●方亞斌

(南頭中學(xué) 廣東深圳 518052)

一道國外數(shù)學(xué)名題的研究性學(xué)習(xí)*

●方亞斌

(南頭中學(xué) 廣東深圳 518052)

文章以第2屆“友誼杯”國際數(shù)學(xué)邀請賽的一道試題為題根，通過類比推廣、拓展構(gòu)造、變換移植，演繹出一批又一批形式優(yōu)美、風(fēng)格獨特的經(jīng)典試題,讓名題的價值世代相傳.

特例;推廣;置換;拓展;演繹

例1 已知a,b,c>0,求證：

(a+b+c).

(第2屆“友誼杯”國際數(shù)學(xué)邀請賽試題)

這道世界名題猶如一顆閃爍的明珠，璀璨奪目，光彩照人，歷經(jīng)歲月不斷的洗禮，仍舊閃爍著真理的光輝，傳承著名題的智慧和力量.幾十年來，以這道名題為背景，各級各類命題專家探驪尋珠，通過類比推廣、拓展構(gòu)造、變換移植，演繹出一批又一批形式優(yōu)美、風(fēng)格獨特的經(jīng)典試題,讓名題的價值世代相傳.

為了便于探究，筆者首先考察問題的由來：

筆者將從6個角度進行探究.

探究思路1 特例考察

考察式(1)的特例：令a+b+c=1，得：

(2014年哈爾濱工程大學(xué)自主招生試題)

探究思路2 推廣引申

考察式(1)的一般情形,將3個正數(shù)推廣為n個正數(shù)a1,a2,…,an,由上述推導(dǎo)過程，易知

令a1+a2+…+an=1,可得：

(第24屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽10年級試題第2題)

例3的等價問題是：

例4 設(shè)ai,bi∈R+(其中i=1,2,…，n),且a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn,求證:

(1991年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)競賽試題第3題)

例3或例4的一個變式問題是：

(《數(shù)學(xué)通報》1994年11月號問題925)

探究思路3 置換分母

根據(jù)式(1)的結(jié)構(gòu)特征,若保持左邊的分子不變,置換分母，則可以衍生一批新的不等式.

若將式(1)左邊的3個分母b+c,c+a,a+b分別用a+b,b+c，c+a替換，分子不變，則可得式(1)的一個“孿生”不等式：

例6 若a,b,c>0，則

(a+b+c).

(《數(shù)學(xué)通報》1995年4月號問題946)

式(2)顯然成立(事實上,由式(1)推導(dǎo)過程不難知道，其左邊3項的分母b+c,c+a,a+b可以按照任意次序交換，分子不變，不等式仍然成立).若將式(1)左邊的3個分母b+c,c+a,a+b分別用b+c-a,c+a-b,a+b-c替換，分子不變，可得:

例7 設(shè)a,b,c是△ABC的3條邊，求證：

c.

(《數(shù)學(xué)教學(xué)》1996年1月號問題384)

若將式(1)左邊的3個分母b+c,c+a,a+b分別用b-1,c-1,a-1替換，分子不變，則可得:

(《數(shù)學(xué)教學(xué)》1999年4月號問題488)

例8的一種退化情形是：

(第26屆獨聯(lián)體數(shù)學(xué)奧林匹克競賽10年級試題第1題)

例8和例9的一般情形是:

例10 如果ai>1(其中i=1,2,…,n),則

事實上，由柯西不等式的變式可得

若考察例8的一個類似情形，即假定a>b>c,則

進一步可得：

(第32屆烏克蘭數(shù)學(xué)競賽試題)

若將式(1)左邊的3個分母b+c,c+a,a+b分別用b+2c,c+2a,a+2b替換，則

若令a+b+c=1,或abc≥1,則可得：

例12 已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1，求證：

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊試題)

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考自選模塊試題)

探究思路4 置換分子

根據(jù)式(1)的結(jié)構(gòu)特征,若保持分母不變，適當(dāng)改變分子的次數(shù)，則又可以衍生一批新的不等式.

如將式(1)的分子a2,b2,c2分別用a,b,c替換，分母不變,注意到

(第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

例14的一般情形是：

例15 設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n)，且n≥2,a1+a2+…+an=s,求證：

(1976年英國數(shù)學(xué)競賽試題)

例15的一個變式是：

例16 設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n)，且a1+a2+…+an=1,求證：

(1982年西德數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

同理可得

2個式子相加得

從而

同理可得

3個式子相加得

由柯西不等式知

即

若令a+b+c≥1,可得:

(2013年摩爾多瓦國家集訓(xùn)隊試題)

式(1)的“孿生”不等式為

(a+b+c).

將左邊的分子a2,b2,c2分別用a3,b3,c3替換，分母不變，便有

(4)

式(4)+式(1),得

若再令a+b+c=1，可得:

例18的推廣形式如下：

例19 設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n)，且a1+a2+…+an=1,求證：

式(4)可以拓展為:

例20[1-2]設(shè)ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且n≥2,求證：

(1996年《數(shù)學(xué)教學(xué)》5月號問題405)

若再令a1a2+a2a3+a3a4+a4a1=1,可得:

例21 設(shè)a,b,c,d是滿足ab+bc+cd+da=1的正實數(shù)，求證：

(第31屆IMO預(yù)選試題)

探究思路5 換元改造

進一步得：

(《數(shù)學(xué)教學(xué)》1995年3月號問題364)

若把式(1)中的a,b,c分別用bc,ca,ab替換,且令abc=1,則

即

進一步得：

(第36屆IMO試題)

即

進一步得：

(2009年韓國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

探究思路6 拓展演繹

若將式(1)左邊的3個分母b+c,c+a,a+b分別用3個正數(shù)b,c,a替換，則

(5)

若令a+b+c=1,則可得：

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第24題)

若將式(5)左邊的3個分母b,c,a分別用c,a,b替換，分子不變，則可得式(5)的一個“孿生”不等式

若令a+b+c=1，并去分母,則可得a3b+b3c+c3a≥abc，這就是：

例26 設(shè)正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，求證：a3b+b3c+c3a≥abc.

(1984年列寧格勒數(shù)學(xué)競賽試題)

式(5)的一般情形是：

(1984年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第2試試題)

式(5)還可以作如下變形

(b+c)2(c+a)(b-a)+(c+a)2(a+b)(c-b)+(a+b)2(b+c)(a-c)≥0,

再將上式中的b+c,c+a,a+b分別a′,b′,c′替換，容易驗證a′+b′>c′，b′+c′>a′,c′+a′>b′,則a′,b′,c′可看成是一個三角形的3條邊長,得

a′2b′(a′-b′)+b′2c′(b′-c′)+c′2a′(c′-a′)≥0,

進一步得：

例28 設(shè)a,b,c是一個三角形的3條邊長，求證：a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并判斷等號何時成立.

(第24屆IMO試題)

筆者希望通過對例1的探究，讓讀者在品味數(shù)學(xué)名題背景、感受數(shù)學(xué)名題魅力的同時，體會到數(shù)學(xué)名題的科學(xué)價值和文化價值，“潤物細(xì)無聲”般地受到數(shù)學(xué)名題的熏陶，進而提高興趣、增強素養(yǎng)、明澈思維、啟迪心智、豐富情感、完善人格，收獲數(shù)學(xué)名題的知識、方法、思想、能力，領(lǐng)略數(shù)學(xué)名題給我們帶來的力量、情懷和溫暖.

[1] 查正開.探究一類分式不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014(1):28-31.

[2] 楊晉.一個不等式變形的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1999(12):44-46.

2016-11-30；

2016-12-30

2014年廣東省教育研究院教育研究課題(GDJY-2014-A-b390)；2016年廣東省深圳市遴選“好課程”(深教[2016]619號)部分內(nèi)容

方亞斌(1964-),男，湖北黃梅人，湖北省特級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

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1003-6407(2017)04-20-06