● 吳寅靜

(余杭區(qū)教育局教研室 浙江杭州 311100)

計數(shù)原理與古典概率復習要點例析*

● 吳寅靜

(余杭區(qū)教育局教研室 浙江杭州 311100)

文章對2017年數(shù)學高考中計數(shù)原理與概率的復習從知識、能力要求進行說明，并對每一個考點的主要考查方向以典型例題解讀的方式進行分析.

計數(shù)原理;概率;二項式定理

1 知識內(nèi)容

本單元的主要內(nèi)容有：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理、楊輝三角與二項式定理.而古典概率主要內(nèi)容有：事件、事件的關系與運算，互斥、對立、獨立事件，概率與頻率，古典概型.還有離散型隨機變量及隨機變量的分布列、均值、方差，獨立重復試驗的模型及二項分布.2 命題分析

計數(shù)原理、概率的內(nèi)容在這幾年浙江省的數(shù)學高考中變化很頻繁，2014年之前是高考的必考內(nèi)容，2015年、2016年則出現(xiàn)在自選模塊中，2017年開始又進入高考的考試范圍，考試的內(nèi)容和難度也隨著要求的變化而變化.根據(jù)2017年高考考試說明對這一部分內(nèi)容的要求來看，這些內(nèi)容在難度上屬于適中，考試題型也以選擇、填空題出現(xiàn)的可能性比較大.

從知識要求看，計數(shù)原理與概率的考查最多的是了解層次的內(nèi)容，要求達到理解層次的主要是分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及二項式系數(shù)的性質(zhì)，會用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式解決簡單的實際問題，會計算古典概型中事件的概率.

從能力要求看,高考中數(shù)據(jù)處理能力主要是通過排列、組合、概率與統(tǒng)計來實施的.關鍵是考生能對數(shù)據(jù)和隨機數(shù)據(jù)進行提煉得出數(shù)據(jù)特征，同時考查考生能對眾多數(shù)據(jù)進行合理篩選、選擇模型、綜合分析數(shù)據(jù)的思維能力.這對考生的模型建構、思維層次等也提出了較高要求.

3 典例剖析

3.1 計數(shù)原理重基礎

很多考生一想到計數(shù)原理就是如何用排列組合公式計算出結(jié)果，對于分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理則不夠重視.從高考的考試要求來看，2個計數(shù)原理是概率的基礎，也是考查邏輯思維能力、分類討論思想、分析解決實際問題的基礎，因此實際問題解決的起點要從2個計數(shù)原理開始，而不是直接從排列組合開始思考.

例1 1)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有______種(用數(shù)字作答).

(2014年浙江省數(shù)學高考理科試題第14題)

圖1

2)如圖1所示，某貨場有2堆集裝箱，一堆2個，一堆3個，現(xiàn)需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是______(用數(shù)字作答).

(2017年浙江省數(shù)學高考模擬卷第15題)

2)將5個集裝箱標上不同的數(shù)字或字母，按第1個取的情況分類，再分別用枚舉法即可得共10種.

評注 對計數(shù)原理的考查越來越回歸本源，2個計數(shù)原理是解決排列與組合問題的基礎，學會辨別分類還是分步，先分類還是先分步都是解決此類問題的關鍵.因此在針對這一內(nèi)容的復習時重心要適當前移，避免發(fā)生重復和遺漏計算、用錯公式的情況.

3.2 概率問題重熱點

高考改革之后，對概率的考查范圍逐漸縮小，但也越來越聚焦在古典概型上.古典概型問題既能考查考生對概率概念的理解程度，同時也能將計數(shù)原理中相關的知識進行綜合，因此也成為概率內(nèi)容命題的熱點.

例2 1)有20張卡片，每張卡片上分別有2個連續(xù)的自然數(shù)k，k+1,其中k=0,1,2,…,19.從這20張卡片中任取1張，記事件“該卡片上2個數(shù)的個位數(shù)字之和(例如：若取到標有9，10的卡片，則卡片上2個數(shù)的各位數(shù)字之和為9+1+0=10)不小于14”為A，則P(A)=______.

2)有5本不同的書，其中語文書2本、數(shù)學書2本、物理書1本，若將其隨機地擺放在書架的同一層上，則同一個科目的書都不相鄰的概率是

( )

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題第9題)

方法1 如何進行分類是解決這個問題的關鍵，其分類依據(jù)是從第1本書開始，這個方式雖然比較常規(guī)但也是解決實際問題中最為普遍的方式：

①若第1本書是語文書(或數(shù)學書)，第2本是數(shù)學書(或語文書)，則有4×2×2×2×1=32種可能；

②若第1本是語文書(或數(shù)學書)，第2本是物理書，則有4×1×2×1×1=8種可能；

③若第1本是物理書，則有1×4×2×1×1=8種可能.

方法3 對立面的方式不唯一，進行排除的同時一定要關注重復計算的情況：

評注 概率試題的核心是古典概型，古典概型的概率問題常常會與排列、組合融合在一起，而解決排列、組合問題的關鍵是理清完成該動作是分類還是分步.

3.3 二項式定理重關鍵

二項式定理因其內(nèi)容的原因其考查難度一直不大，最為常見的考查方向就是與二項式系數(shù)、二項展開式系數(shù)相關的問題，解決這類問題的關鍵就是通項公式.

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題第13題)

2)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5，其中a0,a1,a2,…,a5為實數(shù)，則a3=______.

(2012年浙江省數(shù)學高考理科試題第14題)

分析 1)此題關鍵是弄清相關項的系數(shù)，通項公式在這里起到關鍵作用，即

從而

因為B=4A,所以

解得a2=4.又因為a>0,所以a=2.

2)解法1 此題的最高次數(shù)只有5，因此直接用通項公式提出關鍵項的系數(shù)，再進行對應系數(shù)相等的方式計算，即

解得

a3=10.

解法2 對f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5的2邊連續(xù)對x求導3次，得

60x2=6a3+24a4(1+x)+60a5(1+x)2，

再運用賦值法，令x=-1得60=6a3，即a3=10.此方法不常用，但也是一種拓寬解題思路的方式.

解法3 通過對原函數(shù)形式的重新構造，轉(zhuǎn)化成

f(x)=x5=(1+x-1)5=

(1+x)5-5(1+x)4+10(1+x)3-

10(1+x)2+5(1+x)-1,

從而直接得出a3=10.

評注 二項展開式中二項式系數(shù)、項的系數(shù)、常數(shù)項、有理項等歸根結(jié)底就是二項展開式的通項公式.利用二項展開式的通項公式解決這類問題是關鍵，必須熟練掌握.同時二項式中對整個式子結(jié)構的重構、變形也是考查考生思維靈活性的一個方向，也需要在平時的復習中加以訓練.

3.4 離散型隨機變量及其分布列重應用

離散型隨機變量及其分布列在2015年、2016年浙江省數(shù)學高考試題和自選模塊中都沒有作為考試內(nèi)容，在2017年的高考考試說明中也基本以了解為主，這一塊內(nèi)容的復習以掌握基本概念、基本技能為重點，學會從相對簡單的實際問題中提煉出問題模型并加以解決.

例4 1)隨機變量ξ的分布列如表1所示：

表1 隨機變量ξ的分布列

(2017年浙江省《數(shù)學高考考試說明》題型示例)

2)已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和；

①求X的分布列；

②求X的數(shù)學期望E(X).

(2012年浙江省數(shù)學高考理科試題第19題)

分析 1)出現(xiàn)2個變量即需要建立方程組，即

2)先確定X的可能取值有3，4，5，6，然后根據(jù)實際情況計算每一種情況的概率

由此可得X的分布并計算出數(shù)學期望

評注 離散型隨機變量及其分布列從現(xiàn)有的情況來看,考查難度不會太大，但由于其具有一定的綜合性和應用性，學生在理解隨機變量X的取值及其概率計算時常常會出錯，因此平時在這方面的復習還需關注.

4 精題集萃

1.將2個相同的白球、3個相同的紅球、4個相同的黑球全部投入A,B,C這3個袋中，則無空袋的投放方法有

( )A.723種 B.865種 C.900種 D.1 204種

( )

3.甲、乙、丙3人各寫一張賀卡隨意送給丁、戊2人中的一人，則丁、戊2人中恰有一人收到一張賀卡的概率是

( )

4.將5個大小互不相同的球放入編號為1，2的2個盒子中，要求每個盒子里放入的球數(shù)不小于編號數(shù)，則不同的放球方法有______.

5.若(1-2x)2 017=a0+a1x+a2x2+…+

6.一個均勻小正方體的6個面中，3個面上標有數(shù)0，2個面上標有數(shù)1，1個面上標有數(shù)2，將這個小正方形拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學期望是______.

8.某市教育局組織中學生足球比賽，共有實力相當?shù)?支代表隊(含有一中代表隊、二中代表隊)參加比賽，比賽規(guī)則如下：

第1輪：抽簽分成4組，每組2隊進行比賽，勝隊進入第2輪;第2輪：將4隊分成2組，每組2隊進行比賽，勝隊進入第3輪;第3輪：2隊進入決賽，勝隊獲得冠軍.

現(xiàn)記ξ=0表示整個比賽中一中代表隊與二中代表隊沒有相遇，ξ=i表示恰好在第i輪比賽時一中代表隊與二中代表隊相遇(其中i=1,2,3).

1)求ξ的分布列；

2)求Eξ.

參 考 答 案

8.解 1)ξ可取0，1，2，3,則

表2 隨機變量ξ的分布列

2016-12-31；

2017-02-23

吳寅靜(1974-)，女，浙江杭州人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O122.4

A

1003-6407(2017)04-44-04