陳傳東

[摘 要] 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)運(yùn)算準(zhǔn)確率不高是困擾部分學(xué)生和教師的難題. 通過(guò)對(duì)初中生數(shù)學(xué)作業(yè)、試卷、易錯(cuò)題展示小報(bào)的分析，筆者發(fā)現(xiàn)提高初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力必過(guò)“四關(guān)”：第一，負(fù)號(hào)關(guān)；第二，括號(hào)關(guān)；第三，公式關(guān)；第四，檢驗(yàn)關(guān).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；運(yùn)算能力；運(yùn)算符號(hào)；去（添）括號(hào)；數(shù)學(xué)公式

“在良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上謀求學(xué)生的全面發(fā)展”是我國(guó)數(shù)學(xué)教育特色的核心，這里的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”主要指數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及“三大數(shù)學(xué)能力”（數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯思維能力）. 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重要性可見(jiàn)一斑. 初中階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算包括對(duì)數(shù)值的計(jì)算、求近似值；數(shù)學(xué)式子的恒等變形（如代數(shù)式化簡(jiǎn)）與同解變形（如解方程、方程組或不等式）；初等函數(shù)運(yùn)算和求值；各種幾何量的測(cè)量與計(jì)算；概率、統(tǒng)計(jì)的初步計(jì)算等. 恰逢筆者所在年級(jí)備課組在做“初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題歸因分析與矯正策略研究”小課題，教師訪談和學(xué)生的易錯(cuò)題展示小報(bào)表明，運(yùn)算準(zhǔn)確率不高是困擾教師和學(xué)生的共同難題.

現(xiàn)摘錄幾個(gè)易錯(cuò)題展示小報(bào)上涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算的典型例題（本文展示的是正確解題過(guò)程）：

第2題易出錯(cuò)的地方有四個(gè)：第一，打開完全平方公式時(shí)，憑直覺(jué)認(rèn)為（x-1）2=x2-1；第二，認(rèn)為（x-2）（2-x）可以用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；第三，式中的減法運(yùn)算是減去（x-2）（2-x）的乘積，應(yīng)把乘積當(dāng)作一個(gè)整體加上括號(hào)，再去括號(hào)并變號(hào)，很多學(xué)生算成了2（x-1）2-（x-2）（2-x）=2（x2-2x+1）-2x-x2-4+2x；第四，有同學(xué)在給2（x2-2x+1）去括號(hào)時(shí)只把2與括號(hào)中的某一項(xiàng)或某兩項(xiàng)相乘.

經(jīng)過(guò)分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生計(jì)算時(shí)出錯(cuò)的原因主要有四大類：一是符號(hào)問(wèn)題，其中“負(fù)號(hào)”是學(xué)生最恐懼的符號(hào)，題目中出現(xiàn)的負(fù)號(hào)（減號(hào)）越多，學(xué)生犯錯(cuò)的頻率越高. 二是括號(hào)問(wèn)題，當(dāng)括號(hào)前有負(fù)號(hào)時(shí)，去括號(hào)需變號(hào)，不變號(hào)或只部分變號(hào)是出錯(cuò)主因. 部分學(xué)生該添括號(hào)時(shí)不添（如多項(xiàng)式相減時(shí)，應(yīng)該給多項(xiàng)式加上括號(hào)），不該添括號(hào)時(shí)亂添，如計(jì)算-12時(shí)算成（-1）2. 三是公式問(wèn)題，完全平方公式打開時(shí)應(yīng)該有3項(xiàng)，部分學(xué)生在初三復(fù)習(xí)時(shí)還把（a-b）2算為a2-b2，把（a+b）2算為a2+b2，對(duì)平方差、負(fù)指數(shù)冪等公式理解也不徹底. 四是粗心，抄題時(shí)，把符號(hào)抄錯(cuò)或者項(xiàng)數(shù)抄漏. 因此，培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力需過(guò)四關(guān)，即負(fù)號(hào)關(guān)、括號(hào)關(guān)、公式關(guān)、檢驗(yàn)關(guān).

負(fù)號(hào)關(guān)

（一）加號(hào)與正號(hào)、減號(hào)與負(fù)號(hào)的區(qū)別、統(tǒng)一

在初一（上冊(cè)）學(xué)習(xí)有理數(shù)之后，“負(fù)號(hào)”就伴隨著學(xué)生初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 加號(hào)與正號(hào)的符號(hào)表示都為“+”，減號(hào)與負(fù)號(hào)的符號(hào)表示都為“-”，一線教師常常區(qū)分為運(yùn)算符號(hào)和性質(zhì)符號(hào). 在表示具有相反意義的量時(shí)，這種區(qū)分是必要的. 但在運(yùn)算過(guò)程中，加號(hào)與正號(hào)，減號(hào)與負(fù)號(hào)是可以相互轉(zhuǎn)化、統(tǒng)一的. 以實(shí)際情境為例：小明在第一次數(shù)學(xué)小檢測(cè)中考了90分，第二次在第一次基礎(chǔ)上提高了5分，第三次在第二次基礎(chǔ)上下降了4分，小明第三次檢測(cè)得了多少分？學(xué)習(xí)有理數(shù)之后，列式有2種：①90+5-4；②90+（+5）+（-4）. 比較這兩個(gè)式子，①式中，5前面的加號(hào)“+”表示提高，4前面的減號(hào)“-”表示下降；②式中，5前面的正號(hào)“+”表示提高，4前面的負(fù)號(hào)“-”表示下降. 此時(shí)，加號(hào)與正號(hào)的意義相同，減號(hào)與負(fù)號(hào)的意義相同. ①②式都表示小明第三次的檢測(cè)成績(jī)，所以90+5-4=90+（+5）+（-4）. 實(shí)際上，在進(jìn)行有理數(shù)和整式的加減運(yùn)算時(shí)，所有的符號(hào)都可看成項(xiàng)或數(shù)的性質(zhì)符號(hào)，式子中的加減運(yùn)算可以統(tǒng)一為只有加法運(yùn)算的“和式”. ②是“和式”，①是省略加號(hào)的和式.

把運(yùn)算符號(hào)看成性質(zhì)符號(hào)的一個(gè)好處是：在用交換律、結(jié)合律時(shí)，需對(duì)項(xiàng)的位置進(jìn)行調(diào)換，性質(zhì)符號(hào)作為項(xiàng)的一部分應(yīng)該跟著項(xiàng)走，“符號(hào)跟著走”才能保證運(yùn)算正確. 如式子1-2+3-4含有+1，-2，+3，-4四項(xiàng)，1-2+3-4=1+3-4-2=-2.

整式加減合并同類項(xiàng)時(shí)，“符號(hào)跟著走”也有利于提高運(yùn)算準(zhǔn)確率. 如4a2-4a+12a-9a2=（4a2-9a2）+（12a-4a）= -5a2+8a.

（二）負(fù)號(hào)的妙用

學(xué)生對(duì)含有負(fù)號(hào)的運(yùn)算往往沒(méi)有含正號(hào)的運(yùn)算得心應(yīng)手. 但掌握好負(fù)號(hào)，特別是相反數(shù)（相反項(xiàng)）的概念，會(huì)為數(shù)學(xué)運(yùn)算帶來(lái)很多便利. 在教學(xué)中，讓學(xué)生理解：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)（因式）的偶次冪相等、奇數(shù)冪互為相反數(shù)，相反項(xiàng)可以通過(guò)提取負(fù)號(hào)變成相同項(xiàng)，能為學(xué)生靈活運(yùn)用負(fù)號(hào)帶來(lái)很大便利.

如：299×（-2）100=299×2100=2199；24×

（-2）5=24×（-25）=-29；（a-b）2·（b-a）3=（b-a）2·（b-a）3=（b-a）5或（a-b）2·（b-a）3=（a-b）2·[-（a-b）3]= -（a-b）5.

以上變形將不同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算. 在分式化簡(jiǎn)中，分式的分子、分母也可通過(guò)提負(fù)號(hào)把相反因式轉(zhuǎn)化為相同因式，從而進(jìn)行約分.

（一）掌握去括號(hào)與添括號(hào)的法則

要過(guò)括號(hào)關(guān)，去括號(hào)、添括號(hào)的法則是教師必須講透、學(xué)生必須徹底掌握的兩個(gè)法則. 在整式與分式的混合運(yùn)算、解方程與不等式、因式分解、二次函數(shù)解析式變形中都會(huì)用到去（添）括號(hào)法則. 當(dāng)括號(hào)前面是正號(hào)“+”時(shí)，不管是添括號(hào)還是去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不改變符號(hào)，學(xué)生遇到這類題出錯(cuò)的概率也比較小，本文不再贅述. 括號(hào)前有負(fù)號(hào)或有因數(shù)是學(xué)生最容易出錯(cuò)的兩種情況.

1. 括號(hào)前有負(fù)號(hào). 去括號(hào)：當(dāng)括號(hào)前是負(fù)號(hào)“-”時(shí)，把括號(hào)和它前面的負(fù)號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都要改變符號(hào). 如a-（b-c）=a-b+c，在去括號(hào)的過(guò)程中，去掉的是括號(hào)和前面的負(fù)號(hào)，括號(hào)里的+b變成了-b，-c變成了+c. 添括號(hào)：所添括號(hào)前面是“-”時(shí)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都要改變符號(hào). 如a-b-c=a-（b+c），-b變成了括號(hào)里的+b，-c變成了括號(hào)里的+c. 不管是去括號(hào)還是添括號(hào)，都應(yīng)該把括號(hào)和括號(hào)前面的負(fù)號(hào)當(dāng)作一個(gè)整體.

2. 括號(hào)前有因數(shù). 如2（2a2-b2）-3·（a2-2b2）=4a2-b2-3a2-6b2=a2-7b2，只把括號(hào)前的系數(shù)與括號(hào)內(nèi)的某一項(xiàng)相乘也是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤.

實(shí)際上，學(xué)生要過(guò)括號(hào)關(guān)就需要教師在教學(xué)中滲透整體思想，一個(gè)括號(hào)代表一個(gè)整體，所以要變號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都要變；要乘某一因數(shù)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都應(yīng)該乘該因數(shù). 對(duì)待括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)應(yīng)該“一視同仁”.

（二）妙添括號(hào)，巧計(jì)算

與添括號(hào)相比，去括號(hào)具有被動(dòng)性，只有題目中出現(xiàn)了括號(hào)，才需要學(xué)生去括號(hào). 添括號(hào)具有很大的主動(dòng)性，它體現(xiàn)了學(xué)生嫻熟、靈活的運(yùn)算能力. 一些試題，不添括號(hào)同樣可以完成計(jì)算，但添括號(hào)之后往往運(yùn)算過(guò)程更為簡(jiǎn)便.

1. 通過(guò)添括號(hào)變形，從而運(yùn)用公式. 如計(jì)算（a-b+3c）（a+b-3c），直接利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則可以得出結(jié)果，但通過(guò)添括號(hào)之后可以使用平方差公式，變形為（a-b+3c）（a+b-3c）=[a-（b-3c）][a+（b-3c）]=a2-（b-3c）2，從而快速得到結(jié)果.

公式關(guān)

冪運(yùn)算、整式的乘法、分式運(yùn)算、根式運(yùn)算、解直角三角形、圓等章節(jié)中，包含著初中階段需要掌握的眾多數(shù)學(xué)公式. 數(shù)學(xué)公式理解不透、掌握不牢是導(dǎo)致學(xué)生運(yùn)算效率低下的重要原因. 因此，學(xué)生對(duì)公式的記憶必須從機(jī)械記憶走向理性建構(gòu). 教學(xué)公式時(shí)，教師既要重視公式推導(dǎo)，也要重視公式運(yùn)用.

（一）重視公式推導(dǎo)

為了追求教學(xué)進(jìn)度，“不重視公式推導(dǎo)，只重視公式運(yùn)用”是常見(jiàn)的教學(xué)現(xiàn)象，這導(dǎo)致很多學(xué)生對(duì)公式的理解處于空白或“夾生飯”狀態(tài)，對(duì)公式的記憶模糊、混亂. 細(xì)致的公式推導(dǎo)過(guò)程，可以讓學(xué)生知道公式的來(lái)源以及公式的適用范圍. 以平方差公式為例，學(xué)生通過(guò)計(jì)算，觀察（a+b）（a-b），（x+3）（x-3），（5+a）（-5+a）這三個(gè)式子發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，當(dāng)兩個(gè)因式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)只有符號(hào)不同時(shí)，計(jì)算結(jié)果是平方差形式，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方. 在計(jì)算、觀察的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以歸納出平方差公式的一般形式（a+b）（a-b）=a2-b2. 公式推導(dǎo)的過(guò)程讓學(xué)生明白只有形如（a+b）（a-b）的式子才能運(yùn)用平方差公式，平方差公式的計(jì)算結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方，在理解這一本質(zhì)的基礎(chǔ)之上，任意調(diào)換相同項(xiàng)和相反項(xiàng)的位置，學(xué)生都能快速得到正確答案. 如（a+5）（a-5），（5+a）·（-5+a），（a+5）（-5+a）的計(jì)算結(jié)果都是a2-25. 在此基礎(chǔ)上，教師根據(jù)班級(jí)學(xué)情，還可以適當(dāng)拓展，把相同項(xiàng)和相反項(xiàng)變?yōu)橄禂?shù)不為1的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，從而在平方差公式教學(xué)中滲透整體思想. 如（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2，[（a+b）+c][（a+b）-c]=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2.

（二）通曉公式運(yùn)用

任何數(shù)學(xué)公式都有其限定的使用范圍，學(xué)生要學(xué)會(huì)根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇適用的數(shù)學(xué)公式，千萬(wàn)不能想當(dāng)然地套用公式. 通曉公式運(yùn)用包括正用、逆用、活用3個(gè)層次.

1. 正用數(shù)學(xué)公式. 正用數(shù)學(xué)公式即從左往右運(yùn)用數(shù)學(xué)公式，以平方差公式為例，（a+b）（a-b）=a2-b2，若習(xí)題是形如等號(hào)左邊（a+b）（a-b）的形式，則可以從左往右運(yùn)用此公式，快速得到答案. 這里的a，b可以是單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式.

2. 逆用數(shù)學(xué)公式. 逆用數(shù)學(xué)公式即從右往左運(yùn)用數(shù)學(xué)公式，是初中數(shù)學(xué)逆向思維的重要體現(xiàn). 以平方差公式為例，（a+b）（a-b）=a2-b2，若習(xí)題是形如等號(hào)右邊a2-b2的形式，則可以從右往左運(yùn)用此公式，快速得到因式分解的結(jié)果，如4a2-b2=（2a+b）（2a-b）. 這里的a，b可以是單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式.

3. 活用數(shù)學(xué)公式. 一些習(xí)題考查的不僅僅是正用或逆用數(shù)學(xué)公式，還涉及公式變形. 完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的變形是學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)的題型，如已知a+b=3，ab=-8，求a2+b2，（a-b）2，a2-ab+b2的值等. 清楚基本公式的常見(jiàn)變形以及不同公式之間的數(shù)量關(guān)系是活用數(shù)學(xué)公式的前提.

檢驗(yàn)關(guān)

“沒(méi)有檢查答案的習(xí)慣，不知道如何有效檢查”是影響初中生運(yùn)算能力的重要因素. 為提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生從哪些角度去檢查. 筆者認(rèn)為，易錯(cuò)點(diǎn)就是檢查點(diǎn). 因此，檢驗(yàn)時(shí)要查運(yùn)算符號(hào)、查括號(hào)、查運(yùn)算順序、查公式運(yùn)用、查項(xiàng)數(shù)，以免運(yùn)算過(guò)程中漏項(xiàng)、丟系數(shù). 此外，教師必須交給學(xué)生常用的檢驗(yàn)方法.

（一）復(fù)算檢驗(yàn)法

復(fù)算法即把題目從頭到尾再算一遍，檢查運(yùn)算順序、書寫是否正確，步驟是否完整，這種方法幾乎適用于任何類型的運(yùn)算題目. 學(xué)生中運(yùn)用此法的占很大比例，但由于受思維定式和第一遍演算記憶的影響，學(xué)生容易在兩次計(jì)算中犯同樣的錯(cuò)誤，不易找出運(yùn)算中存在的問(wèn)題.

（二）逆運(yùn)算檢驗(yàn)法

逆運(yùn)算（互逆變形）是檢查運(yùn)算結(jié)果的法寶，如用加法運(yùn)算檢查減法運(yùn)算是否正確；用乘法運(yùn)算檢查除法運(yùn)算是否正確；用去括號(hào)檢查添括號(hào)是否正確；用整式乘法檢查因式分解是否正確；用乘方運(yùn)算檢查開方運(yùn)算是否正確等.

（三）代入檢驗(yàn)法

代入檢驗(yàn)法即將運(yùn)算結(jié)果代入原式進(jìn)行計(jì)算. 如檢查方程或方程組的解是否正確，可把解代入原方程，能否使原方程成立是判斷答案正確與否的標(biāo)準(zhǔn). 一些選擇題也可以通過(guò)代入選項(xiàng)的方法檢驗(yàn)答案是否正確.

（四）數(shù)形結(jié)合法

在數(shù)軸、不等式（組）的解集、函數(shù)的系數(shù)與圖像等問(wèn)題中，可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法判斷答案正誤. 如一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像從左到右呈上升狀態(tài)，但求出的k值小于0，顯然這個(gè)答案是錯(cuò)誤的. 同樣，若二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的對(duì)稱軸在y軸左邊，但求出的a，b異號(hào)，說(shuō)明計(jì)算過(guò)程一定出現(xiàn)了問(wèn)題.

檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果的方法有多種，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)該有意識(shí)地反思、總結(jié)檢驗(yàn)方法，并能根據(jù)題型選擇最佳的檢驗(yàn)方法，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率.

若學(xué)生在教師的幫助下能夠順利度過(guò)負(fù)號(hào)關(guān)、括號(hào)關(guān)、公式關(guān)、檢驗(yàn)關(guān)，學(xué)生的運(yùn)算能力會(huì)得到大幅提升，這將為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供堅(jiān)實(shí)的運(yùn)算能力基礎(chǔ).