☉湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書

圓錐曲線上四點共圓充要條件的統(tǒng)一證明與應(yīng)用

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圓錐曲線上四點共圓問題在高考中屢見不鮮，這類試題將圓錐曲線與四點共圓有機地結(jié)合在一起，重點考查運算求解能力和推理論證能力，由于問題綜合性強、運算量大，大多考生望而生畏，甚至談“圓”色變，不得不選擇放棄.筆者曾在文2中介紹了構(gòu)建曲線系方程來處理圓錐曲線上四點共圓的有效方法，在文3中給出了圓錐曲線上四點共圓的一個充要條件，并用直線的參數(shù)方程分別對橢圓、雙曲線和拋物線三種情形一一進行了證明，本文筆者再用曲線系方程給出這個充要條件的統(tǒng)一證明，并用這一充要條件來“秒殺”圓錐曲線上四點共圓的高考難題和數(shù)學(xué)問題.

先用曲線系方程來解決圓錐曲線上四點共圓的一道高考難題，體驗曲線系方程解題的方法和魅力.題目如下：

考題 已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）過點F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一個圓上，求l的方程.

這是2014年高考全國大綱卷文科第22題、理科第21題，第二問就是一道拋物線上四點共圓問題，參考答案給出的解答是一種常規(guī)解法，但運算量非常大，下面我們借助曲線系方程來巧解這道難題.

解析：（Ⅰ）求得C的方程為y2=4x.（過程略）

（Ⅱ）依題意，直線l、l′的斜率均存在且互為負倒數(shù).因直線l過焦點F（1，0），故設(shè)直線l的方程為x=my+ 1 ①，將其代入拋物線方程得y2-4my-4=0，則yA、yB是這個方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得yA+yB=4m，設(shè)AB的中點為D，則所以x=my+1=2m2+1.DD所以直線l′的方程為即mx+y-4m2-1=0 ②.

由①②知兩直線AB、CD的二次方程為（x-my-1）·（mx+y-4m2-1）=0，設(shè)過四點A、B、C、D的曲線系方程為（x-my-1）（mx+y-4m2-1）+λ（y2-4x）=0，即mx2+（λ-m）y2+（1-m2）xy-（4λ+4m2+m+1）x+（4m3+m-1）y+4m2+1=0 ③.

若A、B、C、D四點共圓，則③式左邊x2、y2項的系數(shù)相等，且xy項的系數(shù)為零，即有解得或

故所求直線l的方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1= 0.

下面我們先用曲線系方程給出圓錐曲線上四點共圓的一個充要條件的統(tǒng)一證明，再用這個充要條件解決有關(guān)試題.

定理 若兩條直線y=kix+bi（i=1，2）與圓錐曲線ax2+ by2+cx+dy+e=0（a≠b）有四個交點，則四個交點共圓的充要條件是k1+k2=0.

證明：兩直線組成的曲線方程為（k1x-y+b1）（k2x-y+ b2）=0，則過四個交點的曲線方程可設(shè)為（k1x-y+b1）（k2xy+b2）+λ（ax2+by2+cx+dy+e）=0 ①.

必要性：若四點共圓，則方程①表示圓，那么①式左邊展開式中xy項的系數(shù)為零，即有k1+k2=0.

充分性：當k1+k2=0時，令①式左邊展開式中x2，y2項的系數(shù)相等，得k1k2+λa=1+λb，聯(lián)立解得將其代入①，整理得x2+y2+c′x+d′y+e′=0 ②.

方程②的幾何意義是如下三種情形之一：表示一個圓、表示一個點、無軌跡.由題設(shè)知四個交點在方程②所表示的曲線上，故方程②表示圓.

評注：（1）方程ax2+by2+cx+dy+e=0（a≠b）是對稱軸平行于坐標軸的圓錐曲線（圓除外）的統(tǒng)一形式，統(tǒng)一的證明必須有統(tǒng)一的表現(xiàn)形式.從統(tǒng)一的思想高度來思考問題，必須求大同存小異，考慮共性的東西，而不要去顧及個性特征，否則，會陷入到一些細枝末節(jié)中而不能自撥.本證法是數(shù)學(xué)形式化與數(shù)學(xué)本質(zhì)的完美結(jié)合，證法簡潔、大氣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的形式美、簡潔美與和諧統(tǒng)一之美.（2）k1+k2=0是四點共圓的充要條件，λ是一個與k1、k2相伴隨的待定常數(shù)，只要存在這樣的常數(shù)使方程①表示圓即可.

上述定理用文字表述，即斜率均存在的兩條直線與圓錐曲線（圓除外）有四個交點，則四個交點共圓的充分條件是兩直線的斜率互為相反數(shù).這是一個非常簡潔的充要條件，運用這個定理可解決圓錐曲線上四點共圓的高考難題和數(shù)學(xué)問題.

對于上面這道高考題的第二問，用定理可簡解如下：

簡解：依題意，兩直線l、l′的斜率均存在且互為負倒數(shù)，設(shè)其斜率分別為因為四個交點共圓，由定理得解得k=±1，故所求直線l的方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0.

例1 （武漢市2016屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試理科數(shù)學(xué)第12題）設(shè)直線y=3x-2與橢圓Γ：交于A、B兩點，過點A、B的圓與Γ交于另外兩點C、D，則直線CD的斜率k為（ ）.

簡解：由定理知直線CD的斜率k為-3，故選B.

例2 （2011年高考全國卷Ⅱ理科第21題）已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足

（Ⅰ）證明：點P在C上；

（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.

例3 （2005年高考湖北卷理科第21題）設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.

（Ⅰ）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D在同一個圓上？并說明理由.

簡解：（Ⅰ）λ的取值范圍是λ＞12，直線AB的方程為y=-x+4.（過程略）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線AB的斜率為-1，則線段AB的垂直平分線CD的斜率為1，兩直線斜率互為相反數(shù)，由定理知對任意的λ＞12，A、B、C、D四點總在同一圓上.

例4 （2002年高考廣東、廣西、江蘇、河南卷理科第20題）設(shè)A、B是雙曲線上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點.

（Ⅰ）求直線AB的方程；

（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D在同一個圓上，為什么？

簡解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線AB的方程為y=x+1，則線段AB的垂直平分線CD的斜率為-1，兩直線斜率互為相反數(shù)，由定理知A、B、C、D四點在同一圓上.

例5 （《數(shù)學(xué)通報》2016年5月第2305號數(shù)學(xué)問題）AB是圓錐曲線mx2+ny2=1的斜率等于1的弦，AB的垂直平分線與該圓錐曲線交于點C、D，則A、B、C、D四點共圓.

簡解：因為直線AB的斜率等于1，所以AB的垂直平分線CD的斜率等于-1，兩直線斜率互為相反數(shù)，由定理知A、B、C、D四點共圓.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

由①②知直線AB、CD的斜率互為相反數(shù)，由定理知A、B、C、D四點共圓，再由相交弦定理得|MA|·|MB|=|MC|· |MD|.

曲線系方程是高中數(shù)學(xué)課本中的內(nèi)容，用曲線系方程可以有效地解決圓錐曲線上四點共圓難題，解法不僅能被高中生接受和掌握，也能得到高考閱卷人的肯定和點贊，解答題用曲線系方程作答最好.對于選擇題或填空題，由于不需解題過程，若能用本文定理求解效果最佳，往往可以一劍封喉而秒殺之.

1.吳佐慧，劉合國.橢圓上四點共圓的充要條件的行列式證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（6）.

2.鄒生書.構(gòu)建曲線系方程簡解四點共圓問題［J］.河北理科教學(xué)研究，2012（5）.

3.鄒生書.圓錐曲線上四點共圓的一個充要條件［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（南昌），2012（6）.