張忠波

(江蘇省徐州市銅山區(qū)銅山中學(xué) 221100)

相關(guān)定理的運(yùn)用，可以最大限度地將有理根的范圍縮小，從而進(jìn)一步求出多項(xiàng)式的所有有理根，因此，定理的運(yùn)用最大限速地簡化了做題的思路.下面我們對有關(guān)定理以及求解方法進(jìn)行一一論述.

一、整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的相關(guān)定理

我們利用定理一可以得到以下定理：

3.定理三 設(shè)q是整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)根，那么q就是常數(shù)項(xiàng)a0的約數(shù).因?yàn)槎ɡ矶际墙?jīng)過長期的論證推斷證明出來的正確的內(nèi)容，因此這個定理在解題的過程中我們是可以直接運(yùn)用的.

4.定理四 設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=a0xn+an-1xn-1+…+a1x+a0的常數(shù)項(xiàng)a0是奇數(shù)，但是2p+q是偶數(shù)，那么p+q不是方程的有理根.

二、有理根的判定

關(guān)于整系數(shù)有理根的存在性問題我們通常的情況下可以把常數(shù)項(xiàng)的每一個因數(shù)分別代進(jìn)多項(xiàng)式里面進(jìn)行驗(yàn)證，但是當(dāng)一個算式里面常數(shù)項(xiàng)非常大，因數(shù)的個數(shù)也比較多的時候，多項(xiàng)式的次數(shù)也相應(yīng)的比較高，那么計(jì)算量會非常的大，單純依靠我們?nèi)四X很難算出準(zhǔn)確的答案，必須依靠計(jì)算機(jī)來進(jìn)行幫助.但是，我們這是在直接計(jì)算的情況下，如果我們能首先判別多項(xiàng)式不可約，或者有些時候我們可以將一個多項(xiàng)式進(jìn)行分解，如果這個多項(xiàng)式可以分解成好幾個多項(xiàng)式的乘積.那么我們依靠人腦求出多項(xiàng)式的有理根在理論上是可行的，應(yīng)該能求得的，但是問題又來了，將一個多項(xiàng)式分解為幾個多項(xiàng)式的積并非一件容易的事情，在實(shí)際的操作過程中會有很大的困難.因此，研究多項(xiàng)式的有理根的問題，我們通常情況下從系數(shù)開始研究，首先判定是否存在有理根，下面是有理根的判別方法.

定理1 (Eisenstein判別法)：設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0在數(shù)學(xué)上為我們要求的式子.假設(shè)存在一個數(shù)p，使得

1.p+an；

2.p|an-1,an-2,…,a0；

3.p2+a0.

那么f(x)在有理數(shù)的定義域內(nèi)是不存在約分情況的.

證明如果f(x)在有理數(shù)的定義域內(nèi)是不存在約分情況，我們則可以根據(jù)2.2，f(x)在一定意義上講將可以進(jìn)行次數(shù)上的降低以及分解：

f(x)=(blxl+bl-1xl-1+…+b0)(cmxm+cm-1xm-1+…+c0)(l,m

因?yàn)閜|a0，所以p能把b0或c0整除掉.但是p2+a0，所以p對于b0及c0而言不存在同時除掉的情況.在這種情況下我們應(yīng)該假設(shè)p|b0但p+c0.另一方面，因?yàn)閜+an，所以p|/bl.假設(shè)b0,b1,…,bl中首先不能被p整體除得的bk.通過對f(x)中xk的前面的常數(shù)進(jìn)行分析，可以得到ak=bkc0+bk-1c1+…+b0ck.式中ak,bk-1,…,b0在某種意義上而言可以被p整體除得，所以bkc0在理論上也應(yīng)該可以被p整體除得.可是p是我們數(shù)學(xué)上所言的素?cái)?shù)，所以bk與c0中至少有一個被p整除.這在理論上是相互存在分歧的，是不統(tǒng)一的.

(1)p+a0;

(2)pm-1|an,但pm+an；

(3) (i)當(dāng)m≤n時，pm-k|an-k,k=1,2,…,m-1,且p|a1,a2,…,an-m；

(ii)當(dāng)sn≥m>(s-1)n+1時，其中s為正整數(shù)，pm-k|an-k,k=1,2,…,n-1 (注：當(dāng)s=1時 ，與(i)相同) ，那么 ，多項(xiàng)式f(x)沒有有理根 .

知f(x)=(sx-r)(b0xn-1+b1xn-2+...+bn-2x+bn-1)式中b0,b1,...,bn-2,bn-1都是整數(shù)，比較兩邊系數(shù)，即得

因?yàn)閜是素?cái)?shù)，且p|an，由(△)知p|rbn-1，所以p|r或p|bn-1，同時，因?yàn)閜+a0=sb0，所以p+s且p+b0. 如果p|r，那么由p|an-m+1，及 (△)中sbn-m+1=an-m+1+rbn-m，所以p|sbn-m+1,即p|bn-m+1，故p2|rbn-m+1.又因?yàn)閜2|an-m+2及sbn-m+2=an-m+2+rbn-m+2，所以p2|sbn-m+2，即p2|bn-m+2.又因?yàn)閜m-1|an-1及sbn-1=an-1+rbn-2,所以pm-1|sbn-1,即pm-1|bn-1,所以pm|rbn-1=-an,故pm|an.與pm|/an矛盾.必有p+r，則p|bn-1.

由于p|an-1及由 (△)式中rbn-2=sbn-1-an-1，所以p|rbn-2，但p+r，必有p|bn-2.

由(△)式依次類推知p|b1.

由p|a1及sb1=a1+rb0，得p|rb0.又由前面所述知p+b0且p+r，p為素?cái)?shù).相互反駁，故f(x)是不存在有理根的.

由(ⅰ)證明知g(y)無有理根， 故f(x)無有理根.

三、多項(xiàng)式有理根的求法

通過上面的定理我們可以總結(jié)出求一個整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0存在有理根的方法：

第一步：首先判斷f(x)在定義域范圍內(nèi)是否有有理根；

第二步：如果存在，求出an和a0的全部可能的因數(shù)；

整系數(shù)有理根的求法是人們常常討論的數(shù)學(xué)問題，有著重要的地位，本文相對全面地介紹了整系數(shù)有理根的求法，希望可以對正在學(xué)習(xí)此內(nèi)容的人有值得借鑒的地方，從而起到一定意義上的幫助作用，這是寫作此文的目的所在.

[1] 楊繼明.關(guān)于整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法[J].撫州師專學(xué)報(bào),1994(3).