浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院(310018) 李冠戩

關(guān)于三角形四心的一個(gè)幾何不等式

浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院(310018) 李冠戩

本文通過(guò)對(duì)一個(gè)定理進(jìn)行拓展延伸得到一個(gè)新的幾何不等式,并運(yùn)用Gerretsen不等式,歐拉不等式和p-R-r法及三角函數(shù)的性質(zhì)證明了它.

對(duì)稱點(diǎn) 三角形內(nèi)的特殊點(diǎn) 幾何不等式

一、引言

幾何不等式是溝通代數(shù)與幾何的重要媒介,它既有幾何的直觀形象,又有代數(shù)的邏輯嚴(yán)密.文[1]討論了關(guān)于三角形內(nèi)一點(diǎn)作三邊對(duì)稱點(diǎn)得到新三角形的方法.

本文借鑒了這種方法,分別取該點(diǎn)為外心,垂心,內(nèi)心,重心,得到一系列優(yōu)美簡(jiǎn)潔的表達(dá)式,并研究了它們之間的不等關(guān)系,推導(dǎo)出一個(gè)新的幾何不等式.

首先,介紹一個(gè)定理,它是我們一切思路的源頭.沈文選在文[1]第98頁(yè)例6中證明了如下定理：

定理1 P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于邊AB,BC,CA的對(duì)稱點(diǎn)分別為P1,P2,P3,則

在這個(gè)定理的基礎(chǔ)上,我們分別取P為△ABC的外心,垂心,內(nèi)心,重心,得到一些漂亮的結(jié)果.為了統(tǒng)一起見(jiàn),避免出現(xiàn)絕對(duì)值,下面我們只討論△ABC為非鈍角三角形的情況.

以下是一些必要的符號(hào)和記號(hào).

定義1非鈍角中△ABC,記AB=c,BC=a,CA= b,S,R,r,C,p分別為其面積,外接圓半徑,內(nèi)切圓半徑,周長(zhǎng)及半周長(zhǎng),O,H,I,G分別為外心,垂心,內(nèi)心,重心,記它們關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積分別為SO,SH,SI,SG.

于是由定理1,結(jié)合三角形內(nèi)的特殊點(diǎn)的性質(zhì),及平面幾何公式,我們有下面幾個(gè)定理成立.

定理2.1 外心O關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)構(gòu)成的三角形與原三角形全等.

定理2.2 SH=8S cosAcosB cosC,SI=SG=S,(注：這里的是輪換求和的簡(jiǎn)寫(xiě),如以下同.)

二、一個(gè)引理

為了證明下面的幾何不等式鏈,我們先證明一個(gè)引理.

引理(Gerretsen不等式)設(shè)R,r,p分別為△ABC外接圓半徑,內(nèi)切圓半徑,半周長(zhǎng),則16Rr-5r2≤ p2≤4R2+4Rr+3r2

三.新的幾何不等式

根據(jù)定理2.2得到的表達(dá)式,我們推導(dǎo)證明出下列的幾何不等式鏈.

定理3 SH≤SI≤SG≤S.

再證SI≤SG.由定理2.2及a2=2p2-8Rr-2r2,等價(jià)于證p2≥13Rr+r2由引理p2≥16Rr-5r2及R≥2r即證.

最后證SG≤S,由定理2.2及∑a2=2p2-8Rr-2r2,等價(jià)于證2p2≤9R2+8Rr+2r2.由引理p2≤4R2+4Rr+ 3r2及R≥2r即證.

本文得到了陳振龍老師的指導(dǎo)與幫助,謹(jǐn)在此表示衷心的感謝.

[1]沈文選.平面幾何證明方法全書(shū)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2005.

[2]蘇化明.關(guān)于重心的垂足三角形的性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué),1994(3)：10.