胡智

[摘 要] 在高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)的視角下，研究數(shù)學教學的有效性，就必須關注學生的學習過程. 從教學設計時預設學生的學習過程，到教學過程中觀察學生的學習過程，再到教學反思中理解學生的學習過程，可以將學生的數(shù)學學習全程把握在教師的手里，從而保證學生的數(shù)學知識構(gòu)建. 此中從數(shù)學文化以及思想方法角度再進行滲透，也就可以培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 高中數(shù)學；學習過程；知識建構(gòu)；核心素養(yǎng)

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學教學中，存在著一個基本的認識，那就是數(shù)學知識的學習是為數(shù)學應用服務的，而這個數(shù)學應用往往又是指利用數(shù)學知識來解題. 顯然，這樣的認識主要來源于當前的評價機制，從客觀角度來看，這一現(xiàn)狀是難以改變的. 但長此以往的教學方式，帶來的最大不足就是有意無意地對學生學習過程的忽視，尤其是新知構(gòu)建過程中學生的一些具體思考細節(jié)的忽視，而這對于當前討論得非常熱烈的數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來說，是一個明顯的缺陷. 無法想象，在對學生學習過程缺乏關注的情況下，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)還能夠有效提升. 高中階段的數(shù)學學習，具有內(nèi)容繁雜且思維要求高的特征，而這其實正是數(shù)學學科的核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要時機，因為在筆者看來，只有經(jīng)由縝密甚至是復雜的思維，數(shù)學才能更近地靠近其核心素養(yǎng)內(nèi)核. 從這個角度來講，研究學生的學習過程，是每一個數(shù)學教師的基本功. 而基于這樣的認識，筆者在教學中也特別關注學生的學習過程以及學習細節(jié)，并從中揣摩到了學生在數(shù)學學習中呈現(xiàn)出來的一些基本特點. 下面就以“任意角的三角函數(shù)”教學為例，談談筆者的實踐與思考.

[?] 教學設計中預設學生的學習過程

教學設計的過程，可以有兩種基本理解，一是為自己的教學過程搭建一個框架；二是對學生的學習過程做一個預設. 顯然，前者是指向教師的，是為了教師的“教”服務的，某種程度上來講其保證了教師教學任務的完成；而后者則是指向?qū)W生的，是為了學生的“學”服務的，其是為了保證學生學習任務的完成. 雖然從教學關系的角度來看，兩者并沒有矛盾，但后者顯然更能保證“以生為本”教學理念的落實，也能讓數(shù)學教學更好地落到實處. 當前高中數(shù)學教學有一個最基本的原則，那就是“以學定教”，顯然，學生的“學”更應當成為教師在教學設計中關注的重點. 而筆者的實踐表明，在教學設計的過程中預設學生的學習過程，可以為教學流程的把握奠定基礎.

任意角的三角函數(shù)的教學，筆者設計了這樣的三個基本環(huán)節(jié)：首先，通過一個問題的提出，如畫出一個任意的銳角，讓學生判斷正弦、余弦、正切等. 這一步設計的目的是讓學生在原有知識的基礎上，復習鞏固這三個三角函數(shù)的基本定義，同時判斷學生在面對任意角的三角函數(shù)時，會有什么樣的直覺反應. 比如說看學生在計算任意角的三角函數(shù)的時候，會不會認為函數(shù)的值與所取的點的位置有關. 其次，在單位圓的基礎上，筆者設計用幾何畫板，將原先給出的任意銳角進行變化，以使這個角更具有“任意”的特征，讓學生去思考如何有效地定義這個角的正弦、余弦與正切. 這是一個在學生原有認知基礎上進行拓展，以任意角的三角函數(shù)的定義為抓手，培養(yǎng)學生數(shù)學概念理解的過程. 最后，在形成定義的基礎上，結(jié)合此前函數(shù)學習的認識，去判斷任意角三角函數(shù)的定義域，并學會用弧度表示這一定義域.

在這一教學設計過程中，筆者預設學生在第一個步驟里，學生可以根據(jù)給出的那個任意的銳角，從直角三角形的角度去求得三個三角函數(shù)的值，因為從直角三角形的角度定義三角函數(shù)，是學生建立函數(shù)認識的基礎，學生應當有比較扎實的經(jīng)驗. 而在此基礎上將參考系從直角坐標系轉(zhuǎn)換為單位圓，則是結(jié)合高中數(shù)學學習的特點，進行的一種三角函數(shù)概念建立的體系轉(zhuǎn)換. 第三個步驟實際上也具有同化特征，因為此前學習過的關于函數(shù)的知識，可以讓學生認識到定義域是三角函數(shù)的基本組成部分，唯一需要努力的可能是在弧度制的運用上. 筆者進一步預設學生的學習順利程度：第一個環(huán)節(jié)應當是最順利的；第二個環(huán)節(jié)是難度較大的，需要教師的引導；第三個環(huán)節(jié)相對也要容易一些.

[?] 教學過程中觀察學生的學習過程

到了實際教學的過程中，對學生學習過程的觀察，決定了這一節(jié)課教學的有效程度，也決定了學生在數(shù)學學科的核心素養(yǎng)培養(yǎng)的道路上能夠走多遠. 這個觀點從理論角度來理解是沒有任何問題的，畢竟其有著顯然的合理性. 但從教學實踐的角度來看，卻有著挑戰(zhàn)性，因為教師在更多的情況下，關注的是自身的教學思路是否能順利實現(xiàn)，骨子里期待的是學生的學習過程能夠像自己所想象的那樣順利. 但事實并不盡然如此，當然也因為這種“意外”，數(shù)學教學研究才有了更大的意義.

比如第一個教學環(huán)節(jié)，讓學生用已有的知識去判斷一個任意角的三個三角函數(shù)值的時候，筆者發(fā)現(xiàn)以幾何畫板任意給出的銳角，對于學生來說卻是一個較大的挑戰(zhàn)，因為學生熟悉的是特殊角的三角函數(shù)值，是通過記憶在思維里形成了印象. 而任意角的三角函數(shù)值的計算，卻成了問題，幾乎很少有學生能意識到可以通過直角坐標系來解決問題. 這個時候怎么辦？筆者的做法是幫學生復習三角函數(shù)此前的定義，讓學生認識到直角三角形是解決問題的思路. 這一步比較順利，學生一經(jīng)提醒，就知道了問題的關鍵所在. 而下一步就比較關鍵，筆者提出可不可以將直角三角形納入到直角坐標系當中去. 學生起初感覺遲疑，因為直角三角形與直角坐標系還是有不同的，學生最大的不適應，就是將直角三角形中的直角邊、斜邊的大小，要轉(zhuǎn)換成坐標系中的坐標. 這個時候就進入了教學的第二個環(huán)節(jié)，此過程中教師的引導很重要，當然教師引導的依據(jù)也是學生實際的學習情況. 根據(jù)筆者的觀察，學生此時表現(xiàn)出的最大困難，就是“長度”向“坐標”的轉(zhuǎn)換，而這一步又是下一步利用單位圓構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的基礎，因此要引導好. 事實上，學生理解的困難主要在不適應坐標可以比較長度上，而筆者的引導則是幫學生進一步認識坐標系的作用，尤其是坐標系在確定某個點的位置的時候，其實也是具有長度特征的. 有了這樣的認識，學生的思維基本上就可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)換了.

到了第二個環(huán)節(jié)，構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的定義. 此處，幾何畫板這一現(xiàn)代教學手段所起的作用非常直觀——任意給出角，可以讓學生認識到所研究的對象角確實是“任意”的，這也就將學生思維中原有的特殊角轉(zhuǎn)換成了任意角，從而實現(xiàn)了從特殊到一般的學習思路的轉(zhuǎn)變，而這才是本課教學的一個重點. 在此前一個環(huán)節(jié)的學習中，筆者已經(jīng)通過變式訓練，讓學生認識到一個角的三角函數(shù)值與構(gòu)建直角三角形或坐標系中位置的確定是沒有關系的，關鍵取決于角的大小. 在此基礎上筆者提出新的問題：能否將其中的某條線確定為單位長度，然后這個任意角的三角函數(shù)就可以不用計算而獲得？這從結(jié)果描述上來說，自然是學生所歡迎的，但如何才能達到這個目標呢？于是“單位圓”就成為此處研究的重點了. 課堂教學的實踐表明，部分學生對“單位圓”中的“單位”一詞存在疑惑，而這個疑惑千萬不能忽視，因為其是學生認識單位圓的基礎，教師有必要向?qū)W生解釋——這是教學中的一個重要細節(jié)問題. 而有了這樣的鋪墊，當單位圓成為學生熟悉的一個基礎時，任意角的三角函數(shù)構(gòu)建也就順利多了.

最后的一個重點就是讓學生適用弧度來表示函數(shù)值與定義域. 筆者注意到學生在此環(huán)節(jié)中表現(xiàn)出的學習困難主要在于角度制與弧度制的轉(zhuǎn)換的順利程度上，以及任意角的三角函數(shù)與單位圓的關系，也就是說學生還不大適應在單位圓上構(gòu)建對三角函數(shù)的認識. 筆者以為，這決定了在近期的教學中，單位圓都不能急于放掉，而這恰恰是傳統(tǒng)數(shù)學概念教學中的一個容易忽視的地方，總認為概念出來之后，概念形成的途徑就不再需要關注了.

[?] 教學反思中理解學生的學習過程

在課后的反思過程中，筆者進一步分析學生的學習過程，發(fā)現(xiàn)其中存在著一些在教學設計時沒有關注到的盲點. 如學生在從直角三角形向直角坐標系轉(zhuǎn)換的時候，表現(xiàn)出來的不適應，讓筆者有些著急，因為這個環(huán)節(jié)原本沒有設計太多的時間，但學生表現(xiàn)出來的困難如果不重視，那學生后面的學習又可能會出現(xiàn)“空中樓閣”的情形. 因此實際教學中只好慢下來，讓學生努力做好直角三角形向直角坐標系的轉(zhuǎn)換. 后來想想，這與日常教學中沒有強調(diào)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換可能有一定的關系. 直角三角形更多是以“形”的形式出現(xiàn)在學生的面前，而直角坐標系雖然是一個圖形，但其實更多的是“數(shù)”的加工，難怪學生的學習會有困難. 后面在利用單位圓的時候，實際上也有這個問題. 因此筆者在教學中即時調(diào)整，強調(diào)讓學生形成數(shù)與形的認識，讓他們知道數(shù)與形在此處都可以服務于任意角三角函數(shù)概念的建立. 而這樣的認識對于高中生來說，理解上并沒有困難，甚至可以進一步認為，他們只是缺少這一理論上的指引.

進一步反思，筆者以為高中數(shù)學教學重視學生的學習過程，實際上是把握了學生數(shù)學學習的本質(zhì)，也是抓住了數(shù)學學習的細節(jié). 有了這個細節(jié)把握，真正的數(shù)學建構(gòu)就有可能高效發(fā)生，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也就有了堅實的基礎.