郭勝紅

摘 要：給出了原函數(shù)存在定理的兩個(gè)簡(jiǎn)單推論，并討論了含有變限定積分的函數(shù)性狀及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：原函數(shù)存在定理；變限積分；極限

微積分學(xué)這門(mén)學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，變限積分就是一種特殊的定積分，也是經(jīng)常考察的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。它具有很多特殊的性質(zhì)，比如它的導(dǎo)數(shù)很特殊。特殊性決定了它的重要性，現(xiàn)就它的幾個(gè)性質(zhì)加以說(shuō)明并舉例闡述其應(yīng)用。此外，為了解決在定積分形式下證明連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù)這一問(wèn)題，必須引入變限積分這一內(nèi)容。

1知識(shí)點(diǎn)

設(shè)函數(shù)在上可積，變限定積分定義了上的一個(gè)新函數(shù)。

定理1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在上連續(xù)，則變上限積分在內(nèi)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為.即是被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)。

推論1：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，為內(nèi)任一定點(diǎn)，則變動(dòng)上限積分函數(shù)在上處處可導(dǎo)，且，。

此推論是變限積分的最重要的性質(zhì)，掌握此定理需要注意兩點(diǎn)：第一，下限為常數(shù)，上限為參變量（不是含的其他表達(dá)式）；第二，被積函數(shù)中只含積分變量，不含參變量。

推論2：若是函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，還在點(diǎn)可導(dǎo)，且。而對(duì)函數(shù)，當(dāng)連續(xù)，和可微時(shí)，可導(dǎo)且有。

討論含有變限定積分的函數(shù)性狀時(shí)，往往利用這些重要的結(jié)論。

2應(yīng)用

2.1求極限

解：令

，。

定義，在（或）上連續(xù)，利用洛必達(dá)法則可得：

2.2設(shè)函數(shù)連續(xù)，，存在，求極限

解：令，作代換，有：

，由于連續(xù)，可導(dǎo)，

由于，，以及時(shí)，利用洛必達(dá)法則可得：

2.3設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且遞增，則函數(shù)在內(nèi)遞增

證：容易看出在上連續(xù)，存在，使得，，所以：

，

即函數(shù)在內(nèi)遞增。

2.4設(shè)為上周期是1的連續(xù)函數(shù)，且，函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，又設(shè)，試證明收斂。

證明：令，則可導(dǎo)。

因?yàn)樵谠谏线B續(xù)，所以，使得，都有

，，而收斂，故由級(jí)數(shù)收斂的比較判別法知級(jí)數(shù)收斂。

盡管2.4從題目看來(lái)與變限積分函數(shù)求導(dǎo)無(wú)關(guān)，但是引入變限積分會(huì)有柳暗花明又一村的感覺(jué)。

有關(guān)變限積分函數(shù)的應(yīng)用是比較多的，本文只給出了變限積分函數(shù)的一些性質(zhì)和應(yīng)用的簡(jiǎn)單探討，以上討論只是一個(gè)開(kāi)始，如果進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行討論，會(huì)得到一些更好的結(jié)論，也期望可以從其他的角度來(lái)研究變限積分函數(shù)，使得變限積分函數(shù)像初等函數(shù)一樣充分的被討論，并給予足夠的重視。

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