福建省惠安第三中學(xué)(362100) 江志杰

略談不等式成立問題中的函數(shù)建構(gòu)

福建省惠安第三中學(xué)(362100) 江志杰

眾所周知,在全國高考或各地高三質(zhì)檢的壓軸題中,有關(guān)不等式成立問題占據(jù)了半壁江山,這類題型最能有效地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法、綜合應(yīng)用能力和學(xué)科核心素養(yǎng),也是一份試卷精華創(chuàng)新之所在.然而在實際問題解決過程中,由于我們?nèi)狈?jīng)典題型進(jìn)行解法探究與系統(tǒng)歸類,導(dǎo)致在該類熱點問題上往往出現(xiàn)思維受阻、解答困難的局面,究其原因大都在構(gòu)造函數(shù)方面上出現(xiàn)問題.如何恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)?如何利用導(dǎo)數(shù)工具分析目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)?探究目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性、零點等問題受阻時如何化解?…….為此,筆者就不等式成立問題中函數(shù)模型的建構(gòu)過程略談一番體會：

一、參變分離原則

不等式中含參數(shù)的部分容易“分離”,并且另一端的“無參”函數(shù)可求最值時,我們通常采用參變分離法來解決問題.

例1對一切x∈R+,不等式2xlnx≥-x2+ax-3恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解析上述不等式中含參數(shù)的部分“單一”,參數(shù)分離非常容易：a≤x++ 2 l n x ,而對另一端的無參函數(shù)g(x)=x++2lnx(x＞0),利用導(dǎo)數(shù)知識求其最小值也很常規(guī).一般而言,運用分離參數(shù)法必須具備兩個基本條件：一是不等式中含參數(shù)的部分容易“分離”,二是分離后的無參函數(shù)可求最值.

二、通性通法原則

對于研究形如“f(x)＞g(x)”的不等式時,我們通常就是構(gòu)造左右兩端的“差函數(shù)”F(x)=f(x)-g(x),分析該目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性研究其極值、最值情況.然而在實際的函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題中,所構(gòu)造的“差函數(shù)”往往蘊含著參數(shù),這就給目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性、極點、零點、最值等性質(zhì)的研究帶來不確定性,需要我們把握分類討論的依據(jù),羅列所有可能情形逐一分析,方能將目標(biāo)函數(shù)的各種性態(tài)研究透徹,進(jìn)而實現(xiàn)問題的化解!

例2(2015年山東高考理科21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+ 1)+a(x2-x),其中a∈R.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù),并說明理由;

(ⅠⅠ)若?x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

例3(2012年全國高考理科21)已知函數(shù)f(x)滿足

(Ⅰ)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;

點評由此說明對含參目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析討論是研究其最值、零點等情況的基礎(chǔ)程序,也是解決相應(yīng)不等式問題的必由之路.因此,我們要充分利用導(dǎo)數(shù)工具將各式各樣的函數(shù)模型淋漓盡致、形象自然地刻畫出來!為化解抽象不等式提供具體生動的研究載體!

三、簡約可行原則

筆者認(rèn)為：在建構(gòu)目標(biāo)函數(shù)模型時,還應(yīng)注意所構(gòu)造的函數(shù)要進(jìn)行提煉、簡化或變形,否則若因函數(shù)結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜,必然造成求導(dǎo)運算繁瑣,難以確定其函數(shù)單調(diào)性,導(dǎo)致函數(shù)性態(tài)研究受阻、無法持續(xù).這就需要我們先對所構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行充分“預(yù)估、調(diào)試、簡化”,才能使所構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)模型優(yōu)化有效,從而讓問題的解決路徑得以通暢順達(dá)!

例4(2011年全國高考理科21)已知函數(shù)f(x)=曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.

例6(2015年四川高考)已知函數(shù)f(x)=-2(x+ a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a＞0.

(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;

(2)證明：存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在(1,+∞)內(nèi)有唯一解.

解析(1)略;(2)本題關(guān)鍵證明：存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)的最小值為0(且最小值點唯一).為此需要先確定f(x)的單調(diào)性：

點評基于原函數(shù)直接求導(dǎo)判斷單調(diào)性較為困難,我們從原函數(shù)結(jié)構(gòu)中分離提煉目標(biāo)函數(shù),使得利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)性態(tài)的常規(guī)做法持續(xù)可行,將不等式問題自然轉(zhuǎn)嫁于研究該目標(biāo)函數(shù),凸顯了化繁為簡、化難為易的解題原則.這說明研究函數(shù)一定要抓住其“關(guān)鍵所在”,構(gòu)建函數(shù)一定要把握問題的“核心部位”,平常對該類問題的解法要加強(qiáng)反思、不斷揣摩、追求優(yōu)化,才能使目標(biāo)函數(shù)的建構(gòu)精準(zhǔn)到位!

四、搭橋過渡原則

對于某些證明形如“f(x)＞g(x)”的不等式成立時,常規(guī)構(gòu)造“差函數(shù)”的做法有時未必奏效,甚至困在“死胡同”.此時我們可以考慮引入中間媒介“h(x)”作過渡,先證明f(x)＞h(x)成立,再證明h(x)＞g(x)成立.“h(x)”可根據(jù)f(x),g(x)的圖像特征或函數(shù)性態(tài)來確定,h(x)有時可能是一條“隔離直線”,也可能是個數(shù)值,關(guān)鍵視實際問題不斷嘗試、調(diào)整.比如證明不等式ex-lnx＞2成立,我們可以根據(jù)函數(shù)y=ex和y=lnx的圖像走勢,以及它們與其相應(yīng)切線的位置關(guān)系,先證明ex＞x+1(x＞0)成立,再證明x+1≥2+lnx即x-1≥lnx成立,便可實現(xiàn)證明.又如：

例7(2014年全國高考理科 21)設(shè)函數(shù) f(x)=,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.

(Ⅰ)求a,b;

(ⅠⅠ)證明f(x)＞1.

例8(2015年北京高考理科18)已知函數(shù)f(x)=

點評本題第(ⅠⅠ)小題的設(shè)置是個很好的搭橋過渡,無疑為第(ⅠⅠⅠ)小題的分類討論埋下了伏筆、減輕了分類討論的力度.倘若沒有第(ⅠⅠ)小題作階梯,直接求第(ⅠⅠⅠ)小題必然顯得很棘手!這說明k=2是函數(shù)f(x)大于右側(cè)函數(shù)的“臨界狀態(tài)”,而我們所要尋找的中間過渡或樞紐往往就在于發(fā)現(xiàn)這樣的臨界狀態(tài)!

五、設(shè)而不求原則

解決不等式成立問題時,經(jīng)常讓我們受困的是所建構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)后仍是繁雜的超越函數(shù),無法確定其零點,從而造成目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性、極點、極值等也相應(yīng)無法確定.為此,筆者提出構(gòu)設(shè)導(dǎo)函數(shù)的輔助零點,突破導(dǎo)函數(shù)“無法求解”這一瓶頸,打通原函數(shù)研究的常規(guī)思路,巧妙利用導(dǎo)函數(shù)零點存在的等量關(guān)系進(jìn)行代換,從而實現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)零點的“設(shè)而不求”.比如前面證明不等式ex-lnx＞2成立,也可從常規(guī)通法入手,解析思路如下：

點評本題最值一提的是求出fmin(x)=f(x0)= ex0-lnx0之后,其范圍依然未知,但通過導(dǎo)函數(shù)f′(x)的對應(yīng)方程隱藏的等量關(guān)系進(jìn)行替換,將“超越式”轉(zhuǎn)化為“整式”,再利用均值不等式巧妙地使x0的構(gòu)設(shè)達(dá)到“設(shè)而不求”的效果!

例9若不等式x(1-k)+k+xlnx＞0對任意x＞1均成立,求整數(shù)k的最大值.

點評該例充分說明構(gòu)設(shè)導(dǎo)函數(shù)零點處理超越函數(shù)的綜合問題有著廣闊的應(yīng)用空間,其做法極具實效性、典范性!

六、一元歸化原則

遇到求解有關(guān)二元不等式成立的綜合問題時,需要認(rèn)真分析不等式結(jié)構(gòu),從中提煉二元函數(shù)模型：y=(x1,x2),但如何研究二元函數(shù)又是一個挑戰(zhàn),唯有轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)去解決.事實上,很多二元函數(shù)y=(x1,x2)可圍繞或x1x2等進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐錅愖冃?再令其中或t=x1x2等,即可轉(zhuǎn)換成關(guān)于t的一元函數(shù)y=φ(t)來解決,這是一種常見的化歸策略.

例10(2011年遼寧高考理21改編)已知函數(shù)f(x)= lnx-ax2+(2-a)x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

(ⅠⅠ)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0,證明：f′(x0)＜0.

七、執(zhí)果索因原則

某些不等式(如二元不等式)的證明,并不能象上述直接輕易地構(gòu)建出目標(biāo)函數(shù),而是從所要證明的目標(biāo)開始分析,逐步探求使結(jié)論成立的充分條件,在追溯解決問題線索中自然產(chǎn)生構(gòu)造函數(shù)、研究函數(shù)的需要,這種函數(shù)建構(gòu)針對性強(qiáng)、目標(biāo)清晰、規(guī)避模式,有利于提升分析問題和解決問題的綜合能力.

例11(2016年全國新課標(biāo)Ⅰ理21改編)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(a＞0).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(ⅠⅠ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點,證明：x1+x2＜2.

解析由f′(x)=(x-1)(ex+2a)可得：f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞),遞減區(qū)間為(-∞,1),故其在x=1處取得極小值f(1)=-e.第(Ⅰ)小題的設(shè)置讓我們獲得了函數(shù)f(x)的大致輪廓;

第(ⅠⅠ)小題可由第(Ⅰ)小題結(jié)果以及函數(shù)值的符號、趨勢,勾勒出函數(shù)f(x)=xe-x的示意圖,圖中直線x=1是函數(shù)f(x)的“類對稱軸”,由于“類對稱軸”兩邊增減幅度不同,當(dāng)f(x1)=f(x2)時,可直觀發(fā)現(xiàn)：x1+x2＜2,這就是第(ⅠⅠ)小題的問題產(chǎn)生的原始背景.

圖1

于是解決問題的切入點轉(zhuǎn)為常規(guī)的構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)知識證明不等式恒成立問題.

例12 若函數(shù)f(x)=ex-a(x-1)存在兩個零點x1,x2(x1＜x2),求證：x1x2＜x1+x2.

結(jié)束語上述典例充分說明：求解有關(guān)不等式成立問題終究還是化歸為函數(shù)問題的探究,目標(biāo)函數(shù)的建構(gòu)是整個解決問題過程中的關(guān)鍵和主線,合理恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型是持續(xù)發(fā)揮導(dǎo)數(shù)功能的基礎(chǔ)載體,是有效化解不等式問題的重要依托,也是滲透常見數(shù)學(xué)思想的上佳素材.函數(shù)建模受挫并不可怕,關(guān)鍵在于靈活運用已有的知識儲備,尋求問題的變通、解法的突破和思維的創(chuàng)新.