☉浙江湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心姜曉翔

注重邏輯推理關(guān)注思維發(fā)展
——由一道中考題的錯(cuò)解分析與多解思路引發(fā)的思考

☉浙江湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心姜曉翔

中考試卷中的簡(jiǎn)單基礎(chǔ)題能暴露學(xué)生的典型錯(cuò)誤及多解思路，對(duì)今后的教學(xué)必然會(huì)產(chǎn)生一定的導(dǎo)向作用.基于此，筆者對(duì)2016年湖州市中考第20題進(jìn)行研究，并在集中網(wǎng)評(píng)閱卷時(shí)特地進(jìn)行了關(guān)注，現(xiàn)整理成文，與同仁分享.

一、原題呈現(xiàn)

（2016年湖州市第20題）如圖1，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，連接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°.

（1）求證：BD=CD；

（2）若圓O的半徑為3，求B（C的長(zhǎng).

圖1

二、試題總體評(píng)析

該題涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓心角定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算等.主要涉及的基本方法能力有：線段、弧、圓周角之間相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化，弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用等，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)幾何問(wèn)題的邏輯推理、規(guī)范書(shū)寫(xiě)及簡(jiǎn)單計(jì)算等基礎(chǔ)能力.本題雖為一道基礎(chǔ)簡(jiǎn)單的幾何證明計(jì)算題，涉及的知識(shí)點(diǎn)也并不繁雜，但是從最后的閱卷報(bào)告發(fā)現(xiàn)，滿(mǎn)分為8分的試題，實(shí)際平均得分才5.9分，得分率僅為0.74.由此可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)于這類(lèi)幾何邏輯推理題的掌握并不理想，部分學(xué)生的書(shū)寫(xiě)過(guò)程缺乏規(guī)范性，與此同時(shí)，也涌現(xiàn)出了不同的解題思路，大致情況如下所示.

三、典型錯(cuò)誤及其分析

該題的前兩小題要求學(xué)生寫(xiě)出完整的解答過(guò)程，考查學(xué)生幾何推理表達(dá)的能力.筆者將主要典型錯(cuò)誤歸類(lèi)如下.

1.第（1）小題的典型錯(cuò)誤及分析.

錯(cuò)解一：把∠ADC直接當(dāng)直角用，然后證出結(jié)論BD=CD.

錯(cuò)解二：直接認(rèn)為∠ABC=∠BAD=105°，然后證出結(jié)論BD=CD.

【分析】這兩種錯(cuò)解主要原因是學(xué)生未審清題意，盲目地直觀判斷造成的.題目的條件并未指出∠ADC是直角或∠ABC=∠BAD=105°，學(xué)生卻根據(jù)圖形做出了直觀的錯(cuò)誤判斷，由這些錯(cuò)誤判斷推理得出結(jié)論.相當(dāng)于將原來(lái)?xiàng)l件一般化變?yōu)榱颂厥饣?，這是幾何推理中較為容易犯的錯(cuò)誤“直觀看，缺推理”.

錯(cuò)解三：作DE⊥BC，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O.如圖2，由垂徑定理，得BE=CE，則BD=CD.

錯(cuò)解四：連接OB、OC、OD，直接得到∠ODB=∠ODC=15°，然后得到△DOB?△DOC；則BD=CD.

【分析】錯(cuò)解三和錯(cuò)解四均屬于

“輔助線滿(mǎn)足過(guò)多條件”，其本質(zhì)為“造條件”.錯(cuò)解三中作DE⊥BC，一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)O嗎？即使經(jīng)過(guò)也需證明.錯(cuò)解四中連接OB、OC、OD后，就有∠ODB=∠ODC=15°嗎？就算有，也需要證明.在幾何推理證明時(shí)，這樣的典型錯(cuò)誤屬于“造條件，缺推理”.

2.第（2）小題的典型錯(cuò)誤及分析.

錯(cuò)解一：把∠CDB=30°直接當(dāng)成圓心角代入弧長(zhǎng)公式算出錯(cuò)誤結(jié)果.

錯(cuò)解二：弧長(zhǎng)公式記錯(cuò)，或和扇形面積公式混淆，從而得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果.

【分析】第（2）小題的錯(cuò)解一和錯(cuò)解二，均因?qū)￠L(zhǎng)公式不理解所造成.錯(cuò)解一是將公式中的圓心角用題中的圓周角所代替，錯(cuò)解二則完全記錯(cuò)公式，這兩種典型錯(cuò)誤原本為最低級(jí)錯(cuò)誤，但卻在學(xué)業(yè)考試中屢屢出現(xiàn)，將這現(xiàn)象映射至平時(shí)的教學(xué)，是否應(yīng)該更進(jìn)一步抓落實(shí)呢？

圖2

圖3

四、多解思路及其分析

該題雖然為基礎(chǔ)題，但第（1）小題的證明涉及的量較多，有圓心角、圓周角、弧、弦等，且能互相轉(zhuǎn)化，因此解答思路也較多，故筆者重點(diǎn)對(duì)第（1）小題的證明進(jìn)行多解思路的分析.

思路一：∠BAD=105°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得出∠C=75°，于是，∠C=∠DBC，則BD=CD.

思路二：將DA適當(dāng)延長(zhǎng)至點(diǎn)E，如圖4，得到∠EAB=75°，利用外角等于內(nèi)對(duì)角得到∠DCB=∠EAB=∠DBC=75°，則DB=DC.

圖4

【分析】思路一是命題者在命制試題時(shí)所想到的思路，也是學(xué)生解題時(shí)的“自然思路”，所得出的解法也就是最自然的解法，是最快速最直接能得出結(jié)論的方法，大多數(shù)學(xué)生都用到了該思路.思路二可謂是思路一的“孿生思路”，因?yàn)椤皥A內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角”和“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”原本就同氣連枝.

思路三：連接AC，如圖5，先利用圓周角定理得出∠DAC=∠DBC= 75°，進(jìn)而得到∠BDC=∠BAC=30°，再用三角形內(nèi)角和定理得出：∠DCB=∠DBC=75°，則DB=DC.

圖5

思路四：連接OB、OC、OD，如圖3，利用圓心角與圓周角的關(guān)系及周角和為360°，得到∠COD=∠BOD=150°，再利用OB=OC、OD=OD證明△DOB?△DOC，則DB=DC.

思路五：連接OB、OC、OD，如圖3，利用圓心角與圓周角的關(guān)系及周角和為360°，得到∠COD=∠BOD=150°（同思路4），再利用圓心角定理直接得出DB=DC.

【分析】思路三至思路五，雖都需添加輔助線，但至少整個(gè)推理過(guò)程完全正確，思路三運(yùn)用圓周角定理配合三角形內(nèi)角和定理，最終用“一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊”得出，思路四與思路五的前半部分完全一樣，只是思路四稍顯復(fù)雜，需證一次三角形全等，思路五相對(duì)快捷一些，直接通過(guò)“相等的圓心角所對(duì)的弧相等”輕松得出結(jié)論.總而言之，這三種思路均通過(guò)圓周角、圓心角、弦之間的轉(zhuǎn)化一步一步推理得出結(jié)論，先不論繁簡(jiǎn)程度，推理過(guò)程沒(méi)有任何問(wèn)題，也不失為一種好的解法，體現(xiàn)了“殊途同歸”的解題思維本真.

思路六：利用圓周角與所對(duì)的弧之間的度數(shù)關(guān)系，得到弧BD的度數(shù)=1周角360°-弧BCD的度數(shù)=360°-2× 105°=150°，得到∠DCB=∠DBC=75°，則DB=DC.

思路七：利用圓周角與所對(duì)的弧的度數(shù)關(guān)系，根據(jù)弧BC+弧CD=弧BCD，由弧的關(guān)系轉(zhuǎn)化到其所對(duì)圓周角的關(guān)系，得到∠BDC+∠DBC=∠BAC=105°，所以∠BDC= 30°，（或先得到B（C的度數(shù)等于60°，再得到∠BDC=30°）再利用三角形內(nèi)角和為180°，得到∠DCB=∠DBC=75°，則DB=DC.

【分析】思路六和思路七的共同點(diǎn)是：均借助弧的關(guān)系得出其所對(duì)圓周角的關(guān)系，最終得到線段之間的關(guān)系.雖相比前幾種解題思路，稍顯不易想到，但仔細(xì)想來(lái)，圓的諸多性質(zhì)追根溯源，不就是根據(jù)一周360°及圓的旋轉(zhuǎn)不變性和軸對(duì)稱(chēng)性得來(lái)的嗎？恰恰相反，能利用該思路解答的學(xué)生反而是對(duì)圓的本質(zhì)掌握最好的學(xué)生.聯(lián)想到平時(shí)的教學(xué)，教師是否能在課堂上多滲透如此體現(xiàn)圓本質(zhì)的解題思路呢？可見(jiàn)，教學(xué)中如能讓學(xué)生多掌握一種思路就能多增加一點(diǎn)思維寬度.

五、教學(xué)啟示

通過(guò)上述分析和思考，得到了幾點(diǎn)教學(xué)啟示.

1.注重推理分析，關(guān)注思維發(fā)展性.

在教學(xué)中，做題、講題的目的不僅僅在于讓學(xué)生“懂”和“會(huì)”，還需要讓學(xué)生的思維能力與品質(zhì)得到不同程度的發(fā)展與提升.在分析問(wèn)題時(shí)，如果能讓學(xué)生就“如何做”“為什么這樣做”“怎樣想到這樣做”等方面多做交流與思維展示及碰撞，同時(shí)，教師能給予合適的評(píng)價(jià)與引導(dǎo)，會(huì)有助于減少學(xué)生解題過(guò)程中的直觀判斷因素，增加其理性思考成分，并有助于提高學(xué)生的思維能力和品質(zhì).典型錯(cuò)誤中的“直觀看，缺推理”，正是由于平時(shí)教學(xué)中在問(wèn)題分析方面的欠缺所造成的，如能在分析問(wèn)題時(shí)對(duì)于“如何做”“為什么這樣做”“怎樣想到這樣做”這一思維發(fā)展線加強(qiáng)重視，相信會(huì)減少這類(lèi)錯(cuò)誤的出現(xiàn).

2.注重推理規(guī)范，加強(qiáng)思維縝密性.

在幾何證明的教學(xué)過(guò)程中，要培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范解題的習(xí)慣.論證問(wèn)題時(shí)，首先要引導(dǎo)學(xué)生分析清已知條件與未知條件間的邏輯關(guān)系，有關(guān)系才能應(yīng)用已知條件進(jìn)行論證，沒(méi)有關(guān)系則不能亂用條件證明，更不能為了證明結(jié)論而創(chuàng)造條件.如典型錯(cuò)誤中的“造條件，缺推理”，正是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有弄清條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系才造成的低級(jí)錯(cuò)誤.借助圖形直觀解決問(wèn)題是一種常用的解題方法，但“過(guò)度直觀”也易造成解題過(guò)程的不嚴(yán)密.如典型錯(cuò)誤中的兩種“缺推理”，都應(yīng)引起高度重視，特別是“合情推理”和“演繹推理”的正確運(yùn)用需通過(guò)平時(shí)的教學(xué)讓學(xué)生合理掌握，可借助“合情推理”來(lái)尋思路，用“演繹推理”來(lái)完成解答過(guò)程，加強(qiáng)思維縝密性的培養(yǎng).

3.注重推理方法，培養(yǎng)思維多元性.

多種不同解題思路的探尋可以拓寬學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和融合性，使學(xué)生思維的角度更多，思維的范圍更廣，真正達(dá)到增加思維寬度，連線成面的效果.對(duì)于第（1）小題多種解法思路的探尋發(fā)現(xiàn)，該題的解題通法為利用圓中弧、圓心角、圓周角、弦之間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而證得結(jié)論成立.多樣的解法呈現(xiàn)了“殊途同歸”的多元化思路.可見(jiàn)，在平時(shí)的解題教學(xué)中，多種思路探究教學(xué)既能培養(yǎng)學(xué)生的多元化思維，還能幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，找到解題的通法，從而積累解題經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)解決問(wèn)題的方法體系.

4.注重推理思想，助推思維靈活性.

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的精髓，是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識(shí)轉(zhuǎn)化成能力的橋梁.當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想方法要在概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中適時(shí)滲透，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，又能體悟到深層的數(shù)學(xué)思想方法，助推思維靈活性.該題作為一道基礎(chǔ)題，所涉及的重要數(shù)學(xué)思想并不多，但轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及建模思想還是有所體現(xiàn)的.轉(zhuǎn)化思想用于各元素等量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在通過(guò)角度的計(jì)算得出圖形中重要元素的數(shù)量關(guān)系（相等或倍數(shù)），建模思想運(yùn)用于采用何種模型，如三角形內(nèi)角和模型、全等三角形模型、等腰三角形模型、圓內(nèi)接四邊形模型等.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維的靈魂，平時(shí)的教學(xué)中，只有注重思想的滲透，才能給學(xué)生帶來(lái)思維的可持續(xù)發(fā)展.

1.張克玉.2015年中考數(shù)學(xué)：閱卷報(bào)告——安徽第22題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（11）.

2.高峰.條件誤用惹禍端轉(zhuǎn)化無(wú)門(mén)陷艱難［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（10）.

3.陳德前.重結(jié)果，輕過(guò)程，合情推理不合情［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（10）.

4.姜曉翔，沈瑩琪.挖掘本質(zhì)出奇效雙直模型巧解題——以一則教師說(shuō)題案例說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（11）.