增城區(qū)第一中學(xué)(511300) 王曄

求解一道題 明白一個(gè)理*

增城區(qū)第一中學(xué)(511300) 王曄

平日小測(cè)卷中的一道填空題,引起了作者的求解、思考和感悟.真實(shí)地再現(xiàn)了青年數(shù)學(xué)教師執(zhí)教的心路歷程.并因此感悟到命題人的良苦用心,以及教學(xué)相長(zhǎng)的快樂(lè).

一、試題

在最近的一次習(xí)題講評(píng)課中,試卷講評(píng)完快下課的時(shí)候,一位學(xué)生提出把昨天的小測(cè)試卷中的最后一道填空題再講講.小測(cè)練習(xí)大多是簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)題,平日的做法就是給答案學(xué)生自己核對(duì),偶爾有稍難的題目,科代表和班里的數(shù)學(xué)尖子也可以解答.學(xué)生這一問(wèn),我不由得拿起小測(cè)試卷看了看題目,這一看,我呆住了：這道題看來(lái)是要?jiǎng)庸P算算才行.怎樣解呢?我手中的粉筆遲遲不能落筆,頓時(shí)也就理解學(xué)生們的困難.這時(shí)候下課鈴響了,我長(zhǎng)舒一口氣：“這題下節(jié)課再議,你們?cè)俸煤孟胂?”說(shuō)完快步走回辦公室.

試題在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊, a+c=4,(2-cosA)tan=sinA,則△ABC面積最大值為_(kāi)___.

二、求解

1.不求甚解,大膽猜想

在回辦公室途中,好學(xué)的科代表快步跟上來(lái),不依不饒地追問(wèn)著：“老師請(qǐng)先教教我,很多同學(xué)問(wèn)這道題,我要教會(huì)他們,不然我會(huì)被他們看不起的.”以往的解題經(jīng)驗(yàn)告訴我這些填空題通常會(huì)有一些特殊解法,比如特殊值法.于是我邊走邊問(wèn)道：“題目答案是多少啊?”“是.”“那你有考慮特殊值嗎?這個(gè)三角形有沒(méi)有可能是等邊三角形呢?若是等邊三角形,它的面積會(huì)怎樣呢?先從特殊值入手,回去好好想想吧.”科代表高高興興地走了,可我又沉思了：這種特殊值法行不行得通呢?帶著這些疑問(wèn)回到辦公室,我立馬著手演算起來(lái).

2.用不等式,合情推理

再次審視題目時(shí)候,筆者注意到“最大值”這個(gè)字眼,數(shù)學(xué)上求解最值的題目很多,但常用方法無(wú)非就是那幾個(gè),于是筆者想到基本不等式這個(gè)知識(shí)點(diǎn).當(dāng)我們得到b=2后,利用基本不等式有a+c≥所以=4當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí),取等號(hào),所以此時(shí)a=b=c=2,從而△ABC是等邊三角形,故所以

這個(gè)解法看起來(lái)合情合理,整個(gè)過(guò)程一氣呵成.但細(xì)細(xì)一想,這里利用三角形面積公式求面積時(shí)候,只是保證了ac=4取得最值,但是對(duì)于sinB來(lái)說(shuō)就不一定取得最大值了.也就是說(shuō)不能同時(shí)保證acsinB達(dá)到最大值.看來(lái),這種解法還是有缺陷的.

3.三角變換,又難又繁

既然此種解法有缺陷那還得繼續(xù)努力把這個(gè)缺陷補(bǔ)上,或許換種思路看看是否有解.于是筆者從這個(gè)等式入手,看看是否可行.通過(guò)大量的運(yùn)算化簡(jiǎn)總算有眉目了,解題過(guò)程如下：

這個(gè)解法所用的知識(shí)不多,只不過(guò)是一步步利用三角變換不斷地化簡(jiǎn)和基本不等式求最值,方法比較常規(guī)沒(méi)有什么技巧,學(xué)生是可以接受的.應(yīng)該是達(dá)到了比較理想的境地.但這種方法是不適合在課堂上講的,只能課后對(duì)數(shù)學(xué)科代表講.

4.海倫公式,終得正解

通過(guò)三角變換,雖然可以獲得一個(gè)算是比較完滿的結(jié)果.但是,這種解法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難以思考得到,并且十分繁瑣.化簡(jiǎn)過(guò)程中若其中任何一步有差錯(cuò),整個(gè)題目將越錯(cuò)越遠(yuǎn),這種解法顯然不是最優(yōu)解法,只適于向?qū)W生做簡(jiǎn)單的介紹而不應(yīng)作為主要解法去引導(dǎo)學(xué)生分析求解.于是我再次陷入了苦思冥想中,回歸題目,既然三角變換這樣繁雜,那應(yīng)該還是從面積的求解著手解決問(wèn)題.高中階段,三角形面積的求解無(wú)非就是或者還有一個(gè)不常用的求解公式就是海倫公式,但這個(gè)公式僅僅作為課后閱讀材料,不要求學(xué)生掌握,這里是否會(huì)利用到海倫公式呢?帶著這個(gè)疑問(wèn),筆者細(xì)心求解.根據(jù)海倫公式有：因?yàn)閎=2,a+c=4,所以又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)3-c=c-1,即c=2時(shí)取等號(hào),所以有至此,心里多少有些寬慰,終于找到這個(gè)問(wèn)題的比較滿意解法,心想,出題者的本意應(yīng)該就是考察海倫公式和基本不等式的靈活應(yīng)用.但筆者認(rèn)為這也只是表面上的成功,實(shí)質(zhì)上充滿遺憾.兩個(gè)班100多位學(xué)生沒(méi)有一位能夠想到利用海倫公式求解,因?yàn)樗媒夥▽?duì)于高中生來(lái)說(shuō)實(shí)在是比較陌生,與目前所學(xué)的知識(shí)水平相差甚遠(yuǎn),這在某種程度上不能不說(shuō)是失敗的.況且,這種解法還是存在一定的缺陷,由于不知道邊c的取值范圍,也就是說(shuō)當(dāng)利用基本不等式時(shí)候,還不能保證(3-c)和(c-1)都是正值.

5.聯(lián)系橢圓,靈感突現(xiàn)

帶著上述的有遺憾的成功,筆者再次思考,這題作為填空題,是否還有一些更加巧妙的解法呢?遺憾的是當(dāng)日才思枯竭,沒(méi)有更多想法,只能暫且放置一邊.那段時(shí)間正進(jìn)行期末復(fù)習(xí),常與橢圓打交道,一日突然靈感來(lái)了.三角形的邊長(zhǎng)a+c=4兩者之和為一個(gè)定值,那這不就類似于橢圓的定義：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為一個(gè)定值.如圖所示：

也就是|P1F1|+|P1F2|=2a, |P1F1|看成△ABC邊a,|P1F2|視作△ABC邊c.這樣當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) P2時(shí)候,這就有|P2F1|=|P2F2|=2,也得到a= c=2,且這時(shí)候也取得最大值,△F1P2F2視作△ABC,則|F1F2|=b=2,那么

圖1

這一解,我豁然開(kāi)朗.原來(lái),這種解法巧妙的聯(lián)系了橢圓的定義,把角度的大小和邊長(zhǎng)之和的大小問(wèn)題一并解決.并且這種數(shù)形結(jié)合的方法,學(xué)生更加容易接受、理解.是啊,這樣的解法,通過(guò)作圖,結(jié)合橢圓的性質(zhì)很快得到正確的答案.

三、感悟

求解此題,從開(kāi)始的一臉茫然到特殊值法,從初有思路到留有遺憾,從終得正解到巧妙求解,心路歷程中有疑慮、有喜悅、有頓悟,真可謂“山重水復(fù)疑無(wú)路,柳暗花明又一村”.事后上網(wǎng)一查,發(fā)現(xiàn)這道小測(cè)題原來(lái)就是2016年廣州理科二模測(cè)試題第16題,作為最后一道填空題,應(yīng)該屬于中等偏上難度的題目,但對(duì)我們學(xué)校的學(xué)生來(lái)說(shuō)就是難題了.這道題,出題人是在暗示我們什么呢?無(wú)非是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)不能呆板,要縱橫聯(lián)系,舉一反三.這道題,教師本可以選擇將答案告訴學(xué)生而不必細(xì)講,但是學(xué)生往往有強(qiáng)烈的求知欲,他們想“打破砂鍋問(wèn)到底”,正是學(xué)生這種“追根求源”的精神激發(fā)了我不斷地探究.所謂“教學(xué)相長(zhǎng)”,說(shuō)的應(yīng)該是這樣吧.是的,教學(xué)中學(xué)生能“刨根問(wèn)底”,教師要“見(jiàn)微知著”,此為教書(shū)之快樂(lè)！

*本文是廣州市教育科學(xué)十二五規(guī)劃2014課題《“1”創(chuàng)業(yè)校本課程的開(kāi)發(fā)與利用研究》的階段性論文,課題贊助單位：廣州市教育局；類別：面上一般課題；課題編號(hào)：1201431380.