【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維發(fā)展始終是相依相隨、互相促進(jìn)的。數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生思維發(fā)展和提升的沃土，教師應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、思維方式和特點(diǎn)，找準(zhǔn)教學(xué)過程中知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、聚合點(diǎn)、疑難點(diǎn)、核心點(diǎn)、梳理點(diǎn)”這些切入點(diǎn)，有計(jì)劃、有方法地注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生向著思維深處漫溯，開啟學(xué)生的智慧，綻放數(shù)學(xué)的魅力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；課堂切入點(diǎn)；數(shù)學(xué)思維

能力是保證個(gè)體“能”順利地完成一定活動(dòng)、直接影響活動(dòng)效率的主觀條件，是有知識(shí)和智力等構(gòu)成的有機(jī)整體[1]。那么“數(shù)學(xué)能力”就是人們“能”順利地完成數(shù)學(xué)活動(dòng)、直接影響其活動(dòng)效率的主觀條件。而其中數(shù)學(xué)思維能力則是直接影響數(shù)學(xué)能力的核心要義。c“數(shù)學(xué)是思維的體操”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的總目標(biāo)之一就是要求學(xué)生能“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”[2]。因此數(shù)學(xué)課堂中，要以學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展為主旨，有效處理和把握好掌握知識(shí)與發(fā)展思維之間的關(guān)系，順應(yīng)學(xué)生的思維生長(zhǎng)和發(fā)展?fàn)顟B(tài)，敏銳并具智慧地掐準(zhǔn)課堂中知識(shí)的形成節(jié)點(diǎn)，適時(shí)引導(dǎo)、助推和開化學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，在數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得和積累的過程中，理解知識(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維能力。

一、鄰家老枝發(fā)新芽——在知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)處引入，激起數(shù)學(xué)思維的火花

“知識(shí)是‘生長(zhǎng)出來(lái)的”。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是知識(shí)不斷積累和能力不斷提高的過程，新知識(shí)的學(xué)習(xí)是在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行的“老枝發(fā)新芽”，學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解是逐步由模糊到清晰、由零碎到完整并逐步融入原有知識(shí)體系之中[3]。因此，在課堂教學(xué)過程中，教師要結(jié)合新舊知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)來(lái)巧妙引入，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考。當(dāng)學(xué)生通過自己的積極思維而得到結(jié)論時(shí)，那種喜悅是由衷的，獲得的成就感也是非常強(qiáng)烈的，這種獨(dú)特的感受會(huì)促使學(xué)生不斷地利用自己已有的知識(shí)去對(duì)新知識(shí)進(jìn)行探索和領(lǐng)悟，在一點(diǎn)點(diǎn)、一步步的不斷思考的過程中，學(xué)生的思維能力就會(huì)不斷攀升。

例如在教學(xué)“認(rèn)識(shí)公頃”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方厘米、平方分米、平方米三個(gè)面積單位，這是學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，我首先是激活舊知，出示正方形（正方形邊長(zhǎng)用“？”來(lái)表示）讓學(xué)生依次用一句話來(lái)具體闡述已學(xué)過的面積單位，課件相機(jī)演示。接著，拋出問題：“你能根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)再創(chuàng)造出一些更大的面積單位嗎？”學(xué)生思維飛揚(yáng)：“邊長(zhǎng)是10米的正方形，面積是1平方米”，“邊長(zhǎng)是100米的正方形，面積是10000平方米”，“邊長(zhǎng)是1000米的正方形，面積是1000000平方千米”，此時(shí)，教師指出：“100平方米就是1公頃，公頃就是今天要學(xué)習(xí)的新的面積單位?！痹诖嘶A(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生日常生活實(shí)際，通過不同的素材和形式讓學(xué)生去感知1公頃的大小，增進(jìn)新知的感悟和體驗(yàn)。上述教學(xué)中，我緊緊抓住知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，即正方形邊長(zhǎng)的依次變化增大，相應(yīng)的面積單位也就變化增大，以此為契機(jī)，激活了學(xué)生思維的火花。在學(xué)生聯(lián)系已學(xué)的三個(gè)面積單位創(chuàng)造新的面積單位的過程中巧妙無(wú)痕地引入、衍生了公頃，讓學(xué)生拾級(jí)而上，有序建構(gòu)了面積單位思想模型，既加深了不同面積單位由來(lái)的感悟，又很好地銜接了平方米和公頃兩個(gè)面積單位。這樣，緊抓知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，適切引入，靈性生發(fā)，思維生長(zhǎng)，理解深刻。

二、絕知此事要躬行——在知識(shí)關(guān)鍵點(diǎn)處探究，迸發(fā)數(shù)學(xué)思維的張力

抓住了知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)，就抓住了課堂教學(xué)的脈絡(luò)、主調(diào)。教學(xué)中，教師要善于緊抓關(guān)鍵點(diǎn)，將原生態(tài)的知識(shí)推到學(xué)生面前，讓學(xué)生在自主探究知識(shí)實(shí)質(zhì)的過程中，迸發(fā)數(shù)學(xué)思維的張力，顯現(xiàn)智慧的魅力，促進(jìn)對(duì)新知的感悟和內(nèi)化。

例如在用假設(shè)策略解決實(shí)際問題中，理解兩種量之間的倍數(shù)關(guān)系和相差關(guān)系是教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，我在出示例題時(shí)，故意隱去了“小杯的容量是大杯的”這一關(guān)鍵信息，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)情境中缺少條件并主動(dòng)去補(bǔ)充條件。這樣，學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)將自然地聚焦到大杯和小杯的容量之間的關(guān)系這一假設(shè)的依據(jù)上。學(xué)生補(bǔ)充的條件有倍比關(guān)系的，也有相差關(guān)系的，而這正是運(yùn)用假設(shè)策略來(lái)解決問題的兩個(gè)重要依據(jù)和抓手，學(xué)生思維清晰、規(guī)范、指向集中，假設(shè)的策略也就呼之欲出。此時(shí)，首先出示“小杯的容量是大杯的”，學(xué)生通過“畫一畫”得出了“1個(gè)大杯假設(shè)成3個(gè)小杯或3個(gè)小杯假設(shè)成1個(gè)大杯”的策略；其次出示“大杯的容量是小杯的4倍”。學(xué)生解答時(shí)大多認(rèn)為把1個(gè)大杯假設(shè)為4個(gè)小杯比較簡(jiǎn)便。認(rèn)為把小杯假設(shè)為大杯的話，不能正好得到幾個(gè)大杯，雖然大杯個(gè)數(shù)不能正好得到整數(shù)，但也可算出大杯的容量。由此體會(huì)到在具體運(yùn)用策略時(shí)，要優(yōu)化假設(shè)策略，選擇合適的假設(shè)方法；再次出示“大杯的容量比小杯多20毫升”，學(xué)生有了前面假設(shè)的經(jīng)驗(yàn)，就能創(chuàng)造性地運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)展開探究：發(fā)現(xiàn)相同之處都是知道了兩種杯子的關(guān)系，但現(xiàn)在的條件是“一個(gè)大杯比一個(gè)小杯多20毫升?！币粋€(gè)大杯換幾個(gè)小杯？——只能換一個(gè)，但換了以后會(huì)怎樣呢？——總量發(fā)生變化，在經(jīng)過“畫一畫、想一想、議一議”的自主探究之后，學(xué)生的思路豁然開朗，找到了具體的假設(shè)方法。這樣，抓住兩個(gè)量之間的關(guān)系這一關(guān)鍵點(diǎn)靈活地變化，充分調(diào)動(dòng)和激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，利用知識(shí)之間的遷移，突破了難點(diǎn)，并讓學(xué)生在比較中內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，明確了倍比、差比兩種不同類型的假設(shè)特征及其數(shù)學(xué)內(nèi)涵，學(xué)生思維馳騁，在變與不變中探尋聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的規(guī)律美。

三、千樹萬(wàn)樹梨花開——在知識(shí)聚合點(diǎn)處伸展，凸顯數(shù)學(xué)思維的廣度

數(shù)學(xué)知識(shí)的編排具有一定的結(jié)構(gòu)體系，分散在不同年級(jí)和學(xué)期，前后相互關(guān)聯(lián)并且逐漸深入推進(jìn)。教師應(yīng)厘清和把握具體數(shù)學(xué)知識(shí)的前后聯(lián)系與結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，基于學(xué)生思維發(fā)展水平，敏銳地捕捉相關(guān)知識(shí)的聚合點(diǎn)，在聚合點(diǎn)處伸展，引導(dǎo)學(xué)生在建構(gòu)思想模型的進(jìn)程中凸顯思維的廣度，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解從形式與內(nèi)容的認(rèn)知，走向數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)質(zhì)的升華[4]。

例如在教學(xué)解決問題的策略“一一列舉”時(shí)，在學(xué)生經(jīng)歷感受了“周長(zhǎng)是22米的長(zhǎng)方形，怎樣圍面積最大？”各種圍法的一一列舉過程中，體會(huì)到一一列舉時(shí) “十分講究有序思考，要做到不重復(fù)、不遺漏”的特點(diǎn)之后，我抓住“有序思考”這一聚合點(diǎn)，讓學(xué)生回顧交流：“在以前的學(xué)習(xí)中，我們?cè)\(yùn)用列舉的策略解決過哪些問題？”

學(xué)生思維活躍，精彩紛呈。

生1：一組一組地寫出10可以分成幾和幾。

生2：乘法口訣表的口訣也是一一列舉排列的。

生3：有序?qū)懗?張數(shù)字卡片能組成的所有三位數(shù)。

生4：用12個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的正方形拼出不同的長(zhǎng)方形。

生5：買一個(gè)娃娃配一個(gè)帽子的搭配方法。

生6：寫出1.1—1.2之間的所有兩位小數(shù)。

……

師：這些運(yùn)用一一列舉的策略來(lái)解決問題的過程有什么共同點(diǎn)？

師：可見，一一列舉是一種常用的解決問題的策略。生活中有許多實(shí)際問題，列式計(jì)算比較困難，如果聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，用一一列舉的方法就能比較容易地得到解決。

上述教學(xué)中，以問題為導(dǎo)火索，抓住一一列舉策略“有序思考”這一聚合點(diǎn)，讓學(xué)生在回顧、梳理的舉例中，將頭腦中已有的、零散的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)化，思維之泉噴涌而發(fā)。課堂上千樹萬(wàn)樹梨花開，既喚醒和激活了以往積累的列舉經(jīng)驗(yàn)，在交流中思維共鳴，又豐實(shí)了“有序思考”的思想模型，凸顯了思維的廣度，使學(xué)生更好地理解一一列舉策略，感受策略的延續(xù)性，充分體會(huì)策略的廣泛運(yùn)用與價(jià)值。

四、百思不解豁開朗——在知識(shí)疑難點(diǎn)處點(diǎn)撥，拓展數(shù)學(xué)思維的寬度

課堂上，當(dāng)學(xué)生在知識(shí)疑難點(diǎn)處思維卡殼時(shí)，如果沒有教師的適時(shí)點(diǎn)撥，他們會(huì)茫然不知所措，要么停止思考，要么四處出擊亂碰亂撞，以至于一無(wú)收獲。教師應(yīng)在遵循學(xué)生思維規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過點(diǎn)撥思維方向及思考方法，幫助學(xué)生打開、拓寬思維路徑，探尋更寬闊的視野，真正起到“四兩撥千斤”的功效[5]。

例如，我在教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時(shí)，先復(fù)習(xí)舊知判斷哪些數(shù)是2或5的倍數(shù)，只要觀察這些數(shù)的個(gè)位上數(shù)字的特征就行了。再出示一些數(shù)判斷哪些數(shù)是3的倍數(shù)，讓學(xué)生和老師比一比誰(shuí)的速度快，老師的判斷速度快，這其中必然有規(guī)律！由此引發(fā)學(xué)生探究的興趣，于是出示百數(shù)表，讓學(xué)生在表中找出3的倍數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)沿襲判斷2或5的倍數(shù)的特征的知識(shí)，從個(gè)位上看不出3的倍數(shù)的特征，怎么辦呢？判斷3的倍數(shù)到底有什么訣竅呢？此時(shí)學(xué)生的思緒紛繁、無(wú)從下手。我故作玄虛：“老師不看數(shù)，還能聽數(shù)速判呢！”于是讓學(xué)生在計(jì)數(shù)器上撥數(shù)，我背對(duì)計(jì)算器聽音速判撥出的一些數(shù)是否是3的倍數(shù)，設(shè)問：老師是怎樣判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)的？珠子總顆數(shù)與撥出的數(shù)有什么聯(lián)系？你能大膽猜想一下3的倍數(shù)與各位上數(shù)字的和有什么關(guān)系？你打算怎樣來(lái)驗(yàn)證？隨后引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)單上通過“先確定各位上數(shù)字的和——再寫出符合的數(shù)——判斷是否是3的倍數(shù)”正反兩方面的舉例驗(yàn)證，得出了3的倍數(shù)的特征。上述教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生新舊知識(shí)沖突陷入困境之時(shí)，通過教師“聽音判數(shù)”的巧妙設(shè)計(jì)和點(diǎn)撥導(dǎo)學(xué)，引發(fā)學(xué)生聚焦到“3的倍數(shù)與各位上數(shù)字的和有什么關(guān)系”的問題探究中，點(diǎn)明了學(xué)生的智慧之燈，撥動(dòng)了學(xué)生思維之弦，打開了學(xué)生思維的閘門，真可謂柳暗花明又一村。

五、千舉萬(wàn)變其道一 ——在知識(shí)核心點(diǎn)處變式，挖掘數(shù)學(xué)思維的深度

教學(xué)中，教師應(yīng)抓住核心知識(shí)點(diǎn)，在層層深入的變式中，于無(wú)痕處生根，在有形處開花，逐步讓學(xué)生向思維深處挺進(jìn)，體驗(yàn)和內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法及模型。

例如在教學(xué)解決問題的策略“轉(zhuǎn)化”中，我聚焦“化繁為簡(jiǎn)”也就是“變中求不變”的知識(shí)核心點(diǎn)對(duì)習(xí)題進(jìn)行了遞進(jìn)式的變式，引領(lǐng)學(xué)生深度思維，增進(jìn)學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化策略的體驗(yàn)和深化。

“練一練”：下列同樣大小的長(zhǎng)方形地中分別鋪設(shè)了一些小路（圖中小路的寬度都相等）。這些小路的面積相等嗎？為什么[6]？

在學(xué)生分別把圖形①和③中的小路通過平移轉(zhuǎn)化成與圖形②中完全一樣的小路，比較得出這些小路的面積相等后，我提出問題：“解決這個(gè)問題用到了什么策略？這些小路轉(zhuǎn)化前后什么變了？什么沒變？”“小路面積保證不變的話，圖①中這些小路還可以怎樣鋪設(shè)呢？誰(shuí)上來(lái)指一指？”學(xué)生指出不同的鋪法后，我再出示兩幅圖（如下圖）：

④ ⑤

例如還可以這樣鋪……這些小路形狀雖然變了，面積卻始終保持不變。是呀，我們?cè)谵D(zhuǎn)化的變化過程中，保證了面積也就是結(jié)果不變。這就是“變中求不變”。

此時(shí)，我又對(duì)習(xí)題進(jìn)行了變式。

如果在小路的周圍都種滿草坪，這些草坪的面積相等嗎？為什么？（如下圖）

學(xué)生反饋交流得出面積相等。方法1：只要平移圖形⑥和⑧中的小路，這樣就轉(zhuǎn)化成與圖形⑦完全一樣的小路，進(jìn)而得出草坪的面積相等。方法2：平移圖形⑥和⑧中的草坪，轉(zhuǎn)化成與圖形⑦完全一樣的草坪。

上述教學(xué)中，教材原題只是比較圖形①和②中小路的面積大小，我豐富題目的信息量，增加了圖形③變式題，在于加深學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化策略的感受和體會(huì)。首先是“練”——讓學(xué)生在比較面積的過程中主動(dòng)運(yùn)用和感受轉(zhuǎn)化策略；其次是“展”——讓學(xué)生上臺(tái)指著說(shuō)一說(shuō)小路面積不變的前提下還可鋪設(shè)的情況，直觀展示學(xué)生的思維，豐富學(xué)生的策略運(yùn)用；接著是“延”——列舉還可改變的不同形狀，拓展延伸“變”的無(wú)窮；最后是“承”——換個(gè)角度來(lái)比較草坪面積的大小，既提升學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用策略的意識(shí)，又與后續(xù)的練習(xí)無(wú)痕承接，巧妙地鋪墊和孕伏。這樣，通過對(duì)“練一練”四個(gè)層次的遞進(jìn)式的變式練習(xí)，讓學(xué)生深刻體會(huì)到“化繁為簡(jiǎn)”的轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)就是“變中求不變”，從而將學(xué)生的思維引向深處，在此過程中學(xué)生對(duì)于轉(zhuǎn)化中“變中求不變”的領(lǐng)悟和體驗(yàn)是深刻的。

六、余音繞梁猶未絕——在知識(shí)梳理點(diǎn)處反思，搭建數(shù)學(xué)思維的橋梁

反思就是學(xué)生對(duì)自己的思維過程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的檢驗(yàn)過程，是促進(jìn)知識(shí)同化和遷移的可靠途徑，是一種更深層次的學(xué)習(xí)過程[7]。教師教學(xué)完新知識(shí)之后，要留給學(xué)生消化和思考的時(shí)間，讓學(xué)生在知識(shí)梳理點(diǎn)處 “回頭看”，回顧與反思學(xué)習(xí)的過程、方法、收獲和困惑，在反思中由點(diǎn)連線、由線及面、由面搭橋，同時(shí)體悟到知識(shí)負(fù)載的方法、蘊(yùn)涵的思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累豐富的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和能力。

例如學(xué)生在學(xué)習(xí)了假設(shè)策略的例1、例2之后，教師可引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)梳理比較解決例1、例2的過程，反思它們都用了什么策略。為什么要用這一策略？運(yùn)用假設(shè)策略解決問題時(shí)要注意些什么？什么情況下適合用假設(shè)的策略？又如學(xué)生在學(xué)習(xí)了轉(zhuǎn)化策略后，可讓學(xué)生反思：我們通過哪些方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化？運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略有哪些優(yōu)點(diǎn)？在以后的學(xué)習(xí)和生活中你有何啟示？這樣就把解決問題的策略提升到相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想的高度來(lái)認(rèn)識(shí)，以展示數(shù)學(xué)本身的魅力。學(xué)生不僅知其然，更知其所以然，在此過程中順利搭建了思維的橋梁，就會(huì)自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光和思維方式去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，并把課內(nèi)知識(shí)自覺主動(dòng)地遷移和延伸到課外和生活實(shí)際之中，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的持續(xù)力和發(fā)展力。

思維就像一棵花，它是逐漸地積累生命的積液的。只要我們用這種積液澆灌它的根，讓它受到陽(yáng)光的照射，它的花就會(huì)綻開[8]?？傊?，教學(xué)中教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特點(diǎn)，找準(zhǔn)切入點(diǎn)，靈活、智慧地助推學(xué)生生長(zhǎng)思維、向思維深處漫溯，使學(xué)生學(xué)有所思、學(xué)有所獲、學(xué)有所長(zhǎng)，從而開啟學(xué)生的智慧，顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力。

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