廣西壯族自治區(qū)柳江中學(xué)(545100) 楊藝

透視幾何概型應(yīng)用中的易錯(cuò)點(diǎn)

廣西壯族自治區(qū)柳江中學(xué)(545100) 楊藝

“幾何概型”是新課程新增加的內(nèi)容之一,數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將其定義為：信息化的現(xiàn)代社會(huì),統(tǒng)計(jì)和概率的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)成為一個(gè)未來(lái)公民的必備常識(shí),要求學(xué)生“初步體會(huì)幾何概型的意義,會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率計(jì)算”.幾何概型概念的理解,重在對(duì)試驗(yàn)的正確建模和幾何度量的選擇.在運(yùn)用概念解題時(shí),我們應(yīng)注意不同的說(shuō)法既可能是概念多樣性的不同表述,但也可能導(dǎo)致對(duì)概念的本質(zhì)理解產(chǎn)生偏差,也影響對(duì)幾何度量的選擇.因此,區(qū)別古典概型和幾何概型,透視幾何概型應(yīng)用中的易錯(cuò)點(diǎn)有利于學(xué)生正確理解和掌握幾何概型.

一、幾何概型的定義與特點(diǎn)

(一)幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱幾何概型.

(二)幾何概型的特點(diǎn)(1)無(wú)限性,即一次試驗(yàn)中,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè);(2)等可能性,即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性均相等.

(三)幾何概型的計(jì)算公式在幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下：

說(shuō)明(1)事件A可以理解為試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω的某一子區(qū)域,事件A的概率只與區(qū)域A的度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無(wú)關(guān).(2)用幾何概率公式計(jì)算概率時(shí),關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的幾何圖形,并對(duì)幾何圖形進(jìn)行度量.

二、古典概型和幾何概型的聯(lián)系和區(qū)別

(一)古典概型和幾何概型的聯(lián)系每個(gè)基本事件發(fā)生的都是等可能的.

(二)古典概型和幾何概型的區(qū)別(1)古典概型的基本事件是有限的,幾何概型的基本事件是無(wú)限的;(2)兩種概型的概率計(jì)算公式的含義不同.

三、幾何概型的應(yīng)用中的易錯(cuò)點(diǎn)

(一)對(duì)幾何概型中試驗(yàn)區(qū)域的理解誤區(qū)

例1(2009山東卷?文理)在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,的值介于0到之間的概率為( ).

點(diǎn)評(píng)根據(jù)幾何概型的定義,在區(qū)間上隨機(jī)取任何一個(gè)數(shù)都是一個(gè)基本事件.所取的數(shù)是區(qū)間的任意一個(gè)數(shù),基本事件是無(wú)限多個(gè),而且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的,因此事件的發(fā)生的概率只與自變量的取值范圍的區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān),符合幾何概型的條件.例1中構(gòu)成事件區(qū)域的元素是自變量x的取值范圍,而不是的取值范圍,所以解法二是正確的,解法一是錯(cuò)誤的.

例2.若實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2≤1,則關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率是( )

解法一關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于Δ≥0,即a2-3b2≥0.從而對(duì)應(yīng)區(qū)域分別如圖1和2所示,面積分別為所以所求概率為

圖1

圖2

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)例2中構(gòu)成事件區(qū)域的元素是數(shù)對(duì)(a,b),而不是(a2,b2),所以解法一是正確的,解法二是錯(cuò)誤的.

小結(jié)導(dǎo)致這兩個(gè)題目錯(cuò)解的共同原因是都是因?yàn)橥ㄟ^(guò)變換改變了原來(lái)區(qū)域的大小,而且在改變過(guò)程中前后區(qū)域大小的比例不同.比如題1中自變量原來(lái)的取值區(qū)間[-1,1],經(jīng)過(guò)余弦變換后得到的區(qū)間是[0,1],變換前后區(qū)間長(zhǎng)度的比值為2;的取值區(qū)間經(jīng)過(guò)逆變換得到區(qū)間長(zhǎng)度為變換后前的長(zhǎng)度比值為題2中圖1和圖3面積之比為2π,圖2和圖4之比為π.

(二)對(duì)幾何概型中幾何度量的理解誤區(qū)

例3 在0～1之間隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)把0～1之間的線段分成了三條線段,試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率.

在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,直線x=0,x= 1,y=0,y=-x+1圍成如圖所示三角形區(qū)域G,每一對(duì)(x,y)對(duì)應(yīng)著G內(nèi)的點(diǎn)(x,y),由題意知,每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,因此,試驗(yàn)屬于幾何概型,三條線段能構(gòu)成三角形,當(dāng)且僅當(dāng)

因此圖5中的陰影區(qū)域D就表示“三條線段能構(gòu)成三角形”,容易求得D的面積為G的面積為則P(這三條線段能構(gòu)成三角形)=

圖5

圖6

點(diǎn)評(píng)本題誤把長(zhǎng)度看作幾何度量.

例4如圖6所示,在等腰直角△ABC中,過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部做一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,求AM＜AC的概率.

分析當(dāng)AM=AC時(shí),有∠ACM=∠AMC,故欲使AM＜AC,應(yīng)有∠ACM＜∠AMC,即所作的射線應(yīng)落在∠ACM=∠AMC時(shí)∠ACM的內(nèi)部.

點(diǎn)評(píng)本題所求事件的本質(zhì)是在∠ACB內(nèi)部做一條射線CM,所構(gòu)成的區(qū)域是一個(gè)“角”域,故應(yīng)屬于幾何概型中的角度之比類型;本題極易易犯的錯(cuò)誤是,用長(zhǎng)度的比得出這一錯(cuò)誤結(jié)果.

小結(jié)此類題易把構(gòu)成事件的區(qū)域看作長(zhǎng)度,關(guān)鍵是要搞清每一結(jié)果是在什么區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的.例3的幾何度量為面積,而不是長(zhǎng)度.例4根據(jù)在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM可知,射線構(gòu)成的區(qū)域是一個(gè)角域,而不是一條線段.

[1]孫福明.“幾何概型”教學(xué)必須關(guān)注的三個(gè)問(wèn)題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2012,2.

[2]吳鍔.自然流暢水到渠成—“幾何概型”課堂觀察與點(diǎn)評(píng)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2012,4.