☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 李寬珍

高中數(shù)學(xué)課堂中“問題串”設(shè)計(jì)策略的思考

☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 李寬珍

《高中數(shù)學(xué)“問題串”教學(xué)模式的實(shí)踐研究》是筆者主持研究的江蘇省南京市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題.該研究旨在改變高中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)的“一言堂”、“滿堂灌”，從而教學(xué)效率不高等現(xiàn)象，為打造高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”提供一條有效途徑，以期以較少的精力、有限的時(shí)間投入獲得最優(yōu)的教學(xué)效能.要真正地做到這一點(diǎn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中就要精心設(shè)計(jì)“問題串”.好的“問題串”能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生積極探究、思考，真正讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“活”起來，以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開發(fā)“問題串”，并以之來組織教學(xué)，可以使得數(shù)學(xué)課堂高效.下面筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐談?wù)劇皢栴}串”的開發(fā)策略.

一、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題的情境中設(shè)計(jì) “問題串”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

學(xué)生在學(xué)習(xí)新內(nèi)容前，課本新知識(shí)通常會(huì)與已有知識(shí)背景、與現(xiàn)實(shí)生活產(chǎn)生認(rèn)知沖突，此時(shí)他們似懂非懂、似會(huì)不會(huì)，為了盡快消除認(rèn)知失調(diào)帶來的不悅，學(xué)生就會(huì)有迫切掌握知識(shí)的沖動(dòng)和渴望.因此，在新課的導(dǎo)入中，根據(jù)學(xué)情和教學(xué)內(nèi)容，在問題情境中精心設(shè)計(jì)“問題串”，使學(xué)生出現(xiàn)“憤徘”狀態(tài)，從而充分調(diào)動(dòng)起他們學(xué)習(xí)的興趣與積極性，利于學(xué)生在獲取知識(shí)的同時(shí)增長(zhǎng)能力.

案例1“復(fù)數(shù)概念”教學(xué)，可以設(shè)計(jì)如下創(chuàng)設(shè)情境的“問題串”：

問題1 將10分成兩部分，使兩者的乘積為40.

問題2 有沒有兩個(gè)數(shù)之和為10呢？之積為40呢？

問題3 那為什么剛才的問題無解呢？（五百年前意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹所遇到的問題）

問題4 實(shí)數(shù)集中有沒有這兩個(gè)數(shù)？

問題5 你知道數(shù)集的發(fā)展經(jīng)歷了幾次擴(kuò)充？

問題6 每一次擴(kuò)充都解決了什么問題？

問題7 你能總結(jié)下幾次數(shù)集擴(kuò)充的共同特點(diǎn)嗎？

問題8 你能寫出卡爾丹要找的數(shù)嗎？（引入什么樣的數(shù)，才能解決負(fù)數(shù)不能開平方的矛盾呢？）

師：1545年，卡爾丹在《大衍術(shù)》中寫道：“要把10分成兩部分，使二者乘積為40，這是不可能的，不過我卻用下列方式解決了：

師：1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾把這樣的數(shù)叫做“虛數(shù).1777年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在其論文中首次用符號(hào)“i”規(guī)定：i2=-1，稱i為虛數(shù)單位.新數(shù)i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：（1）i2=-1；（2）實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，并且原有的加法與乘法的運(yùn)算律仍然成立.

問題10 你還能寫出其他含有i的數(shù)嗎？

問題11 你能寫出一個(gè)形式，把剛才所寫出來的數(shù)都包含在內(nèi)嗎？

設(shè)計(jì)策略：這里設(shè)置的問題串，都是基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)上提出，而且對(duì)相同的內(nèi)容從不同的角度去思考，接地氣，學(xué)生容易理解、接受.通過“問題串”的設(shè)置，學(xué)生形成了認(rèn)知沖突；通過“問題串”的設(shè)置，引領(lǐng)了學(xué)生追溯歷史，提煉數(shù)系擴(kuò)充的原則；通過“問題串”的設(shè)置，幫助學(xué)生建立了新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓數(shù)學(xué)理論自然誕生在學(xué)生的思想中.

二、數(shù)學(xué)概念的形成過程中設(shè)計(jì) “問題串”，有助于學(xué)生對(duì)概念的理解

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為，概念的建構(gòu)應(yīng)該有四個(gè)重要環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}情境→學(xué)生活動(dòng)→意義建構(gòu)→數(shù)學(xué)理論.而根據(jù)維果茨基的理論，數(shù)學(xué)教學(xué)的高效就在于圍繞學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)出科學(xué)的問題.由此，利用“問題串”進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，這是符合新課改精神的，也應(yīng)該成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)的追求.

案例2“正切函數(shù)的圖像及性質(zhì)”教學(xué)，可以設(shè)計(jì)如下的“問題串”展示正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)形成過程：

問題1 我們是怎樣作出正弦函數(shù)的圖像的？

問題2 你能簡(jiǎn)單說出作正弦函數(shù)圖像的過程嗎？

問題3 為何先作這個(gè)區(qū)間上的圖像？

問題4 與正弦函數(shù)相比哪些地方需要修改？

問題5 你覺得作出正切函數(shù)的圖像要分幾步完成？

問題6 你能從正切函數(shù)圖象出發(fā)，討論它的性質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)策略：讓學(xué)生理解并作出正切函數(shù)圖像是本課的難點(diǎn)和重點(diǎn)，由于是學(xué)習(xí)了正余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)之后接觸的另一個(gè)函數(shù)，故設(shè)計(jì)上述“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生在不斷的對(duì)比、類比中將已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)遷移到新內(nèi)容中.同時(shí)，在解決問題的過程中，師生、生生討論交流合作，自然地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).某種意義上說，“問題串”就是整節(jié)課的“骨架”，而問題就應(yīng)該是設(shè)置在其最重要的“關(guān)節(jié)”處，具有較強(qiáng)的指向性、探究性、啟發(fā)性和階梯性.

三、探索數(shù)學(xué)的規(guī)律時(shí)設(shè)計(jì)“問題串”，提高探究能力

從數(shù)學(xué)的發(fā)展看，它本身也是充滿著觀察與猜想的探索活動(dòng).許多數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式、法則的發(fā)現(xiàn)都經(jīng)歷了一個(gè)艱苦曲折的思維推理過程，教師應(yīng)充分挖掘向?qū)W生展現(xiàn)“做數(shù)學(xué)”的過程.探索型問題串能較好地幫助教師引領(lǐng)學(xué)生參與此過程.探索型問題串的設(shè)計(jì)主要圍繞定理、法則、和公式的發(fā)生、形成、發(fā)展三個(gè)過程展開，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、動(dòng)手操作、比較分析、猜想歸納，在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)數(shù)學(xué)，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，提高探索能力，體味到數(shù)學(xué)的無窮魅力，以此促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

案例3“函數(shù)的零點(diǎn)存在定理”教學(xué)，可以設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的“問題串”：

如圖，課前準(zhǔn)備一根細(xì)繩（細(xì)繩兩端記為A和B）、一支小棒.

問題1 細(xì)繩和小棒何時(shí)有交點(diǎn)？

問題2 若將小棒視為軸，細(xì)繩視為函數(shù)的圖像，能否將問題1中的結(jié)論用數(shù)學(xué)語言描述？

問題3 若細(xì)繩兩端在棒的同側(cè)（異側(cè)），那么細(xì)繩和小棒的交點(diǎn)有幾個(gè)？你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？能否用數(shù)學(xué)語言描述出來？

問題4 在什么樣的條件下，細(xì)繩和小棒有且僅有一個(gè)交點(diǎn)？

問題5 根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn)操作，研究y=x4+2x3-2x2-2x的圖象，并驗(yàn)證結(jié)論的正確性.

設(shè)計(jì)策略：本案例中五個(gè)問題由動(dòng)手操作到進(jìn)一步的追問，使學(xué)生從單純的動(dòng)手操作引向有意義的思考，再使之抽象到坐標(biāo)系中，鼓勵(lì)學(xué)生比較分析、大膽歸納，最后問題4的追問告訴學(xué)生要得到可靠的結(jié)論，需要邏輯的嚴(yán)格證明，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，而問題5則是鞏固和運(yùn)用性質(zhì).五個(gè)問題以“為什么探究邊性質(zhì)→怎么探究→結(jié)論是什么→依據(jù)是什么→結(jié)論的推論是什么”為主線步步深入緊緊圍繞性質(zhì)的發(fā)生、形成、發(fā)展進(jìn)行設(shè)計(jì)融合成一個(gè)整體.通過搭建“適切”的、腳手架式的5個(gè)問題串，一步一步、環(huán)環(huán)相扣、由淺入深，在“最近發(fā)展區(qū)”讓學(xué)生處于“跳一跳”摘到了“桃子”的狀態(tài)，達(dá)到“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開面費(fèi)達(dá)”的境界.

四、探究解決問題的方法時(shí)設(shè)計(jì) “問題串”，拓寬學(xué)生的思路

問題串教學(xué)讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)走向自主、合作與開放.通過問題變式，提出恰當(dāng)?shù)?，?duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的問題，可引導(dǎo)學(xué)生思考和開展探究活動(dòng)；同時(shí)它能激發(fā)學(xué)生最大限度地來體驗(yàn)與參與發(fā)現(xiàn)、設(shè)計(jì)創(chuàng)新，形成一種積極、主動(dòng)、探究的高效學(xué)習(xí)方式，在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中會(huì)產(chǎn)生許多有價(jià)值的生成性資源，有利于學(xué)生探究能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，提高解決問題的能力.

案例4“求數(shù)列的通項(xiàng)公式”教學(xué)，設(shè)計(jì)求解數(shù)列通項(xiàng)公式的問題串：

基于學(xué)生學(xué)習(xí)了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以后，專門探究求數(shù)列的通項(xiàng)公式的題型與方法.

例題 已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2+1，求通項(xiàng)an.

問題1 已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若log2（Sn+1）= n+1，求an.

問題2 已知數(shù)列｛an｝中，若2n+5，求an.

問題3 已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，n≥2時(shí)，有a1·a2·…· an=n2，求a3+a5.

問題4 已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，an+1-an=2n，求an.

問題5 已知數(shù)列｛an｝中，a1=2，Sn=n2an，求an.

問題6 已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，n≥2時(shí)，an=3an-1+2，求an.

設(shè)計(jì)策略：本課例的問題串設(shè)計(jì)，以最基礎(chǔ)的例題為出發(fā)點(diǎn)，通過改變已知條件，設(shè)置不同情境下的問題串，從而引出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的六種常規(guī)方法，讓學(xué)生在在實(shí)際操作中獲取知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的比較、分析、綜合、歸納等能力，養(yǎng)成歸納反思的好習(xí)慣.變式型“問題串”主要以教科書中例、習(xí)題為對(duì)象，在保持原題本質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸拓展，通常變換條件或結(jié)論或因果關(guān)系倒置.通過變式型問題串的訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)某一孤立、零散的問題形成有規(guī)律可循的一系列問題，對(duì)所學(xué)知識(shí)舉一反三、觸類旁通，從而提高課堂教學(xué)的有效性.

五、糾錯(cuò)過程中設(shè)計(jì)“問題串”，增加學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的“免疫力”

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤是不可避免的，它往往能暴露學(xué)生的真實(shí)想法，反映學(xué)生的思維過程，包含著有價(jià)值的成分.教師若能善于發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤背后隱藏的價(jià)值，巧用典型錯(cuò)誤，通過設(shè)計(jì)“問題串”，變換問題的條件和結(jié)論，變換問題的形式，而不變換問題的本質(zhì)，使學(xué)生更容易看清問題的本質(zhì).

案例5 針對(duì)學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)題：“已知a∈R，若任意的x∈（0，+∞），都有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則實(shí)數(shù)a的取值集合是______.”設(shè)計(jì)以下問題串以求解決這類問題的通法：

學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，在給學(xué)生解決方法后可以設(shè)計(jì)一下問題串，幫助學(xué)生進(jìn)一步的理解.

問題1 已知（2ax-1）lnx≥0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值集合是________.

問題2 已知t＞0，若任意的x∈（0，+∞），不等式txlnx+20lnt≥txlnt+20lnx恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值集合是_________.

問題3 已知t＞0，若任意的n∈N*，不等式ntlnn+ 20lnt≥ntlnt+20lnn恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值集合是_________.

通過對(duì)4個(gè)問題的練習(xí)與講解，使學(xué)生對(duì)這類題的本質(zhì)的了解更加全面，在應(yīng)對(duì)高考過程中真正地做到了未雨綢繆.波利亞說：當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長(zhǎng)的，問題串就是那成群生長(zhǎng)的蘑菇.設(shè)計(jì)“問題串”的目的是幫助學(xué)生在跳出題海的同時(shí)對(duì)所學(xué)的知識(shí)能夠融會(huì)貫通，從而達(dá)到學(xué)習(xí)的優(yōu)效、高效，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

好的問題是一堂成功的數(shù)學(xué)課的重要組成部分，成功的問題串設(shè)計(jì)可以打開學(xué)生學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.作為一線教師，我們要經(jīng)常反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，精心設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)教學(xué)的“問題串”，不斷追求問題串的精湛、精準(zhǔn)，讓學(xué)生在獲取知識(shí)的同時(shí)增長(zhǎng)能力，真正提高課堂教學(xué)效率與質(zhì)量.