李會思

【摘要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)既是課堂教學(xué)的重要組成部分又是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心。概念擴(kuò)張又在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中極為常見，本文以概念擴(kuò)張在整數(shù)指數(shù)冪中的應(yīng)用為例進(jìn)行探析。旨在使學(xué)生經(jīng)歷整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)展的過程中，體會到一套新概念擴(kuò)張的研究方法。

【關(guān)鍵詞】整數(shù)指數(shù)冪 數(shù)學(xué)思考 學(xué)生參與度

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）01-0240-02

整數(shù)指數(shù)冪是在正整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到自然數(shù)指數(shù)冪后的又一次擴(kuò)充，將指數(shù)的范圍擴(kuò)大到整數(shù)。旨在使學(xué)生在經(jīng)歷整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)展的過程中，體會到一套新概念擴(kuò)張的研究方法。本節(jié)課是我們引導(dǎo)學(xué)生怎樣認(rèn)識、探索數(shù)學(xué)世界的一個很好的切入點。在教學(xué)設(shè)計方面的要求在指數(shù)概念和運(yùn)算性質(zhì)的擴(kuò)充過程中，注重知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，注重學(xué)生的思維參與度。下面基于A、B老師在授課中兩個重要環(huán)節(jié)進(jìn)行闡述分析： 一、如何由a0=1類比得出a-p=1/ap（其中a≠0，p是正整數(shù)）

A老師提出同底數(shù)冪相除的性質(zhì)在m、n是正整數(shù)，且m

B老師提問同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)在m不大于n的情況下，還能否使用呢？計算a3÷a5。在a3÷a3 =a0=1（a≠0）提供了方法上參考的前提下，蘊(yùn)含類比的思想方法，由同底數(shù)冪除法法則可得a3÷a5=a3-5=a-2，由分式的基本性質(zhì)，約分可得a3÷a5=1/a2（a≠0），即a-2=1/a2（a≠0）。接著B老師為暗示學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題采取從特殊到一般的思想并提出：為了讓同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)能夠適用于m

二、正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的擴(kuò)展

A老師首先回顧正整數(shù)指數(shù)冪中同底數(shù)冪乘法、冪的乘方及積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)。然后提出問題：現(xiàn)在我們已經(jīng)把指數(shù)擴(kuò)展到全體整數(shù)，那么正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對整數(shù)指數(shù)冪是否仍然成立呢？指數(shù)冪概念的擴(kuò)展并不能直接帶來冪運(yùn)算法則的擴(kuò)展，相反新的概念對原有的法則是否適用，是否帶來矛盾，是需要認(rèn)真對待的，在這里A老師仍采取從特殊到一般的思想，進(jìn)行舉例驗算，A老師分析到學(xué)生的困難在于：一是不理解為什么對指數(shù)m、n取值要求及取值的多樣性。二是不知道檢驗的方法。為化解難點，先由A老師板演一個具體的驗算過程和方法，然后給了學(xué)生自由發(fā)揮的空間，以小組合作的方式，設(shè)置了一個自己舉例驗算的小環(huán)節(jié)。A老師規(guī)定了哪個小組檢驗?zāi)臈l運(yùn)算性質(zhì)。這樣既節(jié)省了時間又能讓學(xué)生在舉例驗算的過程中感受法則推廣的推導(dǎo)過程，再次感受負(fù)整數(shù)指數(shù)冪規(guī)定的合理性。最后是學(xué)生示例環(huán)節(jié)，可以使學(xué)生通過比較，體會數(shù)據(jù)選取的多樣性及分類討論的數(shù)學(xué)思想，最后A老師提示學(xué)生：檢驗不是嚴(yán)格的證明，慎重對待數(shù)學(xué)要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。

B老師用活動的方式檢驗性質(zhì)，他先讓同學(xué)們看一下其它幾條性質(zhì)的限定條件中“正”字可以去掉嗎？然后選擇同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行驗證。其活動要求：1.類比同底數(shù)冪除法的研究過程，寫出幾個同底數(shù)冪乘法的算式，要注意指數(shù)的多樣性。2.先獨立思考，再小組合作，結(jié)合算式驗證。B老師類比同底數(shù)冪除法運(yùn)算性質(zhì)的推廣，對同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行探究。學(xué)生根據(jù)活動要求，通過獨立思考、合作交流、匯報展示的方式，經(jīng)歷尋找研究素材、推理歸納的過程，進(jìn)而驗證了性質(zhì)的正確性。對于其他幾條性質(zhì)，由于探究的方法十分相近，B老師說明其正確性，并沒有讓學(xué)生逐一推導(dǎo)，采用課后思考完成。這樣設(shè)計既節(jié)省時間又提高了課堂的效率，同時也留白給學(xué)生，擴(kuò)大了學(xué)生思考的空間。

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中新概念擴(kuò)張極為常見，整數(shù)指數(shù)冪的教學(xué)讓我們積累了一套新概念擴(kuò)張的研究方法。學(xué)生由問題的引領(lǐng)一步一步的思考，掌握了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，提升了學(xué)生的思維參與度。為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，必須讓學(xué)生有實質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考。

參考文獻(xiàn)：

[1]張建躍.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計研究[J]數(shù)學(xué)通報，2006

[2]郝利華.猜想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]學(xué)術(shù)研究，2013