●李學(xué)軍 曲文瑞

(平湖中學(xué) 浙江平湖 314200)

平凡真功顯 秒解素養(yǎng)現(xiàn)*
——由2017浙江省高中數(shù)學(xué)模擬卷17題說(shuō)起

●李學(xué)軍 曲文瑞

(平湖中學(xué) 浙江平湖 314200)

作為數(shù)學(xué)教師要研究解題，要研究學(xué)生的解題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維求思考和解決問(wèn)題，去體會(huì)、體驗(yàn)在解題過(guò)程中的糾結(jié)和成功之后的快樂(lè)，實(shí)現(xiàn)真正意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).文章結(jié)合2017年浙江省數(shù)學(xué)模擬卷中的一道填空題，深入挖掘考點(diǎn)，深刻探尋題源，為2017年的高考復(fù)習(xí)及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)提供一種思考的方向.

解法;探源;教學(xué);啟迪

2016年12月17日浙江省考試院在全省范圍內(nèi)對(duì)參加2017年高考的學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)模擬測(cè)試，元濟(jì)中學(xué)、湖州二中及平湖中學(xué)這3所學(xué)校結(jié)盟進(jìn)行了網(wǎng)上閱卷，其中第17題的平均分為0.73，作為填空題的壓軸題，真正發(fā)揮了對(duì)學(xué)生的選拔功能.

1 考題重現(xiàn)：似曾相識(shí)燕歸來(lái)

題目 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則3a+b的取值范圍是______(答案：(-5,0)).

人教A版教材必修1第87頁(yè)明確指出：方程有實(shí)數(shù)根?函數(shù)與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)有零點(diǎn).

本題的實(shí)質(zhì)是考查對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念的理解，并且融多種數(shù)學(xué)思想及解法于一體，這也是處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中最基本的想法.本題緊扣教材，無(wú)論是函數(shù)值范圍的處理還是數(shù)形結(jié)合思想都源于教材.該題作為填空題的壓軸題語(yǔ)言簡(jiǎn)潔,解題入口寬、層次多、區(qū)分度好，具有非常明顯的“浙江風(fēng)采”.

2 解法探究：橫看成嶺側(cè)成峰

解法1 直接法

x2+ax+b=0的2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為

圖1

于是

設(shè)3a+b=z,如圖1，由

得交點(diǎn)P(-2,1).

當(dāng)直線3a+b=z經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0)時(shí)，z=0；當(dāng)直線3a+b=z經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,1)時(shí)，z=-5,因此3a+b∈(-5,0).

點(diǎn)評(píng) 該題對(duì)于大多數(shù)考生來(lái)說(shuō)要么基本沒(méi)有想法，要么有想法但無(wú)行動(dòng).的確，在平時(shí)的高考復(fù)習(xí)中，學(xué)生對(duì)字母的運(yùn)算是存在畏難心理的.另外，在平時(shí)復(fù)習(xí)的過(guò)程中也很少遇到.因此，該解法在考試的過(guò)程中，很少被考生想到，更不要說(shuō)用好.

解法2 根的分布

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn),所以

整理得

接下來(lái)的處理方式有2種：

方法1 接下來(lái)走規(guī)劃的路徑，通過(guò)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解(同解法1).

方法2 把不等式組變形為

則

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式找出關(guān)于a,b的不等式組，大多數(shù)學(xué)生比較推崇方法1，因此在考場(chǎng)上，學(xué)生更喜歡走這樣的路徑.對(duì)于方法2來(lái)說(shuō)，學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)想到，利用不等的關(guān)系進(jìn)行消元，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性，求出相關(guān)函數(shù)的上界或下界.

解法3 韋達(dá)定理

由題意設(shè)方程x2+ax+b=0的2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為x1,x2，且0

x1+x2=-a,x1x2=b，

從而 3a+b= -3(x1+x2)+x1x2=

(x1-3)(x2-3)-9.

因?yàn)?

-3

從而

4<(x1-3)(x2-3)<9，

即

-5<(x1-3)(x2-3)-9<0，

亦即

-5<3a+b<0.

點(diǎn)評(píng) 該解法把變量a,b用新的有范圍的變量x1,x2來(lái)表示，根據(jù)x1,x2的范圍來(lái)限制出3a+b的范圍.這是一種非常值得推廣的解題方法，但是這種解法說(shuō)起來(lái)輕巧，在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，馬上進(jìn)入解題通道的確有難度.

解法4 構(gòu)造函數(shù)

3a+b=-3(x1+x2)+x1x2=x1(x2-3)-3x2，

因?yàn)?

從而

-5<3a+b<0.

點(diǎn)評(píng) 該解法把3a+b用一個(gè)有限定范圍的新的變量表示出來(lái)，這種表述可以是相等的也可以是不等的.而本題恰恰是用不等關(guān)系表示，難度明顯增加，解法4和解法2中的方法2有異曲同工之妙.

解法5 構(gòu)造不等式

由題意可得下面的不等式組

因?yàn)閒(0)=b，f(1)=1+a+b，所以

b=f(0)，a=f(1)-f(0)-1,

從而

3a+b=3f(1)-2f(0)-3.

-5<3f(1)-2f(0)-3<0，

即

-5<3a+b<0.

點(diǎn)評(píng) 把a(bǔ),b用變量f(0),f(1)表示出來(lái)，f(0),f(1)的范圍通過(guò)畫(huà)圖(如圖2)可以看出，充分利用不等式的同向可加性，但在相加的過(guò)程中應(yīng)盡可能利用整體的作用，否則容易把范圍擴(kuò)大.

圖2 圖3

解法6 數(shù)形結(jié)合

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，所以方程x2+ax+b=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

設(shè)g(x)=-x2，h(x)=ax+b,如圖3，g(x)和h(x)的圖像在x∈(0,1)有2個(gè)交點(diǎn)，h(x)=ax+b的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,t)和g(x)=-x2上一點(diǎn)M.當(dāng)直線MP為N(1,-1)處的切線時(shí)，t=-5；當(dāng)直線MP為O(0,0)處切線時(shí)，t=0，因此

-5

即

-5<3a+b<0.

點(diǎn)評(píng) 在研究等式、不等式解的時(shí)候，通常有2種思考方向：其一是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題；其二是構(gòu)造2個(gè)函數(shù)，研究2個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.本題構(gòu)造一個(gè)靜態(tài)函數(shù)和一個(gè)動(dòng)態(tài)函數(shù)，而3a+b恰好可以構(gòu)造出具體的幾何意義，這才是此題的本質(zhì)所在.

3 探源：那人卻在燈火闌珊處

源頭1 已知：f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R).

2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，且0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題)

源頭2 設(shè)a,b∈R，函數(shù)f(x)=ax2+b(x+1)-2.若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，方程f(x)=x有2個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2015年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第16題)

源頭3 已知b,c∈R，二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,1)上與x軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)，求c2+(1+b)c的取值范圍.

(2014年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第18題)

4 教學(xué)啟迪：吹盡狂沙始到金

一道精彩的考試題目不僅體現(xiàn)在“表美”，更多的是“神美”的傳遞.通過(guò)對(duì)經(jīng)典試題的鉆研，在一定程度上能夠引導(dǎo)教師根據(jù)實(shí)際調(diào)整教學(xué)內(nèi)容以及根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段和方法，進(jìn)而會(huì)直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.這道填空壓軸題雖然有著“入手易，解法多”的特點(diǎn)，但是在操作的過(guò)程中，部分學(xué)生仍然有力不從心的感覺(jué).2017年浙江省數(shù)學(xué)高考文理科合卷，在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)必須把握好教學(xué)的難易，需要落實(shí)基本概念，強(qiáng)化基本運(yùn)算，需要落實(shí)基本方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀[1].因此，在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中我們應(yīng)該更多關(guān)注以下幾個(gè)方面：

1)以生為“心”.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“懂而不會(huì)，會(huì)而不全”的現(xiàn)象是非常普遍的，歸根結(jié)底學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn)只是是否聽(tīng)懂、是否聽(tīng)會(huì)，而忽視了是否自己能夠獨(dú)立、高效地完成.在解題的過(guò)程中我們需要關(guān)注解法，但是作為數(shù)學(xué)教學(xué)，更需要學(xué)生親身體驗(yàn)計(jì)算的過(guò)程，酸甜苦辣只有自己親自嘗過(guò)才知道其中的滋味.

2)以思為“先”.

在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中要經(jīng)常對(duì)所學(xué)的知識(shí)和題型進(jìn)行歸納，尋找規(guī)律和突破口.在平時(shí)的教學(xué)中要盡量留給學(xué)生足夠的時(shí)間讓學(xué)生讀題、審題，在這個(gè)過(guò)程中讀出若干個(gè)思維角度，審出題目的結(jié)構(gòu)，理解問(wèn)題的本質(zhì).教師和學(xué)生共同養(yǎng)成解題之后有反思的良好習(xí)慣，讓學(xué)生既要知其然，更要知其所以然.通過(guò)反思養(yǎng)成對(duì)題目深入的探索，比如舉一反三、一題多解、一題多變、多題一解，真正實(shí)現(xiàn)羅增儒先生倡導(dǎo)的“通過(guò)有限的典型例題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無(wú)數(shù)道題的數(shù)學(xué)機(jī)智”.

3)以展突“破”.

解題是一種創(chuàng)造性的活動(dòng)，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)以后解題過(guò)程中快速提取信息是大有裨益的，對(duì)一些相似的問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)之后，總會(huì)有些許的感悟，可以嘗試對(duì)題目進(jìn)行改編、拓展、推廣，并在這個(gè)過(guò)程中鞏固方法、辨別異同、提升能力.波利亞曾形象地指出：“好問(wèn)題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆的生長(zhǎng)，找到一個(gè)之后，你應(yīng)當(dāng)在周?chē)僬乙徽?，很可能就有幾個(gè).”

總之，題目是做不盡、探不完的.《莊子·養(yǎng)生主》中說(shuō)：“吾生而有涯，而知也無(wú)涯.”通過(guò)這次浙江省考試院的模擬調(diào)研，筆者有一種感觸：學(xué)生在考場(chǎng)上的思路探尋，教師在考后的解法探究，命題者在命題時(shí)的藍(lán)圖設(shè)計(jì)，儼然構(gòu)成了一幅李白筆下的“舉杯邀明月，對(duì)影成三人”的精彩且具有濃厚浙江風(fēng)味的美妙畫(huà)卷.

[1]王紅權(quán).含絕對(duì)值的不等式問(wèn)題復(fù)習(xí)研究[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(12):29-34.

2016-12-20；

2017-02-16

李學(xué)軍(1976-)，男，吉林省德惠市人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)04-39-03