陳立順

摘要：本文主要探究了如何有機地滲透數(shù)形結合思想，才能提高學生的解題能力。若有不之處，還望同仁批評指正。

關鍵詞：數(shù)形結合；初中生；解題能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0093

新課標在課程目標設置上明確提出：通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗?？梢?，新課標把數(shù)學思想擺到了十分重要的位置。我們知道，作為從三大數(shù)學基本思想之一的“抽象思想”派生出來的數(shù)形結合思想方法在初中數(shù)學中有特殊的地位和作用，它是學生形成良好數(shù)學素養(yǎng)和解題能力的重要因素。因為“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩個最基本的概念?！皵?shù)”是數(shù)量關系的體現(xiàn)，而“形”則是空間形式的體現(xiàn)。它們兩者既對立，又統(tǒng)一。我們在研究數(shù)量關系時，有時要借助于圖形直觀地研究，而在研究圖形時，又常常借助于線段或角的數(shù)量關系去探求。而數(shù)形結合思想方法，正是把問題的數(shù)量關系和空間形式結合起來考查的一種思想，即以數(shù)論形構形，由形思數(shù)解數(shù)。也就是斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數(shù)量關系問題，或者把數(shù)量關系的問題轉化為圖形性質的問題，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易。

那么，在初中數(shù)學教學中，怎樣有機地滲透數(shù)形結合思想才能大力提高學生的解題能力呢？

一、要科學制定數(shù)形結合思想方法在整個初中階段的滲透計劃

數(shù)學教材體系有兩條基本線索：一是顯性的數(shù)學知識線，二是陰性的數(shù)學思想方法線。在教學中，我們?？吹剑芏嘟處熀鲆晹?shù)學思想方法線的設計與教學。數(shù)學思想方法教學絕不是一蹴而就的，它以滲透為主要特征，具有長期性和反復性。因此，教師對初中重要的數(shù)學思想方法包括數(shù)形結合思想方法在內要有詳盡的教學計劃。數(shù)形結合思想方法的滲透應貫穿在整個初中數(shù)學教學過程。從有理數(shù)到實數(shù)，從代數(shù)式、方程、不等式到函數(shù)，從平行線相交線、三角形、四邊形到圓，從數(shù)軸、坐標系到線性方程，從代數(shù)、幾何到三角，無一內容不體現(xiàn)數(shù)形結合的思想方法。針對這些內容，教師要制定詳細的滲透計劃并加以實施，在每一塊內容學習時都要不失時機地進行數(shù)形結合思想方法的滲透，并適時地開設數(shù)形結合思想方法專題課加以強化。讓學生時刻都感受到，數(shù)形結合思想方法不僅是推動數(shù)學本身發(fā)展的重要方法和巨大動力，更是解決數(shù)學問題的重要法寶?！半S風潛入夜，潤物細無聲”，只有這樣，數(shù)形結合思想方法才能植入學生的思想意識，甚至變成學生的潛意識。從而在以后的學習和工作中發(fā)揮巨大而持久的作用，解題當然就更不在話下了。

二、在知識的教學過程中不失時機地歸納提煉數(shù)形結合思想方法

數(shù)學思想方法的滲透有兩條基本途徑：其中一條就是要在知識的教學過程中不失時機地歸納提煉數(shù)學思想方法，數(shù)形結合思想方法的滲透也是如此。我們對“數(shù)形結合”中的“數(shù)”應有廣義的理解，它可以是一般意義上的數(shù)，如實數(shù)：可以是表示數(shù)的式，如代數(shù)式、方程、不等式；也可以是函數(shù)等變數(shù)?！靶巍碑斎皇歉鞣N形式圖形表示。我們知道，數(shù)學中很多“數(shù)”和“形”的概念、性質、定理都是可以用數(shù)形結合思想方法來進行描述和研究的。教師在這些知識的教學過程中一定要不失時機地歸納提煉其中蘊含的數(shù)形結合思想方法。即在進行“數(shù)”的教學時，要以數(shù)論形構形，在“形”的教學時也要由形思數(shù)解數(shù)。如在實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的教學中可以引進數(shù)軸，用數(shù)軸加深學生對這些知識的理解；在方程（組）及不等式（組）的解的教學中，可以引進相應函數(shù)的圖像，用函數(shù)的圖像加深學生的理解；一些圖形的位置關系及大小關系也可以用數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式及函數(shù)等數(shù)的模型來刻畫等。這樣，不僅能使學生理解知識變得容易，而且理解得更為廣闊和深刻。久而久之，學生在遇到“數(shù)”或“形”的難題時，會自然地想到從“形”或“數(shù)”的領域去突破，從而提高學生解決問題的能力。如當學生習慣了看到代數(shù)式|x-1|就聯(lián)想到它的幾何意義時，面對下列問題：“求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值（x為實數(shù)）”。學生就不難找到解題思路了。

例1. 已知x為實數(shù)，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

分析 由于x的任意性、無限性，逐個求值解題明顯困難，若按x<1、1≤x<2、2≤x<3、x≥3四種情況分段討論后求最小值也較繁。繁則思變，可聯(lián)想到絕對值的幾何意義：|x-1|表示數(shù)軸上實數(shù)x和1所對應的兩點之間的距離，于是求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值可轉化為在數(shù)軸上找出表示x的點P，使它到表示1，2，3各點的距離之和最小?，F(xiàn)退到更簡單的情形，如圖①，如果直線上有兩個點A1和A2，很明顯設在A1和A2之間的任何地方都行，因為甲和乙所走的距離之和等于A1到A2的距離。如圖②，如果直線上有3個點時，不難判斷，當點P在點A2處最合適。因為如果P放在A2處，則點P到A1、A2、A3的距離之和恰好為A1到A3的距離。而如果把P放在別處，例如D處，那么點P到A1、A3的距離之和仍是A1到A3的距離，但多了一段點A2到D的距離。因此，P放在A2處是最佳選擇。當x=2時，|x-1|+|x-2|+|x-3|的值最小。

解：當x=2時，原式的值最小。

最小值是：|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2

類似地，如果上述直線上有奇數(shù)點，P就放在中間的點的位置，如果有偶數(shù)點，P就放在中間兩個點之間（包括最中間兩個點）的任何一個位置，即當n為偶數(shù)時，P應設在第 臺和（ +1）臺之間的任何地方，當n為奇數(shù)時，P應設在第 臺的位置。

又如，在講勾股定理時，要使學生聯(lián)想到直角邊分別為a和b的直角三角形斜邊可表示為代數(shù)式 ，在講二次根式 時，又要使聯(lián)想到它可表示直角邊分別為a和b的直角三角形的斜邊。這樣，學生就可以自主解決下列問題了。

例2. 求出代數(shù)式 + （x為實數(shù)）的最小值。

分析：利用代數(shù)方法求代數(shù)式 + 的最小值很困難，可聯(lián)想勾股定理構造直角三角形來求。

解：如圖③所示，作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，設BC=x，則AE的長即為代數(shù) + 的最小值。

過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，

則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，

所以，AE= = =13

即 + 的最小值為13。

數(shù)學思想方法的另一條滲透途徑是：要在問題解決的過程中運用數(shù)學思想方法。經過在知識的教學過程中不斷地歸納提煉，學生的頭腦中已經有了數(shù)形互相轉換的意識和模型。然而，這種意識和模型只有在解決問題的過程中加以運用和強化，學生才能最終形成解題能力。

例3. AB是⊙O的直徑，點E是半圓上一動點（點E與點A、B都不重合），點C是BE延長線上的一點，且CD⊥AB，垂足為D，C只D與AE交于點H，點H與點A不重合。連結HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值。

分析：首先要按點D分別在OB段，與O重合，在OA段三種情況畫出不同位置時的圖形。由CD=AB=2的條件很難直接計算求得HD+HO的值，但若設OD=x，易證△AHD∽△CBD，則可利用x的代數(shù)式表示出HD和HO，再轉化成求代數(shù)式和的運算。

解：設OD=x，則BD=1-x，AD=1+x，

∵AB是⊙O的直徑 ∴∠AEB=90°，則∠ABC+∠BAE=90°，

又∵CD⊥AB，∴∠BAE+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠ABC，

又∵∠ADH=∠CDB=90°，∴△AHD∽△CBD.

則HD∶BD=AD∶CD，即HD∶（1-x）=（1+x）∶2，

即HD= ，在Rt△HOD中，由勾股定理得：OH= = = ，所以HD+HO= + =1；

②當點E移動到使D與O重合的位置時，這時HD與HO重合，由Rt△AHO∽Rt△CBO，利用對應邊的比例式為方程，可以算出HD=HO= ，即HD+HO=1；

③當D在OA段時BD=1+x，AD=1-x，同①可求得HD+HO=1

本題利用了代數(shù)法成功地求出了兩條變化的線段之和，是數(shù)形結合思想方法的成功應用，但學生不易想到?！皠χ挥性谀サZ中才能鋒利！”教師只有在解決問題的過程中時時啟發(fā)學生運用數(shù)形結合思想方法，讓數(shù)形結合思想方法成為學生解決問題的習慣思維，學生才自然想到用數(shù)形結合思想方法解決遇到的困難。

三、要在作業(yè)布置和測試中精心設計數(shù)形結合思想方法類題型

課堂上學生的學習和解題一般都是在教師有意無意的啟發(fā)和幫扶下進行的。在這樣的情境下，學生思考與解決問題缺乏自主性與獨立性。所以，我們?？吹竭@樣一種現(xiàn)象：學生上課聽聽都懂，可一到獨立作業(yè)或測試就不會了。數(shù)形結合思想方法的學習更是如此。這就要求我們教師要精心設計數(shù)形結合類的作業(yè)和測試題，讓學生時常獨立地經歷和體驗用數(shù)形結合思想方法解決問題的過程。只有這樣，學生才能真正領悟和掌握用數(shù)形結合思想分析和解決問題。比如為了突出數(shù)形結合思想方法這一知識教學，教師可設計以下作業(yè)題：

“已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖⑤所示，試判斷a+b+c與0的大小?！币煌瑢W是這樣回答的：“由圖像可知：當x=1時y=0，所以a+b+c=0?！彼@種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學思想方法叫做 思想方法。

總之，學生對數(shù)形結合思想方法的學習和掌握絕不是一朝一夕之功，它需要教師精心策劃，在學習的各個環(huán)節(jié)中進行長期的有機滲透，它更需要學生的主動參與和獨立思考。只有這樣，才能有效地運用數(shù)形結合思想方法，切實提高學生的解題能力。

（作者單位：浙江省江山市城南中學 324100）