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        一道國(guó)外數(shù)學(xué)名題的研究性學(xué)習(xí)*

        2017-06-05 15:03:23方亞斌
        關(guān)鍵詞:名題將式正數(shù)

        ●方亞斌

        (南頭中學(xué) 廣東深圳 518052)

        一道國(guó)外數(shù)學(xué)名題的研究性學(xué)習(xí)*

        ●方亞斌

        (南頭中學(xué) 廣東深圳 518052)

        文章以第2屆“友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽的一道試題為題根,通過(guò)類比推廣、拓展構(gòu)造、變換移植,演繹出一批又一批形式優(yōu)美、風(fēng)格獨(dú)特的經(jīng)典試題,讓名題的價(jià)值世代相傳.

        特例;推廣;置換;拓展;演繹

        例1 已知a,b,c>0,求證:

        (a+b+c).

        (第2屆“友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)

        這道世界名題猶如一顆閃爍的明珠,璀璨奪目,光彩照人,歷經(jīng)歲月不斷的洗禮,仍舊閃爍著真理的光輝,傳承著名題的智慧和力量.幾十年來(lái),以這道名題為背景,各級(jí)各類命題專家探驪尋珠,通過(guò)類比推廣、拓展構(gòu)造、變換移植,演繹出一批又一批形式優(yōu)美、風(fēng)格獨(dú)特的經(jīng)典試題,讓名題的價(jià)值世代相傳.

        為了便于探究,筆者首先考察問(wèn)題的由來(lái):

        筆者將從6個(gè)角度進(jìn)行探究.

        探究思路1 特例考察

        考察式(1)的特例:令a+b+c=1,得:

        (2014年哈爾濱工程大學(xué)自主招生試題)

        探究思路2 推廣引申

        考察式(1)的一般情形,將3個(gè)正數(shù)推廣為n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an,由上述推導(dǎo)過(guò)程,易知

        令a1+a2+…+an=1,可得:

        (第24屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽10年級(jí)試題第2題)

        例3的等價(jià)問(wèn)題是:

        例4 設(shè)ai,bi∈R+(其中i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn,求證:

        (1991年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第3題)

        例3或例4的一個(gè)變式問(wèn)題是:

        (《數(shù)學(xué)通報(bào)》1994年11月號(hào)問(wèn)題925)

        探究思路3 置換分母

        根據(jù)式(1)的結(jié)構(gòu)特征,若保持左邊的分子不變,置換分母,則可以衍生一批新的不等式.

        若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用a+b,b+c,c+a替換,分子不變,則可得式(1)的一個(gè)“孿生”不等式:

        例6 若a,b,c>0,則

        (a+b+c).

        (《數(shù)學(xué)通報(bào)》1995年4月號(hào)問(wèn)題946)

        式(2)顯然成立(事實(shí)上,由式(1)推導(dǎo)過(guò)程不難知道,其左邊3項(xiàng)的分母b+c,c+a,a+b可以按照任意次序交換,分子不變,不等式仍然成立).若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用b+c-a,c+a-b,a+b-c替換,分子不變,可得:

        例7 設(shè)a,b,c是△ABC的3條邊,求證:

        c.

        (《數(shù)學(xué)教學(xué)》1996年1月號(hào)問(wèn)題384)

        若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用b-1,c-1,a-1替換,分子不變,則可得:

        (《數(shù)學(xué)教學(xué)》1999年4月號(hào)問(wèn)題488)

        例8的一種退化情形是:

        (第26屆獨(dú)聯(lián)體數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽10年級(jí)試題第1題)

        例8和例9的一般情形是:

        例10 如果ai>1(其中i=1,2,…,n),則

        事實(shí)上,由柯西不等式的變式可得

        若考察例8的一個(gè)類似情形,即假定a>b>c,則

        進(jìn)一步可得:

        (第32屆烏克蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

        若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用b+2c,c+2a,a+2b替換,則

        若令a+b+c=1,或abc≥1,則可得:

        例12 已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1,求證:

        (2009年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊試題)

        (2010年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊試題)

        探究思路4 置換分子

        根據(jù)式(1)的結(jié)構(gòu)特征,若保持分母不變,適當(dāng)改變分子的次數(shù),則又可以衍生一批新的不等式.

        如將式(1)的分子a2,b2,c2分別用a,b,c替換,分母不變,注意到

        (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

        例14的一般情形是:

        例15 設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且n≥2,a1+a2+…+an=s,求證:

        (1976年英國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

        例15的一個(gè)變式是:

        例16 設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an=1,求證:

        (1982年西德數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

        同理可得

        2個(gè)式子相加得

        從而

        同理可得

        3個(gè)式子相加得

        由柯西不等式知

        若令a+b+c≥1,可得:

        (2013年摩爾多瓦國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題)

        式(1)的“孿生”不等式為

        (a+b+c).

        將左邊的分子a2,b2,c2分別用a3,b3,c3替換,分母不變,便有

        (4)

        式(4)+式(1),得

        若再令a+b+c=1,可得:

        例18的推廣形式如下:

        例19 設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an=1,求證:

        式(4)可以拓展為:

        例20[1-2]設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且n≥2,求證:

        (1996年《數(shù)學(xué)教學(xué)》5月號(hào)問(wèn)題405)

        若再令a1a2+a2a3+a3a4+a4a1=1,可得:

        例21 設(shè)a,b,c,d是滿足ab+bc+cd+da=1的正實(shí)數(shù),求證:

        (第31屆IMO預(yù)選試題)

        探究思路5 換元改造

        進(jìn)一步得:

        (《數(shù)學(xué)教學(xué)》1995年3月號(hào)問(wèn)題364)

        若把式(1)中的a,b,c分別用bc,ca,ab替換,且令abc=1,則

        進(jìn)一步得:

        (第36屆IMO試題)

        進(jìn)一步得:

        (2009年韓國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

        探究思路6 拓展演繹

        若將式(1)左邊的3個(gè)分母b+c,c+a,a+b分別用3個(gè)正數(shù)b,c,a替換,則

        (5)

        若令a+b+c=1,則可得:

        (2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第24題)

        若將式(5)左邊的3個(gè)分母b,c,a分別用c,a,b替換,分子不變,則可得式(5)的一個(gè)“孿生”不等式

        若令a+b+c=1,并去分母,則可得a3b+b3c+c3a≥abc,這就是:

        例26 設(shè)正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求證:a3b+b3c+c3a≥abc.

        (1984年列寧格勒數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

        式(5)的一般情形是:

        (1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第2試試題)

        式(5)還可以作如下變形

        (b+c)2(c+a)(b-a)+(c+a)2(a+b)(c-b)+(a+b)2(b+c)(a-c)≥0,

        再將上式中的b+c,c+a,a+b分別a′,b′,c′替換,容易驗(yàn)證a′+b′>c′,b′+c′>a′,c′+a′>b′,則a′,b′,c′可看成是一個(gè)三角形的3條邊長(zhǎng),得

        a′2b′(a′-b′)+b′2c′(b′-c′)+c′2a′(c′-a′)≥0,

        進(jìn)一步得:

        例28 設(shè)a,b,c是一個(gè)三角形的3條邊長(zhǎng),求證:a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并判斷等號(hào)何時(shí)成立.

        (第24屆IMO試題)

        筆者希望通過(guò)對(duì)例1的探究,讓讀者在品味數(shù)學(xué)名題背景、感受數(shù)學(xué)名題魅力的同時(shí),體會(huì)到數(shù)學(xué)名題的科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值,“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”般地受到數(shù)學(xué)名題的熏陶,進(jìn)而提高興趣、增強(qiáng)素養(yǎng)、明澈思維、啟迪心智、豐富情感、完善人格,收獲數(shù)學(xué)名題的知識(shí)、方法、思想、能力,領(lǐng)略數(shù)學(xué)名題給我們帶來(lái)的力量、情懷和溫暖.

        [1] 查正開(kāi).探究一類分式不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2014(1):28-31.

        [2] 楊晉.一個(gè)不等式變形的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,1999(12):44-46.

        2016-11-30;

        2016-12-30

        2014年廣東省教育研究院教育研究課題(GDJY-2014-A-b390);2016年廣東省深圳市遴選“好課程”(深教[2016]619號(hào))部分內(nèi)容

        方亞斌(1964-),男,湖北黃梅人,湖北省特級(jí)教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.

        O122.3

        A

        1003-6407(2017)04-20-06

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