☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 魏珂

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 胡典順

基于“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”視角下的解題教學(xué)*
——從波利亞解題思想出發(fā)

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 魏珂

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 胡典順

一、背景引入

2014年3月30日，《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》頒布后，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”一詞迅速引起數(shù)學(xué)教育界的熱議.一般認(rèn)為，六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)相互獨(dú)立又相互交融的有機(jī)整體，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅能衡量一個(gè)中學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，也是幫助中學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、進(jìn)行數(shù)學(xué)解題、歸納數(shù)學(xué)結(jié)論的重要素養(yǎng).因此，如何培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并將其運(yùn)用于解題教學(xué)是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育界值得重視的一個(gè)問(wèn)題.

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞（George Polya，1887—1985）一生中在數(shù)學(xué)界眾多領(lǐng)域都作出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，著名代表作《怎樣解題》對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了極大的影響.他的解題思想集中體現(xiàn)在他創(chuàng)立的“怎樣解題表”中，他將解題過(guò)程分為四個(gè)階段，即：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧.

下面，筆者以一道中考幾何題為例，在波利亞“怎樣解題表”的框架下，對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何在各階段發(fā)揮作用并引導(dǎo)解題展開(kāi)分析.

二、解題分析

（2016福建福州，25）如圖1，△ABC中，∠A=30°，AB=AC，以B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.

（1）求∠ABD的度數(shù)；

圖1

1.理解題目階段.

理解題目即審題.在審題階段，可以通過(guò)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，將已知信息具體化，可以引導(dǎo)出隱含信息，通過(guò)直觀想象素養(yǎng)對(duì)給出的圖形進(jìn)行分析和發(fā)現(xiàn)，再通過(guò)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)引導(dǎo)解題的方向.

分析：就本題而言，對(duì)于第（1）問(wèn)，從題目中的已知條件“AB=AC”可以抽象出隱含條件“△ABC是等腰三角形”，從“以B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧”可以抽象出隱含條件“BD=BC”，再通過(guò)對(duì)已知數(shù)據(jù)的分析，即可為“求出∠ABD的度數(shù)”作準(zhǔn)備.對(duì)于第（2）問(wèn)，題目中的隱含條件有“以B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧”，再通過(guò)觀察圖形，運(yùn)用直觀想象素養(yǎng)引導(dǎo)，容易看出所求陰影部分與△AED和扇形BED有關(guān)系，如圖2所示，從而確定第（2）問(wèn)的解題思路.

圖2

2.擬定方案階段.

審題結(jié)束后，即進(jìn)入分析所有條件并擬定解題方案階段.主要運(yùn)用邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)引導(dǎo)擬定解題方案.

分析：對(duì)于第（1）問(wèn)，運(yùn)用邏輯推理素養(yǎng)，可以找到未知角∠ABD與∠ABC之間的關(guān)系“∠ABD=∠ABC-∠DBC”，再運(yùn)用數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)確定邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}方向和方案：由理解題目階段發(fā)現(xiàn)的隱含條件“△ABC是等腰三角形”和已知條件“∠A=30°”可以通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算求出∠ABC和∠BCD的度數(shù)；再通過(guò)隱含條件“BC=BD”容易求出∠DBC的度數(shù)，從而求出未知角∠ABD的度數(shù).對(duì)于第（2）問(wèn)，從理解題目階段運(yùn)用直觀想象素養(yǎng)分析可知“S陰影=S△ABD-S扇形BDE”，從題中的已知條件“BD=”并運(yùn)用扇形面積公式容易求出扇形BDE的面積，這一問(wèn)的難點(diǎn)就在于求△ABD的面積.由于AB×高，通過(guò)直觀想象素養(yǎng)的引導(dǎo)，可以看出這里需要構(gòu)造輔助線，即△ABD的邊AB上的高DF（如圖3所示）.最后通過(guò)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算我們可以根據(jù)已知條件BD=和第（1）問(wèn)中求出的∠ABD的度數(shù)求出AB和DF的長(zhǎng)度，從而△ABD的面積可以求出.

圖3

3.執(zhí)行方案階段.

擬定方案結(jié)束后進(jìn)入執(zhí)行方案階段.本階段主要運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行書(shū)寫(xiě).

分析：對(duì)于第（1）問(wèn)，因?yàn)锳B=AC，∠A=30°，所以∠ABC=∠ACB=75°.由已知條件知BC=BD，所以∠BDC=∠BCD=75°，∠DBC=30°，從而∠ABD=∠ABC-∠DBC= 45°.

對(duì)于第（2）問(wèn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F.在Rt△BDF中，∠FBD=45°，BD=BC=，所以BF=DF=BD·sin45°==1.在Rt△ADF中，∠A=30°，所以AD=2DF= 2，AF=，所以AB=AF+BF=+1.所以S陰影=S△ABD-

4.回顧階段.

這道題是對(duì)初中幾何中“三角形”及“扇形”的考查，因此在回顧階段可以利用三角形和扇形的基本性質(zhì)進(jìn)行檢查反思.

分析：首先，要利用數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)對(duì)這道題的解題思路和解題方案進(jìn)行整體梳理；其次，對(duì)題目中的隱含條件和結(jié)論數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和檢驗(yàn)，看是否符合實(shí)際情況，這里既需要數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的引導(dǎo)，也需要數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的運(yùn)用.對(duì)于第（2）問(wèn)，也要對(duì)三角形和扇形的面積公式進(jìn)行檢查，并對(duì)計(jì)算出的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)和分析，看數(shù)據(jù)結(jié)果是否合理.這道題的難點(diǎn)之一就是運(yùn)用直觀想象素養(yǎng)將第（2）問(wèn)中要求的陰影面積轉(zhuǎn)化成另外兩個(gè)圖形的面積差，通過(guò)體會(huì)這一過(guò)程的發(fā)現(xiàn)，真正掌握解決此類(lèi)問(wèn)題的方法和技巧.可以看出，在回顧的過(guò)程中，六大核心素養(yǎng)都發(fā)揮了一定的引導(dǎo)作用，因此回顧階段是綜合提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑，不容忽視.

三、六大核心素養(yǎng)在解題教學(xué)中的運(yùn)用

1.運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象發(fā)掘信息.

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物中的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).通常在理解題目階段運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)對(duì)題目中的隱含條件和信息進(jìn)行發(fā)掘，將抽象變具體，將隱含變清晰.以上面這道中考題為例，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)可以從題目中的已知條件“AB=AC”發(fā)掘出隱含條件，即“△ABC是等腰三角形”，這對(duì)問(wèn)題的解決是至關(guān)重要的第一步.

2.運(yùn)用數(shù)據(jù)分析找出本質(zhì).

數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)、計(jì)算等方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng).題目中的圖表或數(shù)據(jù)往往有著內(nèi)在的聯(lián)系并隱含著重要的信息，在理解題目的過(guò)程中，可運(yùn)用數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)引導(dǎo)和分析已知數(shù)據(jù)，通過(guò)整理數(shù)據(jù)，找出問(wèn)題的本質(zhì)，從而解決問(wèn)題.比如，將這道中考題中的已知數(shù)據(jù)“∠A=30°”與已知條件結(jié)合起來(lái)分析，就是第（1）問(wèn)的求解的關(guān)鍵所在.

3.運(yùn)用直觀想象發(fā)現(xiàn)思路.

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).通過(guò)建立數(shù)與形的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)解題的直觀模型，再運(yùn)用邏輯推理和數(shù)學(xué)建模探索解決問(wèn)題的思路和模型.比如，這道中考題的第（2）問(wèn)無(wú)法直接求解，通過(guò)直觀想象素養(yǎng)的運(yùn)用可以看出圖形面積之間的關(guān)系，從而作出輔助線，發(fā)現(xiàn)解題思路.

4.運(yùn)用邏輯推理探索思路.

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推理出其他命題的素養(yǎng).邏輯推理是解題中的基本思維品質(zhì)，既要保證解題的嚴(yán)謹(jǐn)性，又要把握事物之間的關(guān)聯(lián)并引導(dǎo)出進(jìn)一步的解題思路.邏輯推理一般運(yùn)用于擬定方案和執(zhí)行方案的過(guò)程中，即對(duì)解題過(guò)程的書(shū)寫(xiě)，不僅要用正確的公式或文字進(jìn)行表達(dá)，頭腦中還要通過(guò)邏輯推理素養(yǎng)對(duì)整個(gè)解題思路進(jìn)行一步步推理與探索，從而完成解題.

5.運(yùn)用數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)方案.

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)模型的搭建是數(shù)學(xué)解題的重要形式，也是解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段.通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)引導(dǎo)，設(shè)計(jì)出解題方案，為下一階段的執(zhí)行方案奠定基礎(chǔ).數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)主要運(yùn)用于擬定方案階段，通過(guò)對(duì)邏輯推理出的思路進(jìn)行整理和建構(gòu)，在頭腦中設(shè)計(jì)出一個(gè)完整的解題模式和方案，為下一步的書(shū)寫(xiě)和計(jì)算打下良好的基礎(chǔ).

6.運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算得出結(jié)果.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).只有具備了一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，才能依據(jù)已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)思路引導(dǎo)運(yùn)算進(jìn)而得出結(jié)論.因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在解題過(guò)程中也是至關(guān)重要的，它不僅貫穿于整個(gè)解題過(guò)程，而且在執(zhí)行方案和回顧階段發(fā)揮著重要的作用，也是整個(gè)題目的結(jié)論是否正確的關(guān)鍵所在.

四、在解題教學(xué)中培養(yǎng)“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的建議與思考

1.加強(qiáng)概念教學(xué)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象.

在初中解題教學(xué)中，想要提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)就應(yīng)該重視題目中基本概念的提取.比如，上文這道中考幾何題中的基本概念就是“三角形”和“扇形”.學(xué)生只有理解了這兩個(gè)基本概念，并通過(guò)找出這些概念和圖形的內(nèi)涵和外延，結(jié)合概念的一些特殊性質(zhì)，才能抽象出題目的深層含義.當(dāng)然，基本概念的提取離不開(kāi)平時(shí)課堂中的概念教學(xué)，因此，要想很好地培養(yǎng)學(xué)生在解題中的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就應(yīng)該加強(qiáng)初中階段的概念教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中重視對(duì)基本概念的積累與記憶，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解題中提煉基本概念，從而簡(jiǎn)化條件找到本質(zhì).

2.重視計(jì)算訓(xùn)練，提高運(yùn)算分析.

在初中解題教學(xué)中，可以通過(guò)對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的鍛煉提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).在解題教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生從理解運(yùn)算的基本知識(shí)出發(fā)形成一定的運(yùn)算技能，可以采用“先慢后快”的原則，即剛開(kāi)始練習(xí)時(shí)運(yùn)算步驟和依據(jù)必須明確、清晰，運(yùn)算過(guò)程必須規(guī)范，待學(xué)生熟練后可適當(dāng)加快運(yùn)算速度或簡(jiǎn)化步驟.另外，還可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)運(yùn)算規(guī)律和基本類(lèi)型進(jìn)行分類(lèi)整理，使學(xué)生頭腦中建構(gòu)出完善的運(yùn)算知識(shí)系統(tǒng)，最終達(dá)到加快解題速度和提高正確率的效果.當(dāng)然，這些題目最好具有一定的規(guī)律性和趣味性，也可以作為思考題留給學(xué)生課下進(jìn)行思考，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)得到潛移默化的提升.

3.強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，提升直觀想象.

在初中解題教學(xué)過(guò)程中，對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行.第一，在教學(xué)過(guò)程中注重基本圖形的理解和積累.一般來(lái)說(shuō)，任何一個(gè)幾何問(wèn)題都是由基本圖形組成的，在解題過(guò)程中如果學(xué)生看到一個(gè)幾何圖形時(shí)能夠快速觀察、發(fā)現(xiàn)、分解出它蘊(yùn)含的基本圖形，無(wú)疑能達(dá)到事半功倍的解題效果.第二，讓學(xué)生體會(huì)并學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的思想和方法.如果學(xué)生學(xué)會(huì)了在解題時(shí)盡可能用畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題，化數(shù)為形，將代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，找到本質(zhì)，就可使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.第三，利用多媒體教學(xué)化靜為動(dòng).像幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板Z+Z、GeoGebra、3D數(shù)學(xué)教學(xué)平臺(tái)等動(dòng)態(tài)幾何軟件，有助于教師生動(dòng)、形象地展示幾何圖形的各種性質(zhì)和演示幾何變化的動(dòng)態(tài)效果，帶給學(xué)生直觀視覺(jué)上的沖擊，有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、認(rèn)識(shí)周?chē)挛镩g的數(shù)量關(guān)系和形體特征的興趣和意識(shí).

4.注重邏輯練習(xí)，鍛煉推理能力.

提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)解題也是很有必要的.對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)能夠保證學(xué)生在解題時(shí)的正確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，在教學(xué)過(guò)程中可以通過(guò)對(duì)類(lèi)比法、分析法（包括逆證法）、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法（要求分類(lèi)討論）等邏輯數(shù)學(xué)方法的講解對(duì)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)進(jìn)行有意識(shí)培養(yǎng)，并通過(guò)一些邏輯思維的練習(xí)題進(jìn)一步提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

5.生活聯(lián)系實(shí)際，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.

數(shù)學(xué)建模，顧名思義就是要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的建立，這一素養(yǎng)的培養(yǎng)來(lái)源于生活又高于生活.在教學(xué)過(guò)程中可以將現(xiàn)實(shí)生活中與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材引入課堂，通過(guò)一定的趣味性滿足學(xué)生好奇的心理要求，從而在學(xué)生頭腦中建立起一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型，從而方便他們?cè)诮忸}中使用并建立相關(guān)模型.通過(guò)建立模型全面理解題目并引導(dǎo)設(shè)計(jì)解題方案，達(dá)到解題目的.

1.G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.

2.朱立明.基于深化課程改革的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系構(gòu)建［J］.中國(guó)教育學(xué)刊，2016（5）.

3.劉錦，李龍安，侯學(xué)萍.基于核心素養(yǎng)導(dǎo)向的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)思考［J］.現(xiàn)代中小學(xué)教育，2016（10）.

全國(guó)教育科學(xué)規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題——TPACK視角下卓越教師培養(yǎng)的理論研究與實(shí)踐探索（課題編號(hào)DHA150287）.