況下需要先畫(huà)出圖形，并通過(guò)適當(dāng)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形.

解析 設(shè)正三角形△BCD的中心為H，作截面ABH.

由球心O與正三棱錐A-BCD位置關(guān)系的不同可分為以下兩種情況：

評(píng)注 從解題目標(biāo)看，難點(diǎn)是計(jì)算錐體的高，而在求高的過(guò)程中，必須注意圖形的不確定性，突出地體現(xiàn)了“分類(lèi)與整合思想”在分析、解決問(wèn)題中的靈活運(yùn)用.

例4 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體AC1中，E、G分別為棱C1D1、BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形AA1D1D的中心，則空間四邊形BGEF在正方體的六個(gè)面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形的面積中的最大值是____．

分析 為了便于求解射影面積的最大值，就必須分別求出空間四邊形BGEF在正方體的六個(gè)面內(nèi)的射影所構(gòu)成的六個(gè)圖形的面積.考慮正方體的對(duì)稱(chēng)性，只需求出三個(gè)相鄰面內(nèi)的射影.

解析 結(jié)合正方體的對(duì)稱(chēng)性可知，考查空間四邊形BGEF的射影面積可分以下三種情況：

評(píng)注 注意到本題以特殊的幾何體“正方體”為載體設(shè)置而成，可以大大降低分類(lèi)討論的過(guò)程，優(yōu)化解題思維，突出地體現(xiàn)了“分類(lèi)與整合思想”在分析、解決問(wèn)題中的靈活運(yùn)用.

類(lèi)型三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考查，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案．

例5 如圖，要在呈空間四邊形形狀的支撐架上安裝一塊矩形太陽(yáng)能吸光板，矩形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在空間四邊形ABCD的邊上.已知AC=a，BD=b，問(wèn)E、F、G、H在什么位置時(shí)，吸光板的吸光量最大.

分析 從目標(biāo)問(wèn)題看，要滿(mǎn)足吸光板的吸光量最大，即應(yīng)滿(mǎn)足矩形EFGH的面積最大.于是，可從“數(shù)”的角度出發(fā)，先得到該面積的表達(dá)式，再具體分析何時(shí)面積取得最大值即可順利獲解.

解析 設(shè)EH=x，EF=y，因?yàn)镋H∥FG，EH?平面ABD，F(xiàn)G?平面ABD，所以FG∥平面ABD.又FG?平面BCD，平面BCD∩平面ABD=BD，所以FG∥BD.同理可證EF∥HG∥AC.

故當(dāng)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)時(shí)，吸光板的吸光量最大.

評(píng)注 本題求解的關(guān)鍵是首先充分利用圖形，巧妙地給出矩形EFGH面積的表達(dá)式，然后再利用均值不等式確定該面積何時(shí)取得最大值.這種解法的優(yōu)點(diǎn)是將立體幾何問(wèn)題代數(shù)化，便于從“數(shù)”的角度加以研究，突出地體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”在分析、解決問(wèn)題中的靈活運(yùn)用.

例6 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段D1E上，點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為_(kāi)___.

分析 從正方體出發(fā)，很容易想到建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而考慮空間向量法，于是可從“數(shù)”的角度出發(fā)，先得到點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的解析表達(dá)式，再具體分析最小值即可順利獲解.

于是，

又直線(xiàn)CC1的一個(gè)單位方向向量

從而，點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離為

綜上，由于數(shù)學(xué)思想方法是高考考查的重點(diǎn)，所以我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)學(xué)會(huì)有意識(shí)地去考慮常用數(shù)學(xué)思想方法，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，逐步提升解題技能.

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