●岳 峻

(太和中學(xué) 安徽阜陽(yáng) 236600)

一道?？荚囶}的“反芻”*

●岳 峻

(太和中學(xué) 安徽阜陽(yáng) 236600)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升離不開(kāi)數(shù)學(xué)解題，文章以一道?？荚囶}為素材，利用模擬試題的“原生性”，認(rèn)真“反芻”，洞曉其中的奧秘，有意識(shí)地研究試題的“題根”，使得思維在形式的變化中得以提升，激活“火熱”的思維．

數(shù)學(xué)解題；反芻；探究；挖掘；激活思維

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升離不開(kāi)數(shù)學(xué)解題，解題過(guò)程中的很多細(xì)節(jié)，看似平淡無(wú)奇，有時(shí)充滿數(shù)學(xué)智慧，只有沉下心來(lái)仔細(xì)斟酌，認(rèn)真“反芻”，方能洞曉其中的奧秘．思之愈深，道之愈簡(jiǎn)．

現(xiàn)以2016年廣東省廣州市一模理科數(shù)學(xué)試題壓軸題為例，探討其“反芻”的潛能．

1 試題再現(xiàn)

題目 已知函數(shù)f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2．

1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)m的值；

2)當(dāng)m≥1時(shí)，證明：f(x)>g(x)-x3.

本題簡(jiǎn)潔明了，問(wèn)題設(shè)置巧妙，第1)小題易得m=0.對(duì)于第2)小題的解決，不同思維層次的學(xué)生有著截然不同的求解思路，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)本題是命題專家精心設(shè)計(jì)的具有典型性、選拔性的范例，極具“反芻”的潛能，是數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的極佳素材！

2 顯性思維的解法

數(shù)學(xué)解題是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)，是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題通性通法的繼續(xù)熟練，尋求解題思路的過(guò)程便是尋找已知信息與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系或轉(zhuǎn)化軌跡的過(guò)程．由于待證式f(x)>g(x)-x3等價(jià)于ex+m-ln(x+1)-2>0，只需證明函數(shù)h(x)=ex+m-ln(x+1)-2的最小值為正數(shù)即可．

證法1 設(shè)h(x)=ex+m-ln(x+1)-2，則

h′(0)=em-1>0，

又h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=

em(e-1+e-m-1)<0，

即

ln(x0+1)=-x0-m，

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，h′(x)>0，從而

h(x)≥h(x0)=ex0+m-ln(x0+1)-2=

綜上所述，當(dāng)m≥1時(shí)，f(x)>g(x)-x3．

點(diǎn)評(píng) 在證法1中，

h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=

em(e-1+e-m-1)<0

3 心智思維的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)解題更是一種心智思維的活動(dòng)，付出的有效思維與實(shí)施的運(yùn)算、求解、處理等之間是一對(duì)平衡體，即有價(jià)值的思考越多則實(shí)施的基本運(yùn)算就越輕松；相反，思維價(jià)值較少的智力活動(dòng)自然導(dǎo)致運(yùn)算的繁雜．當(dāng)m≥1時(shí)，由于ex+m≥ex+1，待證式f(x)>g(x)-x3，等價(jià)于ex+m-ln(x+1)-2>0.

證法2 設(shè)h(x)=ex+1-ln(x+1)-2，則

即

ln(x0+1)=-(x0+1).

當(dāng)x∈(-1,x0)時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，h′(x)>0，從而

h(x)≥h(x0)=ex0+1-ln(x0+1)-2=

當(dāng)m≥1時(shí)，

ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2，

得證.

點(diǎn)評(píng) 在證法2中，通過(guò)靈活運(yùn)用信息“m≥1”，獲得

ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2，

4 以形助數(shù)的滲透

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，心中無(wú)“形”，永遠(yuǎn)不行！由于待證式f(x)>g(x)-x3等價(jià)于ex+m-ln(x+1)-2>0，其中的函數(shù)y=ex+m是基本初等函數(shù)y=ex向左平移m個(gè)單位所得，函數(shù)y=ln(x+1)是基本初等函數(shù)y=lnx向左平移1個(gè)單位所得.而函數(shù)y=ex與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.本題是否可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想加以解決呢？

圖1

證法3 先證明ex+1-ln(x+1)-2>0．令t=x+1，轉(zhuǎn)化為證明et-lnt>2(其中t>0)．

因?yàn)榍€y=et與曲線y=lnt關(guān)于直線y=t對(duì)稱，設(shè)直線t=t0(其中t0>0)與曲線y=et,y=lnt分別交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)A,B到直線y=t的距離分別為d1,d2，則

①若h(t0)=et0-t0(其中t0>0),則

h′(t0)=et0-1>0，

即

h(t0)>h(0)=1，

從而

②若p(t0)=t0-lnt0(其中t0>0)，則

易證p(x0)≥p(1)=1,從而

于是

綜上所述，當(dāng)m≥1時(shí)，f(x)>g(x)-x3.

5 深化本質(zhì)的理解

沒(méi)有反思的解題是低效的重復(fù)，不能很好地把握問(wèn)題的本質(zhì)，思維品質(zhì)提升的空間也是狹小的，也不利于提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．每一個(gè)耐人尋味的試題總有其背后隱含的“題根”，在本題中，出現(xiàn)了y=ex+m和y=ln(x+1)，自然應(yīng)該聯(lián)想到函數(shù)的重要不等式，即ln(x+1)≤x．

證法4 先證明ex+1≥x+2(其中x∈R).設(shè)h(x)=ex+1-x-2，則

h′(x)=ex+1-1.

易證當(dāng)x<-1時(shí)，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>-1時(shí)，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，從而

h(x)≥h(-1)=0,

于是ex+1≥x+2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到等號(hào)).要證明ex+1-ln(x+1)-2>0，只需證明

(x+2)-ln(x+1)-2>0，

即

x>ln(x+1).

下面證明x-ln(x+1)≥0．設(shè)p(x)=x-ln(x+1)，則

易證當(dāng)-10時(shí)，函數(shù)p(x)單調(diào)遞增，從而

p(x)≥p(0)=0,

于是x-ln(x+1)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取到等號(hào)).由于取等號(hào)的條件不同，因此

ex+1-ln(x+1)-2>0.

綜上所述，當(dāng)m≥1時(shí)，f(x)>g(x)-x3.

6 激活思維的呈現(xiàn)

我們對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)往往是“浮光掠影”、淺嘗輒止，其背后是缺乏對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵必要而深刻的理解．“學(xué)非探其花，要自拔其根”，意思是說(shuō)探究不能只停留在表面上，還要尋根究底，挖掘問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)．如果對(duì)函數(shù)的重要不等式ex≥x+1?ln(x+1)≤x了如指掌，本題的思路自然十分清晰．

如果知道ex+m≥x+m+1≥ln(x+1)+m+1≥ln(x+1)+2，那么本題證明的思路就一目了然了.

證法5 先證明當(dāng)x>-1時(shí)，ex≥x+1，即x≥ln(x+1).設(shè)F(x)=ex-x-1(其中x>-1)，則

F′(x)=ex-1，

易證F(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，從而

f(x)≥F(x)=0，

即

ex≥x+1(其中x∈R),

因此ln(x+1)≤x(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取到等號(hào)).

再證明ex+m-ln(x+1)-2>0．由ex≥x+1(其中x∈R)，得ex+1≥x+2(當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取到等號(hào))，因?yàn)閤>-1，m≥1，且ex+1≥x+2與ln(x+1)≤x不同時(shí)取到等號(hào)，所以

ex+m-ln(x+1)-2= em-1·ex+1-ln(x+1)-2>

em-1(x+2)-x-2=

(em-1-1)(x+2)≥0.

綜上所述，當(dāng)m≥1時(shí)，f(x)>g(x)-x3．

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)善于利用模擬試題的“原生性”，有意識(shí)地研究試題的“題根”，合理轉(zhuǎn)化、變形、拓展、延伸，挖掘其中潛在的數(shù)學(xué)思想方法，揭示其豐富的內(nèi)涵，使得思維在形式的變化中得以提升，開(kāi)拓解題的思路，激活“火熱”的思維．

2016-10-10；

2016-11-16

岳峻(1968-)，男，安徽阜陽(yáng)人，中學(xué)高級(jí)教師．研究方向：數(shù)學(xué)教育．

O122

A

1003-6407(2017)04-47-04