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運用習題變換策略，促進可持續(xù)發(fā)展

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習題教學是初中數(shù)學的重點，如何利用習題教學促進學生可持續(xù)發(fā)展是值得我們探討的課題.

一、運用一題多解，拓展思維寬度

促進學生數(shù)學能力可持續(xù)發(fā)展，首先要從拓展學生思維寬度的角度來思考.數(shù)學知識靈活多變，很多疑難復雜的問題更不會直截了當?shù)匕凑粘Ｒ?guī)分析思路提供條件.因此，學生對于一個數(shù)學問題的思考途徑絕不能局限于唯一的一種，而是要學會從多個角度分析同一問題，為同一個問題找到多種求解方法.

例如，在帶領(lǐng)學生學習了相似三角形內(nèi)容之后，我為學生設(shè)計了這樣一道習題：如圖1所示，現(xiàn)有一個邊長為4的正方形ABCD，點M和點N分別在BC邊和CD邊上運動，且始終保持MA⊥MN.（1）求證：Rt△ABM∽Rt△MCN.（2）若將MB的長度表示為x，將梯形ABCN的面積表示為y，二者之間具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？要使得四邊形ABCN的面積最大，點M需要運動到何位置？（3）要使得Rt△ABM∽Rt△AMN，點M需要運動到何位置？x的取值如何？這道題的第三問解法比較靈活，通過不斷啟發(fā)學生，大家共找到了四種解答方法：一是由相似三角形邊之間的比值關(guān)系推導，二是作ME⊥AN于E，三是延長NM交直線AB于E，四是設(shè)MB長為x并列方程.就這樣，學生很自然地借助一道習題拓展出了四種分析思路.

圖1

對于初中數(shù)學中很多具有靈活空間的問題來講，其解答方法都不是唯一的.以往，學生總會認為這樣的題目難度大，找到最簡單的一種解法之后就懶得繼續(xù)思考了.但在教師的啟發(fā)鼓勵下，一旦學生成功找到了該題目的其他解法，便會感受到數(shù)學學習的魅力所在，有效拓展思維寬度也就不是難題了.

二、運用一題多變，提高靈活分析能力

數(shù)學習題的變換入口有很多，除了從解答的環(huán)節(jié)入手，還可以對提問環(huán)節(jié)加以關(guān)注.從一道習題出發(fā)，對題目的條件設(shè)計方式或問題提出形式進行變換，同樣可以提升學生的數(shù)學思維，并在逐一進行分析時實現(xiàn)知識能力的提升.

例如，學生學過多邊形的知識后，我向大家呈現(xiàn)了如下一系列變式習題：（1）如圖2所示，四邊形ABCD是正方形，∠MAN為45°，現(xiàn)將該角繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點M和點N分別為角的兩邊與BC和CD的交點.當BM與DN不等長時，BM、DN、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？（2）如圖3所示，四邊形ABCD是正方形，點M和點N分別在BC和CD上，∠MAN為45°，AG⊥MN，則AG與正方形邊長間的數(shù)量關(guān)系如何？（3）如圖4所示，在△MNA中，∠MAN為45°，AG⊥MN，MG長1，NG長3，則AG的長和△MNA的面積是多少？（4）如圖5所示，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，BE平分∠ABC，CE=2DE，且四邊形ADEB的面積是1，則梯形ABCD的面積是多少？（5）如圖6所示，若在凸八邊形ABCDEFGH中，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長度依次為7、4、2、5、6、2，其八個內(nèi)角大小相等，則其周長是多少？這樣的持續(xù)變式下來，學生很自然地在不斷變換思維的同時使得自己的分析能力靈活了許多.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

在一題多變的過程中，表面看來，學生面前出現(xiàn)了數(shù)量翻倍的習題，但追根尋源便會發(fā)現(xiàn)，這些習題所指向的知識內(nèi)容或思想方法都是統(tǒng)一的，只是以不同的問題形式展現(xiàn)出來而已.因此，習題的變換并不會為學生增加過多思維負擔，反而會有效助力分析能力的靈活深入.

三、運用一題多問，延續(xù)思考深度

初中數(shù)學中的問題情境并不是只能進行一次性適用，對于同一個知識內(nèi)容或思想方法，往往可以通過同一道習題加以訓練.這主要是從縱向上對數(shù)學思考的深度進行延續(xù).圍繞一個基本問題內(nèi)容順次提出多個問題，全方位考查知識掌握情況，既能大大節(jié)約教學資源，又能在最大化挖掘習題素材的同時實現(xiàn)學生分析思維的深化.

例如，在二次函數(shù)知識的教學過程中，我以這樣一道習題幫助學生掌握重點：有一條拋物線y=x2+（b-1）x+ c，點P（-1，-2b）在該拋物線上.（1）b+c的值是多少？（2）如果b的值為3，這條拋物線的頂點坐標是什么？（3）若b＞3，過點P作PA⊥y軸，并與y軸和拋物線分別相交于點A和點B，且有BP=2AP，能否求出這條拋物線的解析式？對于同一個拋物線問題情境，共提出了三個層層遞進的問題.特別是最后一問，通過作出圖7輔助分析，學生先后找出了三種不同的解答方法.從這些問題中，大家不僅鞏固了拋物線的基礎(chǔ)知識，更結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想讓自己的思考走向深入.

圖7

一題多問的形式在初中數(shù)學各類考試中并不鮮見，也經(jīng)常會成為學生有效得分的難點所在.大多數(shù)學生只能順利解答第一問或前幾問，想要把最后一問也完整解答不那么容易.因此，很多學生看到這種帶有多個問題的習題總是心有畏懼.在平時的教學過程中多運用一題多問的模式，能夠讓學生盡快適應這種習題形式，并在延續(xù)思考深度的同時提高解題正確率.

四、運用一題多思，發(fā)現(xiàn)規(guī)律方法

為了收獲高質(zhì)高效的數(shù)學學習，教師一定要帶領(lǐng)學生把每一個學習步驟落實到位，并盡可能多地將其中的實質(zhì)價值挖掘出來.這就需要學生勤于思考，并且進行有效思考.具體至習題訓練中，就是要做到一題多思，對同一個題目開展多方位思考，達到“一次解題，多方收獲”的理想效果.

圖8

例如，在一次考試中曾經(jīng)出現(xiàn)這樣一個題目：如圖8所示，平面直角坐標系中有點A（-1，4）、B（2，2）、C（4，-1），則以其為頂點的三角形面積是多少？在這道題的解答過程中，最為關(guān)鍵的地方在于將這個三角形進行巧妙轉(zhuǎn)化，既可以沿著過點B的豎直線將三角形分割，也可以分別過點A和點C作x軸和y軸的垂線并相交，對三角形進行補形，大大降低求解難度.對于這個問題，我引導學生深入到規(guī)律方法的層面進行思考，大家發(fā)現(xiàn)，“轉(zhuǎn)化”是巧妙解題的精髓所在.由此，轉(zhuǎn)化思想也開始在學生的頭腦中萌芽了.

在每一次解題完成之后，教師都應當引導學生進行全面完整的反思.這個反思活動的對象并不僅僅局限于具體的知識內(nèi)容上，還要向深層次加以延伸，力爭從每次解題中都能夠提煉總結(jié)出一些分析解答的規(guī)律方法來，為日后的問題思考作好鋪墊.通過多次開展一題多思，學生逐漸建立起了“回頭看”的思想意識，不僅鞏固了知識基礎(chǔ)，更發(fā)現(xiàn)了許多升華性的有價值的經(jīng)驗.

只要仔細觀察便會發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學中，無論是基礎(chǔ)問題還是復雜問題，都具有持續(xù)深入的抓手.把握住一個題目，對其從廣度和深度進行雙向拓展，便可以在動用最少教學資源的前提下實現(xiàn)最為連續(xù)有效的教學效果.對于初中數(shù)學教學來講，無論是從提高教學效率的角度還是從強化教學實效的角度來講，以習題變換為入口，促進學生數(shù)學知識能力可持續(xù)發(fā)展的思路都是十分可取的.