彭振彪 張雅軒 李艷陽(yáng) 李飛濤

【摘要】高等數(shù)學(xué)、復(fù)變函數(shù)與積分變換是電氣工程及其自動(dòng)化專業(yè)基礎(chǔ)課電路、信號(hào)與系統(tǒng)、自動(dòng)控制原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，聯(lián)系緊密.但在學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)中，這兩類課程往往不能很好地銜接，使專業(yè)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)有一定困難.為此，本文就上述課程的知識(shí)模塊進(jìn)行系統(tǒng)梳理，有針對(duì)性地找到兩類課程的內(nèi)在聯(lián)系，尋求數(shù)學(xué)思想方法在專業(yè)知識(shí)中的背景，挖掘?qū)I(yè)知識(shí)技術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，以達(dá)到兩類課程融會(huì)貫通的效果.從而提高工科學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)，使專業(yè)知識(shí)的掌握更容易、理解更深刻.

【關(guān)鍵詞】傅立葉變換；拉普拉斯變換；信號(hào)與系統(tǒng)；自動(dòng)控制原理；數(shù)學(xué)思想

【基金項(xiàng)目】本文受中國(guó)民航大學(xué)校級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目（項(xiàng)目號(hào)：IECAUC2016014）的資助.

電路、信號(hào)與系統(tǒng)、自動(dòng)控制原理是電氣工程及其自動(dòng)化專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，除包含一些專業(yè)領(lǐng)域的基本概念，其中涉及的專業(yè)知識(shí)與處理問(wèn)題的方法大都以微分方程、傅立葉變換、拉普拉斯變換等數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ).

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課時(shí)，有學(xué)生感覺(jué)內(nèi)容多、難度大、進(jìn)度快，導(dǎo)致數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，進(jìn)而在后續(xù)學(xué)習(xí)專業(yè)基礎(chǔ)課時(shí)感到吃力.而從教學(xué)的角度，專業(yè)基礎(chǔ)課教師的教學(xué)重點(diǎn)是新的專業(yè)知識(shí)，不能花費(fèi)過(guò)多時(shí)間復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)基本概念與方法.這些銜接上的問(wèn)題，使部分學(xué)生不易接受突然出現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，對(duì)專業(yè)基礎(chǔ)課產(chǎn)生畏難情緒.對(duì)此，首先，本文對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課和專業(yè)基礎(chǔ)課的知識(shí)模塊進(jìn)行系統(tǒng)的梳理總結(jié)，數(shù)學(xué)知識(shí)主要包括微分方程、傅立葉變換、拉普拉斯變換及其關(guān)系，并分析它們的應(yīng)用背景，以豐富數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)的應(yīng)用性.然后，闡述專業(yè)基礎(chǔ)課的內(nèi)在聯(lián)系，以幫助學(xué)生系統(tǒng)地把握專業(yè)基礎(chǔ)課的知識(shí)內(nèi)容.最后，用更高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)（泛函分析）闡明專業(yè)知識(shí)中相關(guān)的數(shù)學(xué)方法，使學(xué)生對(duì)專業(yè)知識(shí)的數(shù)學(xué)原理有更深刻的認(rèn)識(shí).

一、微分方程求解在時(shí)域分析中的應(yīng)用

專業(yè)基礎(chǔ)課電路、信號(hào)與系統(tǒng)、自動(dòng)控制原理的主要內(nèi)容是對(duì)各類系統(tǒng)的性態(tài)的分析研究，大多以數(shù)學(xué)模型及其分析方法為基礎(chǔ)，其中時(shí)域分析法的教學(xué)模型是高等數(shù)學(xué)中的微分方程：用微分方程描述系統(tǒng)，通過(guò)求出的解分析系統(tǒng).因此，要熟練掌握時(shí)域分析法，就必須掌握求解微分方程的方法.常用方程及解法見(jiàn)《高等數(shù)學(xué)》下冊(cè)第十二章[1].

時(shí)域分析法的優(yōu)點(diǎn)是能夠得到解的精確解析表達(dá)式，但缺點(diǎn)是求解過(guò)程比較煩瑣，而系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模過(guò)程、頻率特性、傳遞函數(shù)求取需要求解大量的微分方程，所以必須降低微分方程的求解難度，方法就是對(duì)微分方程作拉普拉斯變換.

二、拉普拉斯變換在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

拉普拉斯變換的定義[2]是

F（s）=∫+∞0-f（t）e-stdt，是將自變量為時(shí)間的函數(shù)通過(guò)某種積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為自變量為復(fù)頻率的函數(shù).從數(shù)學(xué)角度看，它使復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算.比如，將微分轉(zhuǎn)化為乘法，將積分轉(zhuǎn)化為除法.將其應(yīng)用于系統(tǒng)分析，因?yàn)樗鼘⑽⒎址匠剔D(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而達(dá)到了降低方程求解難度的目的[2].

（一）應(yīng)用拉氏變換求解微分方程

具體解法如下：

第一步，求取微分方程中每一項(xiàng)的拉普拉斯變換，得到相應(yīng)的代數(shù)方程；

第二步，求解代數(shù)方程；

第三步，對(duì)所求的解求取拉普拉斯反變換，得到原微分方程的解.

構(gòu)成系統(tǒng)的元件的數(shù)學(xué)模型是時(shí)間域下的微分或積分表達(dá)式，通過(guò)拉普拉斯變換，可將其轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域下的簡(jiǎn)單的代數(shù)表達(dá)式.然后相應(yīng)地做出復(fù)頻域中的等效電路圖，這極大地簡(jiǎn)化了系統(tǒng)分析中的建模和求解.

下面列舉幾個(gè)典型元件的例子[3]：

下面以一個(gè)簡(jiǎn)單電路的分析為例[4]，表明拉普拉斯變換對(duì)系統(tǒng)建模、求解的簡(jiǎn)化.

例如圖所示，已知輸入為u1（t）=5cos2t，求輸出u2（t）.

解第一步，根據(jù)上表，作復(fù)頻域等效電路圖：

第二步，根據(jù)等效電路圖列出復(fù)頻域下電路的代數(shù)方程：

U2（s）=U1（s）1s1+1s=1s+1×5ss2+4=-1s+1+s+4s2+4.

第三步，對(duì)U2（s）取拉普拉斯反變換得到時(shí)域下的響應(yīng)表達(dá)式：

u2（t）=-e-t+cos2t+2sin2t，t≥0.

由此可見(jiàn)，拉普拉斯變換可以將時(shí)域下一些微分方程模型轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域下簡(jiǎn)單的代數(shù)方程模型，使建模與求解得以簡(jiǎn)化.

（二）拉普拉斯變換在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

對(duì)于常系數(shù)線性微分方程模型，方程的特征根就是解的表達(dá)式中各項(xiàng)的系數(shù)，它決定了系統(tǒng)的響應(yīng)性能.好的響應(yīng)性能需要合適的特征根，改變特征根可以通過(guò)改變特征方程的系數(shù)實(shí)現(xiàn)，而特征方程的系數(shù)就是系統(tǒng)中的參數(shù).于是，可以通過(guò)改變系統(tǒng)參數(shù)，方程的階不變，獲取較好的系統(tǒng)性能.

在復(fù)頻域中常用的分析方法是根軌跡法，即找到系統(tǒng)參數(shù)與特征根的關(guān)系，讓隨著參數(shù)變化的特征根軌跡在根平面上繪制出來(lái)，從中選擇有好的響應(yīng)性能的特征根，同時(shí)，確定對(duì)應(yīng)的參數(shù).

由于微分方程的特征方程恰是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的方程，特征根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，而閉環(huán)傳遞函數(shù)定義就是系統(tǒng)輸出拉普拉斯變換與輸入拉普拉斯變換的比值.由此可見(jiàn)，拉普拉斯變換在系統(tǒng)分析中有著非常重要的作用.

三、傅立葉變換在系統(tǒng)頻域中的應(yīng)用

時(shí)域分析比較直觀，但是分析高階系統(tǒng)比較煩瑣.用拉普拉斯變換分析系統(tǒng)，簡(jiǎn)化了時(shí)域下的求解過(guò)程，但是物理意義不十分明顯.由于信號(hào)的輸入與系統(tǒng)頻率關(guān)系密切，所以頻域分析是工程上進(jìn)行系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合廣泛采用的方法.頻域分析法的優(yōu)點(diǎn)是處理起來(lái)比較簡(jiǎn)潔，計(jì)算工作量較小，重要的是能夠顯示信號(hào)和系統(tǒng)的組成特性.但是，由于實(shí)際測(cè)得的是信號(hào)的時(shí)間歷程，所以要采用頻域分析法在頻域下進(jìn)行處理和分析，就必須先進(jìn)行時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換，而這種轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)方法就是傅立葉變換，所以需要應(yīng)用復(fù)變函數(shù)與積分變換課程中的傅立葉變換知識(shí)，并建立其物理意義.

（一）傅立葉級(jí)數(shù)

一般地，如果周期信號(hào)fT（t）滿足狄利克雷條件，則可利用傅立葉級(jí)數(shù)將周期信號(hào)展開(kāi)成無(wú)窮多個(gè)（至多可數(shù)個(gè)）不同頻率的諧波信號(hào)的線性疊加.即

fT（t）=∑∞n=0cnejnω0t，

其中cn=1T∫T0fT（t）e-jnω0tdt，ω0=2πT，稱為基波角頻率.

（二）傅立葉變換

對(duì)于非周期信號(hào)，在頻域內(nèi)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是連續(xù)的，此時(shí)若要將其分解成諧波信號(hào)的線性疊加，諧波信號(hào)有不可數(shù)個(gè).數(shù)學(xué)上傅立葉級(jí)數(shù)需轉(zhuǎn)化為傅立葉變換.

一般非周期信號(hào)f（t）的傅立葉變換為

F（jω）=∫+∞-∞f（t）e-jωtdt.

由此可見(jiàn)，時(shí)域下周期函數(shù)變換頻域后的表達(dá)式是離散的傅立葉級(jí)數(shù)，而時(shí)域下非周期函數(shù)變換到頻域后的表達(dá)式是連續(xù)的傅立葉變換，由此可得到工程上的一個(gè)重要結(jié)論：時(shí)域的周期性決定了頻域的離散性.

應(yīng)特別指出，單位階躍信號(hào)的頻譜，由于單位階躍信號(hào)是時(shí)域下的典型信號(hào)，而且一般情況下可以將其他信號(hào)分解為不同加權(quán)的階躍信號(hào)，根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的齊次性和疊加原理，可以分別求出各個(gè)階躍信號(hào)的響應(yīng)，最后，將求出的響應(yīng)進(jìn)行疊加，因此，掌握階躍信號(hào)的頻譜顯得尤為重要.

四、傅立葉變換與拉普拉斯變換的關(guān)系

拉普拉斯變換的積分核e-st中，s=σ+jω，當(dāng)σ=0時(shí)，變換就退化為傅立葉變換.傅立葉變換要求函數(shù)滿足狄利克雷條件，并且要絕對(duì)可積，但絕對(duì)可積條件較強(qiáng)，很多工程上常用的函數(shù)都不能滿足這個(gè)條件，比如，單位沖激函數(shù).為克服傅立葉變換的這個(gè)缺點(diǎn)，使頻域分析適用于更多信號(hào)，在數(shù)學(xué)上，在積分核中加了一個(gè)衰減因子e-σt，得到另一種積分變換，即拉普拉斯變換.它們的關(guān)系示意圖如下：

五、電路、信號(hào)與系統(tǒng)、自動(dòng)控制原理三門(mén)課程的內(nèi)在聯(lián)系

電路除講述一些電路上的基本概念外，主要介紹了對(duì)具體的電路模型，給一個(gè)電壓或電流輸入信號(hào)，根據(jù)電路相關(guān)知識(shí)求解該電路的響應(yīng)的方法.信號(hào)與系統(tǒng)是對(duì)上述模型和方法的一般化，將電路模型抽象為一個(gè)系統(tǒng)，將電壓或電流輸入信號(hào)抽象為任意信號(hào)，分別在時(shí)域、頻域和復(fù)頻域下求解系統(tǒng)的響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù).在上述兩門(mén)課程中學(xué)習(xí)系統(tǒng)響應(yīng)的求解方法后，在自動(dòng)控制原理[5]課程中根據(jù)求出的系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能，并在時(shí)域、頻域和復(fù)頻域中分別尋求系統(tǒng)的最佳性能和進(jìn)行系統(tǒng)校正.可以概括為“三域三分析”，“三域”分別是指時(shí)域、頻域和復(fù)頻域，“三分析”分別是指系統(tǒng)穩(wěn)定性分析、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析.可以說(shuō)電路和信號(hào)與系統(tǒng)是通過(guò)分析系統(tǒng)來(lái)認(rèn)識(shí)系統(tǒng)，而自動(dòng)控制原理是在學(xué)習(xí)改造系統(tǒng)，是符合我們認(rèn)識(shí)事物過(guò)程的自然規(guī)律的.

六、泛函分析視角下理解工程問(wèn)題解決方法

泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析學(xué)分支的基石，下面從泛函分析的角度，更深入地理解專業(yè)知識(shí)和其中的數(shù)學(xué)方法，我們需要下面的概念[6].

設(shè)H是內(nèi)積空間，E={en}是H中的規(guī)范正交基，x∈H.

（1）稱每個(gè)（x，en）為x關(guān)于E的Fourier系數(shù)；

（2）稱（形式）級(jí)數(shù)∑∞n=1（x，en）en為x關(guān)于E的Fourier級(jí)數(shù)；

（3）若x=∑∞n=1（x，en）en按H的范數(shù)收斂，稱此級(jí)數(shù)為x關(guān)于E的Fourier展開(kāi)式.

以傅立葉級(jí)數(shù)為例.設(shè)en=e-jnω0t，則{en}+∞n=-∞是Hilbert空間L2[0，2T]的一個(gè)規(guī)范正交基，則f∈L2[0，2T]，都有

f=∑+∞n=-∞（f，en）en.（*）

而空間L2[0，2π]上的內(nèi)積定義是

（f，g）=1T∫T0f（t）g（t）dt，f，g∈L2[0，T]，

所以，

（f，en）=1T∫T0f（t）e-jnω0tdt=1T∫t 0+Tt0f（t）e-jnω0tdt=cn.

則由（*）得

f（t）=∑+∞n=-∞cnejnω0t，

這恰恰是傅立葉級(jí)數(shù).

因此，從泛函分析的角度看，一個(gè)周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，就是將這個(gè)函數(shù)看成某個(gè)函數(shù)空間中的一個(gè)元素，并將其在該空間的一組規(guī)范正交基下進(jìn)行展開(kāi)，而傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉變換的區(qū)別只不過(guò)是離散和連續(xù)兩種情況下的展開(kāi)方式不同而已.同理，拉普拉斯變換和時(shí)域下的卷積也可以理解為函數(shù)分別在復(fù)頻域和時(shí)域的情形中進(jìn)行展開(kāi).那么這種數(shù)學(xué)思想在信號(hào)與系統(tǒng)分析中的實(shí)際意義在哪里呢？

我們以線性時(shí)不變系統(tǒng)為例來(lái)說(shuō)明，在時(shí)域中，任意輸入信號(hào)f（t）激勵(lì)下線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)為f（t）與系統(tǒng)沖激響應(yīng)h（t）的卷積，它表明如果信號(hào)f（t）可以表示為沖激信號(hào)的積分，則該信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yzs（t）就可以表示為這些沖激信號(hào)元產(chǎn)生的沖激響應(yīng)的疊加.采用這種解決問(wèn)題的思想是由于單位沖激響應(yīng)的求解比較容易，所以如果將時(shí)域中的任意一個(gè)信號(hào)看成是出現(xiàn)在不同時(shí)刻、強(qiáng)度不同的微量沖激元函數(shù)的連續(xù)和，那么該函數(shù)作用下系統(tǒng)的響應(yīng)就可以用展開(kāi)后的沖激元信號(hào)分別作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的沖激響應(yīng)的累加得到，即做卷積.在頻域中，由于正弦信號(hào)下系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解起來(lái)比較容易，所以將信號(hào)展開(kāi)成無(wú)窮多個(gè)正弦信號(hào)的累加，那么系統(tǒng)在該信號(hào)下的響應(yīng)就可以看成是展開(kāi)后的正弦信號(hào)分別作用于該系統(tǒng)得到的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的累加.

由以上分析我們可以看出，工程中的實(shí)際問(wèn)題之所以可以采用這種方法解決，是由數(shù)學(xué)中經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)或者證明的定理或者概念作為支撐的，所以數(shù)學(xué)思想是解決工程實(shí)際問(wèn)題的核心；同樣，掌握了數(shù)學(xué)中的一些重要思想，也使得工科專業(yè)課中解決實(shí)際問(wèn)題的一些方法更容易被理解和接受，而在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，也使得數(shù)學(xué)知識(shí)更好地被理解和掌握，這就是建立兩類學(xué)科聯(lián)系的意義所在.

【參考文獻(xiàn)】

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[5]任彥碩，主編.自動(dòng)控制原理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

[6]劉培德，編著.泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，2005.