王芳+從建華

【關鍵詞】解題靈感；結(jié)構類比；數(shù)形結(jié)合；追求美感

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）11-0061-02

【作者簡介】1.王芳，江蘇省宜興市陽羨高級中學（江蘇宜興，214200）教師，一級教師；2.從建華，江蘇省宜興市陽羨高級中學（江蘇宜興，214200）教師，一級教師。

高中數(shù)學教師都很重視邏輯思維，認為在分析問題時要條分縷析，但有時也不免過分強調(diào)了嚴密性，走向了一種線性思維的極端。這樣的教學方式，容易禁錮學生的思想，使數(shù)學在學生心中片面化，成為一串串枯燥無味的數(shù)字和符號，扼殺了學生的想象力和探索精神，制約了學生數(shù)學素養(yǎng)的提高。其實，數(shù)學并非只是枯燥的線性思維，它很多時候需要我們的思維有所變換。以高中數(shù)學的解題為例，數(shù)學問題的順利解決，有時需要我們有意識地捕捉一些解題的靈感。正如美國心理學家布魯納所說的那樣：“在我們向?qū)W生揭示演繹和證明這種更傳統(tǒng)的和更正式的方法之前，使其對材料有直覺的理解可能是頭等重要的?！?/p>

靈感是一種直覺聯(lián)想思維，具有直接性、敏捷性、簡縮性、跳躍性等特點，可以認為它是邏輯思維的凝聚或簡縮。它最顯著的特征是越過思考的中間推理階段，直接理解和洞察問題的實質(zhì)及規(guī)律性的聯(lián)系，直達有關結(jié)論。所以在解題教學過程中，教師要善于幫助學生生發(fā)靈感、捕捉靈感。筆者結(jié)合自己的教學經(jīng)驗，歸納了以下三個解題靈感的來源，希望能對教師的解題教學有所助益。

1.從類比結(jié)構中尋找靈感。

當我們遇到一個數(shù)學問題需要解答時，一般是先分析題意，找出條件與結(jié)論之間的關系。但有時邏輯的方法未必能順利地解決問題，這時，如果我們關注題目形式上的類比，就有可能出現(xiàn)“頓悟”現(xiàn)象，令我們豁然開朗。這正是著名數(shù)學家波利亞所說的：“直覺類比是一個偉大的引路人。”

分析：本題的難點是a與的結(jié)構大不相同，學生無從下手。但若從“形”上考慮，分子是一次式，分母是兩次式，可以想到將兩者的最高次冪做到統(tǒng)一。若要想構造成齊次式，則不難聯(lián)想到把h≤a，h≤兩式相乘，因此有h2≤。再在分式上下同除以分子，得到h2≤，此時就可以利用基本不等式解決問題。

2.在數(shù)形結(jié)合中尋找靈感。

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學的一大重要思想，是解決問題的一條有效途徑，也是高考填空題考察的一個重要方向，它能很好地體現(xiàn)學生思維的廣度、深度。我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，所以我們需要“數(shù)上覓形”。

例2：已知x，y>0且x-y≤0，求的取值范圍。

分析：本題的常規(guī)方法是平方后變成齊次式，然后再進行消元變成一元二次分式問題，接下來可以結(jié)合不等式、利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求解。這種解題思路對學生的思維要求不高，但對學生的化簡求解能力要求較強，學生稍有不慎就容易算錯，進而“前功盡棄”。但倘若如果我們“數(shù)上覓形”，或許別有一番天地。

從這里可以看出，從“數(shù)”到“形”，再從“形”到“數(shù)”，數(shù)形的內(nèi)在轉(zhuǎn)化使我們得到了最優(yōu)解，同時它也為我們的解題提供了靈感，使我們在數(shù)學直覺上有一種進步與發(fā)展。

3.在追求美感中尋找靈感。

數(shù)學美主要表現(xiàn)在數(shù)學本身的對稱性、相似性以及和諧性等性質(zhì)上。法國數(shù)學家阿瑪達認為，數(shù)學直覺本質(zhì)上就是某種“靈感”和“美”的意識。為此，我們從“美”的方向去探尋，有時也會有解題靈感的生發(fā)。

例3：已知經(jīng)x，y∈R，4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為 。

分析：本題很容易想到的是平方后轉(zhuǎn)化為不等式問題進行求解，但做到后面發(fā)現(xiàn)這種常規(guī)的方法并不容易，也或者可以用判別式的方法進行求解。若我們從美學的角度來審視，可以這樣思考：等式左邊有平方關系，右邊是常數(shù)1，所以直觀聯(lián)想到三角函數(shù)的平方關系cos2α+sin2α=1，故可以將原式轉(zhuǎn)換為

通過上面的例題，我們感受到數(shù)學問題中的相似之美與對稱之美，深刻體會到數(shù)學之美對解題的重要性，猶如撥云見日。如此求解，思路簡潔、方法明確。學生容易掌握，從中能體會到數(shù)學的對稱之美，解題中能感受到數(shù)學帶來的樂趣，變“好學”為“樂學”。所以，我們在解題中要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，從而利用數(shù)學之美更好的解題。如果我們在教育中充分挖掘數(shù)學的“美”，引導學生去發(fā)現(xiàn)、欣賞、感知、創(chuàng)造，就能大大地提高學生的學習興趣，充分調(diào)動學生的非智力因素。

靈感與邏輯思維一樣，是人類的一種基本的思維方式，它可以使很多數(shù)學題目、特別是上手較難的題目化難為簡，撥云見日。所以，靈感在解題中有著不可低估的作用，我們在高中數(shù)學教學中要重視對它的引導。

【參考文獻】

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