摘 要：隨機變量的分布函數(shù)在現(xiàn)實生活中有著非常多的運用，與其分布相關的研究同樣是大部分教材重要的組成內(nèi)容。往往計算機變量函數(shù)分布能夠采取公式法又或是分布函數(shù)法，正常狀況下，公式法所需具備的條件非常的嚴格。本文對連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布進行較為深入的研究。

關鍵詞：連續(xù)型隨機變量；分布函數(shù)；應用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.05.218

1 連續(xù)型隨機變量中的“連續(xù)”界定

連續(xù)型隨機變量與離散型隨機變量是完全不同的，經(jīng)過其所存在的取值點集特點來概括，運用全新的工具分布F（x）函數(shù)來對其進行界定，也就是如果X的分布函數(shù)都可以寫為某一非負函數(shù)f（x）的變上限積分模式，便將它叫做連續(xù)型隨機變量。

（1）性質1 針對連續(xù)型隨機變量X存在：

a.

b.。

根據(jù)以上所闡述的特性能夠發(fā)現(xiàn)，連續(xù)型隨機變量大都是探討相互持續(xù)的點集中的取值概率，比如：區(qū)間[c，d]等，它的某個固定點位置處的概率是0。換而言之，連續(xù)型隨機變量所分析的是各式各樣的有限區(qū)間、數(shù)軸以及半數(shù)軸等。

但是，若果取值點集是半數(shù)軸、有限區(qū)間、數(shù)軸以及并集的隨機變量，

其并非一定是連續(xù)型，比如：。其同樣是沒有辦法

采取連續(xù)型隨機變量全部的能夠進行取值的點集的特點來實施概括。

（2）性質2 對于連續(xù)型隨機變量X，如果f（x），F(xiàn)（x）所代表的是密度函數(shù)以及分布函數(shù)，那么便存在：

a.f（x）≥0；b.；c.f（x）=F′（x），在f（x）的連續(xù)點便成立。

較為顯著的是，f（x）在XOY坐標平面中所對應的的圖像，處在X軸以及它上方的一個曲線，同時此曲線和X軸間區(qū)域的面積是1。然而f（x）并不能確定為（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，同時其所有不連續(xù)點均是單獨存在的、數(shù)量有限的點集，然而從其主體層面依然是分段式的連續(xù)函數(shù)，同時在f（x）的連續(xù)點處的F（x）可導。此處補充說明的是，性質2中所列出的a、b均是f（x）能夠成為連續(xù)型隨機變量函數(shù)的充要條件。

（3）根據(jù)高等數(shù)學相關理論能夠得知，變上限積分函數(shù)F（x）一定是（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。針對普通性的分布函數(shù)僅僅需要其達到右連續(xù)，例如：連續(xù)型隨機變量對應的分布函數(shù)是全部連續(xù)的，換而言之，連續(xù)型隨機變量的概率累積實漸漸積累的，并未產(chǎn)生跳躍式的增長。其同樣是連續(xù)型隨機變量最為主要的“連續(xù)”特點，然而并不能說明分布函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，其所對應的隨機變量必然是連續(xù)型的。

2 連續(xù)型隨機函數(shù)分布的計算方法

2.1 復合函數(shù)單調(diào)

定理1 假定隨機變量X存在著概率密度函數(shù)fx（x），fx（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)不可能為0，函數(shù)g（x）處處可導同時始終存在（又或是始終存在），那么Y=g（X）便為連續(xù)型隨機變量，同時，其間：α=min（g（a），g（b））；β=max（g（a），

g（b））；h（y）為g（x）的反函數(shù)。

2.2 復合函數(shù)分段單調(diào)

定理2 假定隨機變量X的概率密度函數(shù)為fx（x），同時fx（x）在區(qū)間（a，b）范圍內(nèi)等于0，函數(shù)g（x）在（a，b） 的不重復的子區(qū)間I1，I2，...中逐段的嚴格單調(diào)，其所對應的反函數(shù)分別是h1（y），h2（y），...，同時，都是連續(xù)函數(shù)，那么Y=g（X）便為連續(xù)型隨機變量，同時其所對應的概率密度函數(shù)是

，其間：α=min（g（a），

g（b））；β=max（g（a），g（b））。

3 連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的部分性質與證明

無論X是連續(xù)型的又或是離散型的隨機變量，其所對應的的分布函數(shù)F（x）都有以下的基本性質：1，2，3

性質1 單調(diào)性：F（x）為（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)；

性質2 有界性：0≤F（x）≤1，且

性質3 右連續(xù)性：F（x+0）=F（x）。

性質4 如果隨機變量X為連續(xù)型，F(xiàn)（x）所代表的是其對應的分布函數(shù)，那么Y=F（x）滿足[0，l]區(qū)間為的均勻分布。

證明 假定p（x）代表的是隨機變量x的密度函數(shù)，PY（y）所代表的是隨機變量Y=F（x）對應的密度函數(shù)，那么便會有F`（x）=P（x）。因為y=F（x）是（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以F（x）在（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)有著相應的反函數(shù)，假定該反函數(shù)是，0≤y≤1，那么：

當y<0或y>1時，PY（y）=0；

當0≤y≤1時，

求導，得：

根據(jù)以上所述，Y=F（X）的密度函數(shù)是

因此，Y=F（X）滿足[0，1]區(qū)間內(nèi)的均勻分布。

性質5 如果隨機變量X為連續(xù)型，F(xiàn)（x）所代表的是分布函數(shù)，F(xiàn)（x）在[a，b]區(qū)間內(nèi)連續(xù)并且嚴格單調(diào)，（此處的a能夠為-∞，b能夠為+∞），那么同分布，其間U滿足[0，l]區(qū)間內(nèi)的均勻分布。此處是F（.）所對應的反函數(shù)。

證明 假設其密度函數(shù)是，因為F（x）在[a，b]區(qū)

間內(nèi)連續(xù)并且嚴格單調(diào)遞增，因此假定其所對應的的反函數(shù)是，此處0≤y≤1，假設所對應的密度函

數(shù)是PY（y）。根據(jù)U的密度函數(shù)能夠得知：

當y<0或y>1時，PY（y）=0；

當0≤y≤1時，

求導，得：

當a為-∞，b為+∞的時候，以上結論同樣成立。能夠得知，和X同分布。

參考文獻：

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[2]歐俊豪，王家生，徐漪萍等.應用概率統(tǒng)計[M].天津：天津大學出版社，1999.

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作者簡介：陳曉（1982-），女，河南濟源人，本科，助教，研究方向：應用數(shù)學。