安徽省歙縣中學(xué)(245200) 鄭觀寶

一道高考試題的探究、推廣及探源*

安徽省歙縣中學(xué)(245200) 鄭觀寶

問題(16高考四川卷理科第 20題)已知橢圓 E:直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)T.直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

一、一般化探究

解完本題后,我們自然會問,上述結(jié)論是否具有一般性?即：

問題1如圖1,已知橢圓E:直線l與橢圓E相切于點(diǎn)T(x0,y0),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線l交于點(diǎn)P,問是否存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|成立?

至此,我們自然要問,上述平行割線PAB一定要與OT平行嗎?于是得到下列問題：

問題2 如圖2,橢圓 E:=1(a＞ b＞ 0),直線l與橢圓E相切于T(x0,y0).傾斜角為定角α的直線l′與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與切線l交于點(diǎn)P.問是否存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|成立?

圖2

上述結(jié)論的形式與圓的切割線定理十分相似,這里暫且稱之為“橢圓的切割線定理”.

于是,我們得到

橢圓的切割線定理如圖2,直線l與橢圓E:1(a＞b＞0)相切于T(x0,y0),傾斜角為定角α的動直線l′與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與切線l交于點(diǎn)P,則存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|成立.

問題3上述定理中的常數(shù)能為1嗎?何時取到呢?

二、橢圓的割線定理

探究至此,并不完美.平面幾何中的圓還有割線定理,那么橢圓的也有割線定理嗎?

問題4 如圖3,設(shè)橢圓E:(a＞b＞0),傾斜角為定角α的動直線l1與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,傾斜角為定角β的動直線l2與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)C、D,與直線l1交于點(diǎn)P,問是否存在常數(shù)λ,使得|PA|·|PB|=λ|PC|·|PD|成立?

圖3

至此,我們證明了問題4的正確性,我們稱此結(jié)論為橢圓的割線定理.

(2)當(dāng)橢圓退化為圓時即a2=b2時,始終有

(3)當(dāng)割線與橢圓的兩個交點(diǎn)C、D重合時,割線定理就變化為橢圓的切割線定理;

(4)當(dāng)兩割線的交點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部時,就變化為“橢圓的相交弦定理”.

三、拋物線的切割線定理、割線定理和相交弦定理

定理設(shè)拋物線E:y2=2px(p/=0),傾斜角為定角α的動直線l1與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)A、B,

(1)如圖4,設(shè)傾斜角為定角β的動直線l2與拋物線E相切于點(diǎn)T,與直線l1交于點(diǎn)P,則存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|成立—拋物線的切割線定理.

圖4

圖5

(2)如圖5,傾斜角為定角β的動直線l2與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)C、D,與直線l1交于點(diǎn)P,則存在常數(shù)λ,使得|PA|·|PB|=|PC|·|PD|成立—拋物線的割線定理.

這樣,我們就證明了拋物線的切割線定理、割線定理、相交弦定理.

四、雙曲線的切割線定理、割線定理和相交弦定理

定理：設(shè)雙曲線E:,傾斜角為定角α的動直線l1與雙曲線E交于不同的兩點(diǎn)A、B,則

(1)設(shè)傾斜角為定角β的動直線l2與雙曲線E相切于點(diǎn) T,與直線 l1交于點(diǎn) P,則存在常數(shù) λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|成立.

(2)傾斜角為定角β的動直線l2與雙曲線E交于不同的兩點(diǎn)C、D,與直線l1交于點(diǎn)P(點(diǎn)P在),則存在常數(shù)λ,使得|PA|·|PB|=λ|PC|·|PD|成立.

此定理的證明過程與橢圓和拋物線的證明完全類似,限于篇幅,這里略去.結(jié)果如下：

五、圓錐曲線的一條統(tǒng)一性質(zhì)—圓冪定理

在圓中,相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理,那么,對上述的圓錐曲線三個定理能否統(tǒng)一表示呢?

于是得到：

圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)(圓錐曲線的“圓冪定理”)設(shè)圓錐曲線E(標(biāo)準(zhǔn)方程),傾斜角為定角α的動直線l1與圓錐曲線E交于不同的兩點(diǎn)A、B,

(1)設(shè)傾斜角為定角β的動直線l2與圓錐曲線E相切于點(diǎn)T,與直線l1交于點(diǎn)P,則存在常數(shù)使得|PT|2=λ|PA|·|PB|成立;

(2)傾斜角為定角 β的動直線 l2與圓錐曲線 E交于不同的兩點(diǎn)C、D,與直線l1交于點(diǎn)P,則存在常數(shù)使得|PA|·|PB|=λ|PC|·|PD|成立.

綜上所述,文首所給的高考試題的真正“本源”就是上述圓錐曲線的“圓冪定理”,也可以說源自課本人教A版選修4—4第38頁例4及其推廣(參見文[1]).

[1]鄭觀寶.一道課本習(xí)題的探究、推廣與應(yīng)用,數(shù)學(xué)教學(xué),2011,1.

*本文系安徽省教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題(課題編號：JG12316)研究成果.