廣東廣雅中學(xué)(510160) 賴淑明

函數(shù)思想在不等式比較大小與方程有解問題中的應(yīng)用

廣東廣雅中學(xué)(510160) 賴淑明

比較指數(shù)、對(duì)數(shù)式的大小,討論含指數(shù)、對(duì)數(shù)式的方程的根的問題,是高中代數(shù)的重要內(nèi)容,這兩類問題的解決方法有很多,但根源還是函數(shù)思想.本文借助五個(gè)命題,探索函數(shù)思想在比較不等式大小與方程有解問題解決中的應(yīng)用.

性質(zhì)1函數(shù)g(x)=xx(x＞0)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

性質(zhì)2 函數(shù)g(x)=在(0,e)上單調(diào)遞增,在 (e,+∞)上單調(diào)遞減.

性質(zhì)2推論當(dāng)0＜a＜b＜e時(shí),ab＜ba;e＜a＜b時(shí),ab＞ba.

性質(zhì)3 f(x)=logx(x+t)(t為常數(shù),t＞0)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

例1比較0.70.6,0.60.7,0.70.7,0.60.6,log67,log45六個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.

解因?yàn)椋?.6＜0.7,所以根據(jù)性質(zhì)1知0.60.6＜0.70.7.因?yàn)?＜0.6＜0.7＜e,所以根據(jù)性質(zhì)2推論知0.60.7＜0.70.6.根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=0.6x,y=0.7x的單調(diào)性知1＞ 0.70.6＞ 0.70.7、1＞ 0.60.6＞ 0.60.7.綜上知0.60.7＜0.60.6＜0.70.7＜0.70.6＜1.因?yàn)?＜4＜6,所以由性質(zhì)3可得：1＜log67＜log45綜上所述可得：0.60.7＜0.60.6＜0.70.7＜0.70.6＜1＜log67＜log45.

例2(2014高考湖北理科卷)π表示圓周率,e= 2.71828···為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3中的最大數(shù)與最小數(shù);

(3)將e3,3e,eπ,πe,3π,π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列,并證明你的性質(zhì)．

綜上所述,比較兩個(gè)數(shù)的大小,最終可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題.解決問題的基本思想就是函數(shù)思想,通過構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小.

性質(zhì)5當(dāng)e-e≤a＜1時(shí),方程ax=logax(0＜a＜1)只有1個(gè)解;當(dāng)0＜a＜e-e時(shí),方程ax=logax(0＜a＜1)有3個(gè)解[1].

例3判斷下列方程的解的個(gè)數(shù).

解因?yàn)樗愿鶕?jù)性質(zhì)4知,方程的解的個(gè)數(shù)是0.因?yàn)?＜0.06＜e-e,根據(jù)性質(zhì)5知方程(0.06)x=log0.06x的解的個(gè)數(shù)是3.

綜合以上分析,性質(zhì)4適用于判斷型如ax=logax(a＞1)的方程的解的個(gè)數(shù),性質(zhì)5適用于判斷型如ax= logax(0＜a＜1)的方程的解的個(gè)數(shù).

求解方程的根的問題,也是求解函數(shù)零點(diǎn)的問題.討論超越方程根的個(gè)數(shù)問題,更多地可以轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)性質(zhì),研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.

由此可見,抓住函數(shù)本質(zhì),許多數(shù)學(xué)解題中的難點(diǎn)問題可以有效突破.

[1]宗敏.對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的再探討[J].考試周刊.2010.3