耿先亮

（廣東省廣州市番禺區(qū)象賢中學(xué) 廣東 廣州 510000）

【摘要】 傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容較為單一，章節(jié)之間缺乏聯(lián)系，學(xué)生學(xué)到的知識缺乏整體性，對高中數(shù)學(xué)缺乏全面系統(tǒng)的認(rèn)知。新課改要求數(shù)學(xué)教學(xué)不僅需要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更多的是讓學(xué)生具有創(chuàng)新精神和實踐能力，并能將數(shù)學(xué)知識化為己用，靈活運用所學(xué)知識，達(dá)到提高綜合素養(yǎng)的目的。平面向量作為高中數(shù)學(xué)中的重要組成部分，與其他章節(jié)之間相互滲透，通過平面向量與其他章節(jié)的整合探究，分析平面向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究，并提出優(yōu)化應(yīng)用模式的意見和建議。讓平面向量發(fā)揮出最大的作用，從而使高中數(shù)學(xué)教學(xué)獲得最大化的學(xué)習(xí)效果。

【關(guān)鍵詞】 平面向量 高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）04-083-01

高中數(shù)學(xué)的各個章節(jié)都不是獨立成型的，而是環(huán)環(huán)相扣的，彼此之間有豐富的聯(lián)系。新課改背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，就是將知識點之間整合聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力。平面向量知識是新課改后加入新教材的內(nèi)容，為高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)帶來了新的挑戰(zhàn)。將平面向量運用到高中數(shù)學(xué)的不同章節(jié)中，能增強(qiáng)學(xué)生的思維能力，而且擴(kuò)大了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的容量，增加了學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度和寬度。因此，教師應(yīng)當(dāng)立足于新型的教學(xué)理念，結(jié)合平面向量的內(nèi)涵惡化實質(zhì)，利用平面向量建構(gòu)新的數(shù)學(xué)教材知識體系，培養(yǎng)出學(xué)生應(yīng)用向量解決問題的能力。

1.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

教材中對于“三角函數(shù)”的定義為：結(jié)合“相似三角形”的相關(guān)知識點，三角形中確定的角α，點P與α二者之間的比值（ 如果存在的話）不會隨點 P在α終邊上位置的改變而改變。教師在教學(xué)時，應(yīng)該分析這個定義產(chǎn)生的復(fù)雜情況：當(dāng)角α終邊在第一象限時，學(xué)生能比較容易的理解。當(dāng)終邊在其它象限，利用“相似三角形”來教學(xué)就不利于學(xué)生理解，需要涉及到有向線段的數(shù)量，這時就需要借助共線向量來展開教學(xué)。向量的內(nèi)積與兩角和與差的三角函數(shù)的導(dǎo)入兩角和與差的三角函數(shù)的導(dǎo)入，歷來是教材編排的難點，對于教師教學(xué)來說更是難以攻克的難題，雖然高中數(shù)學(xué)教材更新時間快，對于這一問題有很多專家學(xué)者都進(jìn)行了研究，但仍然沒有找到較好的方法解決，因此，將平面向量引入“三角函數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，能夠讓學(xué)生更容易理解，也為解決這一難題提供了較好的先決條件，最終產(chǎn)生了利用向量內(nèi)積導(dǎo)入兩角差的余弦公式。

2.向量在解方程中的應(yīng)用

向量知識對于高中數(shù)學(xué)中的很多章節(jié)而言，都具有積極意義，教師應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生利用向量解決數(shù)學(xué)問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生提高自身的綜合能力。教師可以在教學(xué)中打破按章節(jié)教學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)模式，利用向量將各個章節(jié)結(jié)合起來，向量能起到工具作用，促進(jìn)學(xué)生自我學(xué)習(xí)能力的提升。向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)章節(jié)之間的過渡知識，已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的媒介內(nèi)容。例如，已知2x+3y+z=13和4x2+9y2+z2+15y+3z=82兩個公式都成立，求實數(shù)x、y、z的值。傳統(tǒng)教學(xué)模式中會采用方程解析的解題方式，對于學(xué)生來說解題過程有一定的難度，如果利用向量知識解答，能夠簡化解題步驟，也更便于學(xué)生的理解和掌握。首先可以將2x+3y+z=13和4x2+9y2+z2+15y+3z=82相加，通過配方可以得出（2x）2+（3y+3）2+（z+2）2=108；這個方程式能夠運用向量知識解析，通過設(shè)向量P（2x，3y+3，z+2），Q（1，1，1），通過計算，得出當(dāng)2x=3y+3=z+2>0，這兩個公式才能成立，依據(jù)這些條件，最終得出方程的答案。向量能夠解答很多變形過程復(fù)雜的方程題，提高學(xué)生的解體效率，并進(jìn)一步鍛煉學(xué)生運用多種技巧解答問題的能力。

3.向量在不等式證明中的應(yīng)用

部分不等式證明如果不進(jìn)行變形處理，解答會遇到困難。如果教師按照傳統(tǒng)解題方式讓學(xué)生解答，會耗費學(xué)生大量時間，讓學(xué)生非常困惑。如果引入向量知識，不等式的變形會更易于處理，能簡化解題步驟，更容易得出結(jié)論。某些含有乘積之和或者乘方之和的不等式較難解決，也可以根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造向量證明。例如，當(dāng)m，n都不為0，且符合（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，如何證明a/m=b/n？教師可以引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個等式括號內(nèi)的部分與向量模和數(shù)量積相同，利用平面向量知識，設(shè)P為（a，b），Q為（m，n），根據(jù)平面向量的特點，得出P與Q之間是平行關(guān)系，最終能變換成為a/m=b/n，將抽象的等式轉(zhuǎn)換為具象向量，最終得出結(jié)果。由此可以證明，向量能夠?qū)⒊橄笮缘膯栴}轉(zhuǎn)換為直觀的具象模型，從而讓學(xué)生更容易理解題干內(nèi)容，從而提高解決問題的效率。向量在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用范圍較為廣泛，實用性和很強(qiáng)。

4.向量在平面幾何中的應(yīng)用

向量的大小和方向可以表現(xiàn)出線段和點的位置和長度關(guān)系，因此，利用向量知識解決平面幾何的問題，比用幾何知識解答要更加高效和便捷，也更利于學(xué)生理解。例如，已知三角形ABC的三點坐標(biāo)為A（-3，1）、B（2，0）、C（0，-2），求AB、BC、CA三個線段的中點E、F、G，求相關(guān)直線EF、FG、GE的方程。利用傳統(tǒng)解答辦法很難解答，利用向量知識，設(shè)E（1，-1）、F（-1.5，-0.5）、G（-0.5，0.5），再利用向量解直線方程即可。需要注意的是，在求解的過程中要將點、線段之間的關(guān)系整理清楚，以免產(chǎn)生錯誤，影響最終答案。通過舉例能夠看出，將向量作為解答平面幾何問題的工具，能夠?qū)⑵淠Ｊ交?，并讓學(xué)生在思考研究中總結(jié)出向量知識的規(guī)律，從而更加方便的解決不少實際問題。總而言之，讓學(xué)生熟練使用向量知識解決問題，能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和應(yīng)用能力，對學(xué)生掌握高中數(shù)學(xué)知識點、培養(yǎng)綜合數(shù)學(xué)能力具有重要意義。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]求解高考幾何題的向量方法.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（5）.

[2]高中數(shù)學(xué)課程改革中的向量背景與前景分析.數(shù)學(xué)通報，2012（5）.

[3]例談向量與解析幾何的交匯.數(shù)學(xué)通訊，2013（3）.