●嚴(yán)興光 李紹塔

(杭州第十四中學(xué) 浙江杭州 310000)

高考知識(shí)專題：數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法*

●嚴(yán)興光 李紹塔

(杭州第十四中學(xué) 浙江杭州 310000)

數(shù)列是近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn)之一.文章從近幾年高考卷對(duì)數(shù)列的考查情況入手，由淺入深分析高考中數(shù)列題所考查的內(nèi)容、常用的解題方法、壓軸題的出題方向、解壓軸題常用的數(shù)學(xué)思想方法以及如何突破數(shù)列壓軸題等.

數(shù)列；數(shù)學(xué)歸納法；不等式

1 知識(shí)內(nèi)容

數(shù)列部分主要內(nèi)容有：等差(等比)數(shù)列,數(shù)列求通項(xiàng)的基本方法，數(shù)列求和的基本方法，比如疊加法、疊乘法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法等，以及不等式與數(shù)列的綜合問(wèn)題和利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題等．

2 命題分析

從考查形式看，在歷年的浙江省數(shù)學(xué)高考中，數(shù)列問(wèn)題一般以1個(gè)小題(填空題或選擇題)和1道解答題的形式出現(xiàn).作為考查考生創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐精神的最好素材，一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的數(shù)列與方程、函數(shù)、不等式等的綜合性試題不斷涌現(xiàn)，這部分試題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，突出知識(shí)的融會(huì)貫通．

從考查內(nèi)容看，小題主要以等差數(shù)列和等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列的概念、表示法、求通項(xiàng)、求和等；綜合題常與不等式、函數(shù)的最值、歸納猜想、分類討論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，技巧性比較強(qiáng)，需要平時(shí)一定量的訓(xùn)練與積累，在后續(xù)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注．

3 典題剖析

考點(diǎn)1 數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題

與通項(xiàng)公式有關(guān)的問(wèn)題是前幾年浙江省數(shù)學(xué)高考數(shù)列小題考查的重點(diǎn)內(nèi)容，主要知識(shí)點(diǎn)有：等差(等比)數(shù)列通項(xiàng)公式、一些簡(jiǎn)單的可以轉(zhuǎn)換為等差數(shù)列或等比數(shù)列的遞推式以及周期數(shù)列等．

例1 設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為_(kāi)_____.

于是當(dāng)n=3或n=4時(shí)，a1a2…an取到最大值26=64．

例2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn=2Sn-n2，其中n∈N*.

1)求a1的值；

2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

考點(diǎn)2 數(shù)列求和問(wèn)題

數(shù)列求和的常用方法有公式法(等差數(shù)列和等比數(shù)列)、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組轉(zhuǎn)化求和法、并項(xiàng)求和法，在解題過(guò)程中要合理選擇求和公式．

1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

評(píng)注 利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意：1)抵消后并不一定只剩下第1項(xiàng)和最后1項(xiàng)，也有可能前面剩2項(xiàng)，后面也剩2項(xiàng)；2)將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的2項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．

考點(diǎn)3 數(shù)列綜合問(wèn)題

數(shù)列解答題一般具有很強(qiáng)的綜合性，考查的知識(shí)以等差、等比數(shù)列的性質(zhì)為主，兼顧其他知識(shí)．

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法．

1)證明：an+1>an；

證法2 用數(shù)學(xué)歸納法證明an+1>an>2.

由歸納假設(shè)可得ak+2>ak+1>2 成立.

綜上所述，an+1>an成立.

進(jìn)而

由

知

評(píng)注 裂項(xiàng)求和是求解本題的關(guān)鍵.由于本題涉及的裂項(xiàng)方法不常規(guī)，復(fù)習(xí)過(guò)程中特別要引起重視.類似的問(wèn)題還有2015年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第6題：

( )

分析 由題意

即

(x+1)(2x+1)…(2 015x+1)>0，

于是

考點(diǎn)4 數(shù)列與不等式綜合問(wèn)題

數(shù)列是特殊的函數(shù)，不等式是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)與數(shù)列的重要工具，2者的綜合是近幾年高考命題的新熱點(diǎn)，且數(shù)列的重心已經(jīng)偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項(xiàng)．

例6 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

3n-1≥2·3n-1，

從而

于是

故

評(píng)注 對(duì)于數(shù)列問(wèn)題中求和類不等式的證明，若是通過(guò)放縮的方法進(jìn)行證明的，則一般有2種類型：1)能夠直接求和(或求積)，再放縮；2)不能直接求和(或求積)，需要放縮后才能求和(或求積)，求和(或求積)后再進(jìn)行放縮(比如本題)，一定要注意“縮的尺度”和“從哪一項(xiàng)開(kāi)始放縮”．

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*；

本題作為浙江卷2016年高考試題，體現(xiàn)浙江高考試題入口寬、方法多、結(jié)構(gòu)精巧、簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單的特點(diǎn)．

即

對(duì)右邊的不等式2邊同除以2n,得

從而當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí)，

故

|an|≥2n-1(|a1|-2),

另外，當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.綜上，|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*.

因此，將這些知識(shí)和方法遷移至本題的證明如下：

|an+1|+2≤2(|an|+2)，

從而

|an|+2≤2n-1(|a1|+2)，

即 |an|≤2n-1(|a1|+2)-2,

(1)

|an+1|-2≥2(|an|-2)，

若|an|>2，則易得

|an|-2≥2n-1(|a1|-2),

即 |an|≥2n-1(|a1|-2)+2,

(2)

如果(2)式成立，那么第(1)問(wèn)所證結(jié)論|an|≥2n-1(|a1|-2)成立.

這里，為得到(2)式，添加|an|>2這個(gè)條件，下面來(lái)說(shuō)明這個(gè)條件的合理性.

①當(dāng)|a1|≤2時(shí)，則|an|≥0≥2n-1(|a1|-2)顯然成立；

②當(dāng)|a1|>2時(shí)，則由|an+1|-2≥2(|an|-2)，再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的思想，易得|an|>2，從而|an|≥2n-1(|a1|-2)+2>2n-1(|a1|-2)成立．

2)證法1 延續(xù)第(1)問(wèn)證法1的思想，則任意n，m∈N*,m>n,有

故

再由m的任意性可得|an|≤2,n∈N*，理由如下：

綜上，任意n∈N*,|an|≤2.

假設(shè)任意n∈N*,|an|≤2不成立，即存在k∈N*,|ak|>2成立.則由第(1)問(wèn)證法2同理可得

即

因此，假設(shè)不成立，從而任意n∈N*,|an|≤2.

評(píng)析 第1)小題所證的式子|an|≥2n-1(|a1|-2)中已經(jīng)在提示考生，需要進(jìn)行|an|-2的代數(shù)變形，然后放縮出一個(gè)等比數(shù)列，這也正是浙江省高考一直以來(lái)的特點(diǎn)，難題總是會(huì)留下一些線索，讓考生“有機(jī)可乘”．

m·2n≤2n-1(|a1|-2)+2≤|an|≤2n-1(|a1|+2)-2≤M·2n(其中m>0,M>0).

4 精題集萃

1．已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10=8，則a100=

( )

A.100 B.99 C.98 D.97

2．設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是

( )

A．若a1+a2>0，則a2+a3>0 B．若a1+a3<0，則a1+a2<0

3．已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1=6，a3+a5=0，則S6=______.

4．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，則Sn=______．

5．無(wú)窮數(shù)列{an}由k個(gè)不同的數(shù)組成，Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意n∈N*，Sn∈{2,3}，則k的最大值為_(kāi)_____.

7．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q．已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．

1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

圖1

參 考 答 案

2017-01-04；

2017-02-23

嚴(yán)興光(1975-)，男，浙江杭州人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育、技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合研究.

O122

A

1003-6407(2017)04-29-05