吳語來 蔡金轉(zhuǎn)

摘 要：高等代數(shù)是一門面對數(shù)學專業(yè)開設(shè)的基礎(chǔ)課程。隨著科學技術(shù)的發(fā)展，高等代數(shù)的理論和思想方法在各個科學領(lǐng)域都有深刻的應用。文章探討了在跨學科的背景下，高等代數(shù)課程改革的方法和實例，提出了在面對跨學科型人才的高等代數(shù)教學中的一些思考和建議。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；教學改革；跨學科

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）14-0061-03

Abstract： Advanced algebra is a basic course facing students majoring in mathematics. Nowadays with the development of science and technology， the theory and method in advanced algebra have been applied in many fields of science. Under such an interdisciplinary background， this paper discusses some methods and examples of the reform of advanced algebra course and puts forward some thoughts and suggestions in teaching advanced algebra for interdisciplinary students.

Keywords： advanced algebra； education reform； interdisciplinary

引言

高等代數(shù)是數(shù)學類專業(yè)本科生的專業(yè)必修課程之一，也是最基本、最核心的課程之一。高等代數(shù)開設(shè)于本科一年級，既是對中學算數(shù)的延拓，也是本科后續(xù)課程的基礎(chǔ)。對高等代數(shù)的學習和改革，直接影響著學生數(shù)學專業(yè)思維的訓練和興趣的培養(yǎng)，并間接的影響其今后方向和道路的選擇。不僅如此，作為現(xiàn)代科學各個分支的基礎(chǔ)，高等代數(shù)的思想、理論與方法都已滲透到科學領(lǐng)域的各個方面和實踐應用的各個部門，許多工科專業(yè)已經(jīng)不滿足于線性代數(shù)的內(nèi)容，一些院校已經(jīng)開始將高等代數(shù)設(shè)置成進入通識教育的選修或必修課程。所以，高等代數(shù)已經(jīng)不再局限于數(shù)學專業(yè)的本科教育。然而，高等代數(shù)課程目前開設(shè)范圍較小，教材更新較慢，內(nèi)容設(shè)置偏理論，學時緊張，針對工科專業(yè)的教師和學生對高等代數(shù)的教學方法仍在逐步改進中，因此，對面向跨科學的高等代數(shù)課程的設(shè)置的改革和反思[1，2]，尤為迫切，也越來越受到人們的重視。

一、從課程本身設(shè)置上引入學科交叉

近年來，越來越多的學校，注意到對單一專業(yè)的知識、思維能力和素質(zhì)的培養(yǎng)，已經(jīng)不能夠滿足現(xiàn)代科技和就業(yè)的交叉性、多樣性和廣度。在高校雙學位制度之后，跨學科式的高等教育，已經(jīng)頻頻出現(xiàn)在人們視野。2000年，國防科技大學對本科應用數(shù)學、應用物理和光電工程等三個專業(yè)實施教學改革，提出在三個本科專業(yè)實現(xiàn)數(shù)理打通，對三個專業(yè)的前兩年基礎(chǔ)課進行統(tǒng)一施教。2007年，北大元培學院成立，實行低年級不分專業(yè)，學生能夠在全校所有學科范圍內(nèi)選擇課程、安排知識結(jié)構(gòu)，設(shè)置跨學科專業(yè)、通識教育基礎(chǔ)課，構(gòu)建具有前瞻性的課程體系。這些長遠的布局，都是希望能通過貫徹加強基礎(chǔ)，促進交叉，培養(yǎng)有情懷、視野、兼?zhèn)鋭?chuàng)新精神和實踐能力，在各行業(yè)起引領(lǐng)作用的高素質(zhì)人才[3，4]。在這樣的大背景下，對課程的設(shè)置和更新，以及與其他學科的交叉背景的介紹和承接，顯得非常緊迫和重要。

然而在大多數(shù)高校中，高等代數(shù)只對數(shù)學專業(yè)的學生展開[5]；市面上的高等代數(shù)教材，也大多源于上世紀七十年代北大或清華的講義，經(jīng)典而穩(wěn)定，采用的是傳統(tǒng)的敘述方式：公理體系出發(fā)，遵循“定義-例子-定理-證明-推論”的演繹進行。這樣的方式有它的優(yōu)點， 那就是把數(shù)學知識重新整理、系統(tǒng)化，便于課堂講授。然而，對于非數(shù)學專業(yè)的學生來說，對于高等代數(shù)課程的知識背景、培養(yǎng)目標和學習的目的都和數(shù)學專業(yè)的學生有非常大的差異。對于目前普通高等院校的工科類學生而言，把抽離出來的背景和來源的數(shù)學知識，邏輯和關(guān)系都建立起具有生活或?qū)W科背景的橋梁，是非常有意義且重要的舉措。

（一）與幾何一體化

幾何為代數(shù)提供直觀背景，代數(shù)為幾何提供研究方法。高等代數(shù)和解析幾何具有非常緊密的聯(lián)系。解析幾何是利用代數(shù)方法處理低維空間（二維和三維空間）上的幾何問題。高等代數(shù)主要介紹多項式理論和線性代數(shù)理論，具有較強的抽象性和邏輯性，但高等代數(shù)中許多基本概念和方法都有很強的幾何背景[6]。數(shù)形結(jié)合可以使學生在具體的幾何背景下更好地掌握代數(shù)方法去處理科學技術(shù)中遇到的各類問題。

例如，高等代數(shù)的第三章介紹線性方程組的解。經(jīng)典的教材是通過消元法，和對矩陣的秩的情況，解讀線性方程組解的判別定理，以及解的結(jié)構(gòu)問題。具體講授中，可以通過多媒體講解，將幾何背景融入進去。由于每個線性方程可以解讀為n維空間的超平面，線性方程組的解可以解讀為超平面的交點。從二維入手，解釋直線相交的三種情形，解釋兩根直線相交出現(xiàn)無窮多個交點的情形，在代數(shù)上表現(xiàn)為二階行列式為零。將直觀的低維幾何背景引入，把空間直線、平面和代數(shù)知識有機地結(jié)合起來，可以在不削弱原有知識的基礎(chǔ)上，將知識的結(jié)構(gòu)調(diào)整得更完整，從而優(yōu)化了教學過程。

（二）與物理背景相結(jié)合

例如，在介紹線性空間和線性變換的時候，可以對其背景做出解釋和闡述。線性空間是從我們所生活的空間中抽象出來的，包含我們所在空間中最基本的信息。線性空間里的點和向量（矢量）之間的關(guān)系，線性空間里的變換，其本質(zhì)代表著質(zhì)點的運動（或躍遷）。矩陣是在某種坐標系下，線性變換（運動方式）的描述。而同一個變換，由于選取的坐標系不同，其表示矩陣看上去是不同的，但是它們的本質(zhì)是一樣的，所以叫特征（本征），矩陣之間的關(guān)系叫相似。

另外，在介紹矩陣的轉(zhuǎn)置時，可以從力、功和能量的角度，來介紹反對稱矩陣和辛之間的聯(lián)系[7]。

（三）經(jīng)管統(tǒng)計相結(jié)合

在介紹特征值和特征向量的時候，學生往往非常迷茫于為何要設(shè)置這樣的概念，這時可以相應的介紹一點應用背景[8]。例如，馬爾可夫人口模型。將人口模型應用矩陣來設(shè)置更新分類，通過對矩陣的特征值和特征向量的求解，來求達到人口平衡模型的解，并指出這種預測在宏觀政策上的導向意義。

總之，面對跨學科應用型人才培養(yǎng)的高等代數(shù)課程，應該根據(jù)課程定位和學生專業(yè)興趣與要求，在課程內(nèi)容與體系設(shè)計上，堅持課程內(nèi)容敘述上的啟發(fā)性，加強課程內(nèi)容的交叉背景，兼顧課程內(nèi)容的學術(shù)性和應用性，并在課程內(nèi)容的定位中要考慮到學生的現(xiàn)實性和發(fā)展性。

二、教學方法上多樣化

大學本科教學學時非常緊張是一個普遍現(xiàn)象。傳統(tǒng)的授課方式為講授法，這種方式在近代數(shù)學教育的歷史上，使用最多最頻繁。其最大的優(yōu)點在于，能用最少的時間傳授最多的知識點，在教育缺乏的年代，這樣的方式，使得我國科學技術(shù)的斷層得以迅速的彌補，知識結(jié)構(gòu)得以迅速擴張，在許多的學科上，可以明顯的看見從無到有的迅速積累過程。然而，在中國經(jīng)濟體量成為世界第二大的今天，社會的進步和科技的進展使得教學內(nèi)容在不斷的增加。在有限的學時中盡可能多的授業(yè)，僅僅靠老師在課堂上灌輸是遠遠不夠的。并且，開始有獨立思維的學生也不再甘愿屈服于填鴨式的教學。不僅如此，高等代數(shù)課程比之初等數(shù)學的課程而言，理論性強、內(nèi)容抽象，學生學習有一定困難。不少同學在剛進入大學時信心滿滿，然而沒上幾節(jié)課就開始放棄。教學內(nèi)容的深奧更需要教師花時間和心思對教學方法進行探索和改進。

（一）課堂教學的多樣性

一節(jié)課的時間是有限的45分鐘，然而課外的時間卻遠遠成倍于之。重新調(diào)整課堂時間，通過課外的時間來補充學時內(nèi)的不足，是一個非常不錯且可行的辦法。近年來，緣起于Mooc（Massive Open Online Courses）的教學建設(shè)在我國掀起了教改的高潮。引進開放式在線課程，優(yōu)勢和不足都引起了極大的反響。其天然的優(yōu)勢在于，打破時間和空間的局限性，教學方式非常靈活，并且可以極大的豐富傳統(tǒng)課時里緊張的內(nèi)容，有著非常廣闊的前景和重要的意義。其不足在于不少剛成年的學生的自主學習意識薄弱，Mooc不適合作為高等代數(shù)這類趣味性弱且高度抽象的課程的主要教學模式。因此，我們認為，Mooc和一些在線課程和視頻，可以作為傳統(tǒng)授課的輔助手段。對于一部分非常有學習興趣和學習主動性的學生而言，利用Mooc、教學短視頻、電子書和學習論壇等輔助方式來引導其完成課堂教學之外的內(nèi)容擴展，為學有余力的同學拓寬視野，拓廣知識結(jié)構(gòu)。

（二）增加互動式實踐學習模塊

教學是老師和學生之間共同完成的活動。因此學生對課程內(nèi)容的反饋和互動，是非常寶貴的。在傳統(tǒng)輸送式講授和在線播放之外，還可以將研究生的討論班模式引進課堂。老師可以布置一些命題和富有實踐意義的專題，讓學生們自主選擇學習一段專題或研究一個具體的問題，在課下以小組的形式討論形成集中意見。學生之后在課堂上講述自己學習的體會和所得，在講述的過程中發(fā)現(xiàn)自己的不足，并通過思考同學之間的提問，引發(fā)不同思路之間的交流和碰撞。同時，老師在講臺下聽取意見，并加強引導和指導方向，從而達到深入學習的目的。

（三）打破一個教師教一門課的禁錮

每一位老師都是由傳統(tǒng)的專業(yè)性教育成長起來的。專業(yè)的局限性，使得在教授課程時，多少都帶有且僅帶有自身專業(yè)的背景。然而，下一代的學生將處于一個多樣交叉的時代，單一的專業(yè)背景恐怕并不能夠滿足教學的需要。一個解決的想法是，將高等代數(shù)課程，在介紹完了基本知識之后，設(shè)置幾次專題，根據(jù)所學的不同的知識點，邀請幾個不同專業(yè)的老師，根據(jù)自身的方向和應用來講解理論背后的背景和應用。由于高等代數(shù)和多門學科之間的高度交叉性，一門課由一個老師主講，兩三個老師協(xié)助共同完成是完全可以實現(xiàn)的，并且在擴展學生的視野，打破授課風格的單一性，以及開拓知識結(jié)構(gòu)的層面上，都是非常有益的。

三、激勵學生學習的方法

由于本科階段靠自學為主，與高中師長頻頻緊盯差異甚大。如何調(diào)動學生自主學習，是每個任課老師都非常關(guān)注的問題。

（一）考核和評價體系的優(yōu)化

普通高校的考核模式一般為，平時成績與考試成績?nèi)呋蛘叨碎_。而平時成績一般與學生作業(yè)的完成情況，平時的課堂表現(xiàn)和上課的出勤情況等等相關(guān)。多年以來這樣的設(shè)置，已經(jīng)被學生接納。于是平時成績就成為了教師根據(jù)實際班級的情況和學生博弈的一個調(diào)節(jié)手段。因此如何設(shè)置合理的激勵機制，利用合理的評價體系來促進學生對課程的學習，是一個非常值得探索的問題。

對于學生學習的激勵，可以由外向內(nèi)來進行。從外部層面上說，學習的成績和排名是直接和保研、出國以及能否順利畢業(yè)等獎懲措施掛鉤的。對內(nèi)而言，學習是學生自我的要求，對內(nèi)心的自信、自我實現(xiàn)的完成度都會成為學習的動力。對主動學習的學生而言，要保證評價的公平性，并且激發(fā)其課下的潛力，比如鼓勵和指導其參加數(shù)學建模競賽等。對學習積極然而有困難的學生而言，要積極溝通，幫助其解決困難，增加其對學習掌握后的信心。對于消極怠工的學生，可以采用小組搭建的方式，通過樹立學風和良好的學習習慣學習態(tài)度，使其不至于掉隊。

另一方面，學生在自己團體中的地位也會影響學習的積極性。例如在課程設(shè)計等通過分組完成的部分，每個學生可以自由的選擇命題，選擇命題相同的自動成為一個小組，同時在每個小組里設(shè)置名額有限的分數(shù)等級，通過學生之間的投票來完成最后的評分。既保證了對不同命題難易程度導致的分數(shù)差異的公平性，又激發(fā)了學生內(nèi)心希望收獲班級同學間的尊重感和成就感的渴望，在激勵學生自主學習的積極性上，是一個非常好的方法。

（二）移動學習

高等代數(shù)是一門有著非常深刻背景應用的學科，這樣的特點，非常適合利用手機來進行一些碎片知識的學習。教師可以自己寫一些通俗易懂的科普性文章，或者推薦好的公眾號，利用朋友圈和qq等社交工具分享給感興趣的學生。學生可以在一些碎片時間里，通過閱讀這些文章，更加激發(fā)起自己的學習興趣，豐富知識。而學生之間的二次分享，也將雪片式地帶動更多的學生進行碎片時間的利用和學習。

四、結(jié)束語

對于高等代數(shù)課程教學教法的改革和創(chuàng)新，必須兼顧數(shù)學素質(zhì)和邏輯的培養(yǎng)，以及應用和背景的介紹和使用，貫徹以學生為主，通過各種教學手段和教學方法的改進來提高學生對該課程的學習興趣，培養(yǎng)學生的邏輯思維、抽象思維能力，以及自主學習的能力，為以后的學習和工作打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]楊漢清.比較高等教育概論[M].人民教育出版社，1997.

[2]Axler S.線性代數(shù)應該這樣學（第2版）[M].人民郵電出版社，2009.

[3]王玉行.高等代數(shù)教學對學生形成和發(fā)展數(shù)學品質(zhì)的意義及教學策略[J].數(shù)學教育學報，2007，16（3）：92-94.

[4]徐利治.徐利治論數(shù)學方法學[M].山東教育出版社，2001.

[5]陳利霞，王學文.應用型人才培養(yǎng)模式下的高等代數(shù)教學改革的探討——以信息與計算科學專業(yè)為例[J].課程教育研究，2016（13）.

[6]戴清平，李超，謝端強.高等代數(shù)與解析幾何一體化教學思考[J]. 數(shù)學理論與應用，2004（4）：92-94.

[7]鐘萬勰.力、功、能量與辛數(shù)學（第2版）[M].大連理工大學出版社，2009.

[8]張美娟.統(tǒng)計學專業(yè)數(shù)學基礎(chǔ)課程改革的研究[J].教育教學論壇，2015，40：99-101.