●周杭敏

(蕭山區(qū)第六高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311261)

一道高考題引發(fā)的思考*

●周杭敏

(蕭山區(qū)第六高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311261)

在高中數(shù)學(xué)中，我們常見(jiàn)的是已知初始值，且函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}滿足三階遞推式子，求當(dāng)x或者n取較大值時(shí)函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}的值.解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是求出此時(shí)函數(shù)或數(shù)列的周期.平時(shí)解題中一般都是通過(guò)列舉法求出周期，這種方法運(yùn)算量較大，而且不太適用周期較大的函數(shù)，因此一種較為簡(jiǎn)單且利于學(xué)生計(jì)算的方法迫在眉睫.文章討論函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}滿足三階遞推式子時(shí)求其周期性的一種新方法，并給出了最小正周期.

三階遞推；周期性；最小正周期

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位，也是高考?jí)狠S題考查的重點(diǎn)，周期性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).而數(shù)列又是一種特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法類比函數(shù)的周期性解決周期數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)函數(shù)思想方法的正遷移，有利于知識(shí)的構(gòu)建與重整.函數(shù)f(x)或周期數(shù)列{an}因其優(yōu)美的周期性常常受到高考和競(jìng)賽的青睞.

題目 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足

求f(2 016)的值.

(2016年浙江省杭州市高三名校第1次模擬考試題)

分析 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)周期性，以及歸納推理的能力.根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，利用題中遞推式子推導(dǎo)得出“當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)的周期”，再根據(jù)f(x)的周期性，求解f(2 016)的值.

解 對(duì)任意的x>0,由

f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=

f(x+4)-f(x+3)-f(x+4)=

-f(x+3)=-[f(x+2)-f(x+1)]=

-[f(x+1)-f(x)-f(x+1)]=f(x),得

f(x+6)=f(x)，

即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)的周期為6.因此，

f(2 016)=f(336×6)=f(6)=f(5)-f(4)=

[f(4)-f(3)-f(4)]=-f(3)=

-[f(2)-f(1)]=

-[f(1)-f(0)-f(1)]=

f(0)=log21=0.

從上述解答中可以發(fā)現(xiàn):解決這道題的關(guān)鍵是求出當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)的周期.由于該解法需要由遞推式子逐步地推導(dǎo)出函數(shù)的周期，運(yùn)算量較大，而且此解法不太適用于當(dāng)函數(shù)滿足某種遞推式子時(shí)周期比較大的情況.因此，筆者在上述解法之外探尋新的方法如下：

由f(x)=f(x-1)-f(x-2)，得特征方程[1]

x2=x-1，

即

x2-x+1=0，

解得

圖1

f(x)=f(x+6).

從上述方法中可以看出，由f(x)=f(x-1)-f(x-2)可以推出f(x)的周期.在高中數(shù)學(xué)中，最常見(jiàn)的是已知函數(shù)或數(shù)列滿足三階的遞推式子，通過(guò)函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}的周期性來(lái)求一些特殊的函數(shù)值或數(shù)列值，因此研究函數(shù)滿足遞推式子時(shí)的周期性很有必要.而解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}滿足三階遞推式子時(shí)，求函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}的周期性.是否所有函數(shù)f(x)的三階遞推式子都可以求出周期呢？如果不是，那么函數(shù)f(x)滿足何種三階遞推式子時(shí)，函數(shù)f(x)具有周期性？此時(shí)f(x)的周期是多少？是否具有最小正周期？

定理 若函數(shù)f(x)滿足三階遞推式子

f(x+2)=mf(x+1)+nf(x)，

證明 不妨設(shè)一般的三階遞推式子為

f(x+2)=mf(x+1)+nf(x)，

其中m,n∈R.由特征方程理論可知：f(x+2)=mf(x+1)+nf(x)的特征方程為

x2-mx-n=0.

1)當(dāng)Δ=m2+4n≥0時(shí)，特征方程有2個(gè)實(shí)根，此時(shí)f(x)不具有周期性.

2)當(dāng)Δ=m2+4n<0時(shí)，特征方程有2個(gè)復(fù)數(shù)根.設(shè)特征方程的復(fù)數(shù)根為x1,x2，且

又根據(jù)歐拉公式[1]，得

x1=r(cosθ+isinθ)=reθi,

nθ=mθ+2kπ,其中k∈Z，

從而

因此，對(duì)任意的n,m,且n≠m，

即z1的正周期是

從而可知x1的正周期是

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].3版.北京：高等教育出版社，2008.

[2] 朱長(zhǎng)江.偏微分方程[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2005.

2016-11-02；

2016-12-06

周杭敏(1992-)，女，浙江杭州人，中學(xué)二級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O12

A

1003-6407(2017)04-42-02