江蘇省如皋市高新區(qū)實驗初中 程紅衛(wèi)

因果之間求發(fā)散
——例談初中幾何解題實踐中發(fā)散思維的培養(yǎng)

江蘇省如皋市高新區(qū)實驗初中 程紅衛(wèi)

發(fā)散思維也叫作求異思維，是通過對信息的了解與分析，向著不同的方向探索多樣化解決問題途徑的思維過程，從而開拓學(xué)生的思路、培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與變通性，在創(chuàng)造性思維中占有重要地位。初中數(shù)學(xué)中的幾何教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的良好載體，在不斷向外擴展的過程幫助學(xué)生在嘗試摸索、反復(fù)變通中鍛煉數(shù)學(xué)思維能力。

一、執(zhí)因求果，在一題多解中培養(yǎng)發(fā)散興趣

在初中數(shù)學(xué)幾何解題實踐中，學(xué)生思維僵化、循規(guī)蹈矩且缺乏活力是培養(yǎng)發(fā)散思維的主要障礙，因此激發(fā)學(xué)生對于新方法的認知熱情、對新思路的探究欲望，就成為培養(yǎng)發(fā)散思維的首要環(huán)節(jié)。一題多解通過啟發(fā)學(xué)生依據(jù)已知條件，從不同角度、不同途徑解答同一道數(shù)學(xué)問題，從而多方面地獲取該問題的正確結(jié)論，能夠讓學(xué)生的思維在各種新穎思路逐一展現(xiàn)的過程中，變得活躍起來；同時，在執(zhí)因求果的多樣化解答中，會促動學(xué)生進行主動交流、積極合作，在個體智慧的碰撞中得到各知識點之間的有效整合。

如在進行“添加輔助線”這一專項練習(xí)指導(dǎo)過程中，教師出示下題：

如圖①，在四邊形ABCD中，已知∠A=60°、

∠B=∠D=90°，BC=2、CD=3，求AB的長度。

通過組織學(xué)生分組討論和集體匯報，學(xué)生從不同角度進行了思考，得出如下多種解法：

解法一：如圖②，延長AB、CD交于F；解法二：如圖③，延長AD、BC交于F；解法三：如圖④，分別過點B、C作BE⊥AD、CF⊥BE……隨著解法越來越多，學(xué)生的熱情愈發(fā)高漲，在一題多解中喚起強烈的發(fā)散興趣，加深了有效添加輔助線這一幾何解題策略的認知水平。

二、倒果為因，在角度轉(zhuǎn)換中拓展發(fā)散思路

培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，可以通過“反向推理”、“倒過來想”等倒果為因的舉措，實現(xiàn)正向思維與逆向思維之間的互補，不但促進了學(xué)生幾何解題策略的靈活性，更因為思維的雙向互通，促進他們對于幾何相關(guān)概念、定理以及公式的全面理解，形成完整、立體的知識印記。

如在指導(dǎo)學(xué)生解答下題時，教師就采用了逆向思考的方式拓展學(xué)生的發(fā)散思路：如右圖（圖⑤），一張長方形紙片ABCD，沿對角線AC把△ACD翻至△ACD'，AD'與BC相交于點E，判斷△AEC的形狀并說明理由。

通過教師啟發(fā)，學(xué)生倒果為因展開思考：如果△AEC是等腰三角形，則∠EAC=∠ECA即可，而△ACD'是△ACD沿AC翻折的，可知∠DAC=∠EAC，同長方形紙片ABCD可得AD∥BC,則有∠DAC=∠ECA,所以∠EAC=∠ECA,△AEC為等腰三角形；如果是等腰直角三角形，∠AEC=∠ABE+∠BAE,而∠ABE=90°，∠AEC不可能是90°，所以不可能是等腰直角三角形；等邊三角形呢？條件不成立。通過這樣的梳理，幫助學(xué)生逆向思想理順了思路。

三、知果索因，在變式引申中提升發(fā)散能力

變式練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的組成部分，是學(xué)生鞏固既有認知、鍛煉實踐能力的重要途徑，對于提升發(fā)散能力更是具有積極的推動作用。通過對同一類型的題目進行引申和變換，變化其非本質(zhì)特征而保留本質(zhì)特征，讓學(xué)生從不同的層面和不同的角度知果索因，圍繞著其中“變”與“不變”展開分析和思考。教師可以改變題目的條件、替換題目的結(jié)論以及轉(zhuǎn)換題目的情境等多種變式方法，引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)探究中深化對于基本知識的理解和基礎(chǔ)技能的掌握，使得他們的發(fā)散能力得以有效提升。

如教師在指導(dǎo)解答下題時，運用了變式的方法提升學(xué)生發(fā)散思維能力：如下圖（圖⑥），已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG。求證：EG=CG。

變式一：將圖⑥中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖⑦所示，取DF中點G，連接EG，CG。EG=CG的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

變式二：將圖⑥中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖⑧所示，再連接相應(yīng)的線段，問原結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論。

四、收因結(jié)果，在梳理建構(gòu)中鞏固發(fā)散成果

歸納和梳理是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必備的一項基本素質(zhì)，也是他們實現(xiàn)自我建構(gòu)的必經(jīng)之路，通過將分散、零碎的知識點進行分類和總結(jié)，從而形成一套適合他們個體使用的知識網(wǎng)絡(luò)。這不但是對于幾何解題練習(xí)中發(fā)散思維成果的鞏固，更為他們后繼數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了可持續(xù)發(fā)展的基石。

如在“證明兩條直線互相平行”的復(fù)習(xí)整理中，教師指導(dǎo)學(xué)生展開回顧，將相關(guān)內(nèi)容整理如下：①垂直于同一直線的兩條直線平行；②同位角相等（或內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補），兩條直線平行；③平行四邊形的對邊平行；④三角形的中位線平行于第三邊；⑤梯形的中位線平行于梯形的兩底；⑥平行于同一直線的兩條直線平行……幫助學(xué)生在解答此類問題時，做到心中有底、腦中有法。

發(fā)散性思維以其積極性、求異性、廣闊性、聯(lián)想性等，對于初中幾何教學(xué)效率的提升和效果的彰顯具有重要意義，每一個初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作者都應(yīng)當(dāng)給予足夠的重視，以此與諸君共勉。