江蘇省常州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 周 琦

有的放矢地消元
——淺談二元一次方程組解法的優(yōu)化

江蘇省常州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 周 琦

解二元一次方程組常用的方法有代入消元法和加減消元法，這兩種方法都是通過(guò)先消去方程中的一個(gè)未知數(shù)將解二元一次方程組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題。那么，選擇消去哪個(gè)未知數(shù)，用什么方法消元，直接消元還是間接消元，這些問(wèn)題都影響著解題的速度和準(zhǔn)確率。現(xiàn)通過(guò)舉例的方式分類說(shuō)明如何更有效地解二元一次方程組。

一、直接消元

解析：不要急于解題，先觀察題目特征，我們發(fā)現(xiàn)：方程①中x的系數(shù)為1，y的系數(shù)為4，方程②中x的系數(shù)為2，y的系數(shù)為－3。方程①中x的系數(shù)最簡(jiǎn)單，我們可以首先選擇變形方程①，用含有y的代數(shù)式表示x，再將這個(gè)代數(shù)式代入方程②，采用代入消元法。同時(shí)，我們也發(fā)現(xiàn)方程②中x的系數(shù)是方程①中x的系數(shù)的2倍，我們可以將方程①乘以2減去方程②，消去未知數(shù)x，采用加減消元法。

法一：代入消元法

解：由①得：x=-4y-1 ③

將③代入②得：2（-4y-1）-3y=9

解得：y=-1

將y=-1代入③得：x=3

法二：加減消元法

解：①×2得：2x+8y=-2 ③

③－②得： 11y=-11

解得：y=-1

將y=-1 代入①得：x=3

點(diǎn)評(píng)：代入消元法和加減消元法在解決例1的過(guò)程中都顯得靈巧便捷，都是不錯(cuò)的選擇。

二、間接消元

解析：當(dāng)你看到例3有沒(méi)有覺得心跳加速，血壓升高？選擇代入消元法，那巨大的分母，可怕！選擇加減消元法，若先統(tǒng)一y前的系數(shù)，面對(duì)23×17、63×23、57×17，再進(jìn)行加減計(jì)算，我們那薄弱的計(jì)算能力面臨嚴(yán)峻考驗(yàn)。一遍算對(duì)也罷，若檢驗(yàn)出錯(cuò)，從何找錯(cuò)，簡(jiǎn)直不堪回首。一個(gè)字“煩”！有沒(méi)有簡(jiǎn)單有效的方法呢，請(qǐng)耐心仔細(xì)再審題。x，y的系數(shù)雖然大但是非常有規(guī)律，方程①中的系數(shù)等于方程②中的系數(shù)，方程②中的系數(shù)等于方程①中的系數(shù)。將方程①－②，方程①＋②，是不是出現(xiàn)了很神奇的效果？

解：①－②得：6x-6y=6

即：x-y=1 ③

①＋②得：40x+40y=120

即：x+y=3 ④

③＋④得：2x=4

解得：x=2

④－③得：2y=2

解得：y=1

點(diǎn)評(píng)：例2中雖然x，y的系數(shù)比較大，但是經(jīng)過(guò)觀察分析，很有規(guī)律.我們不急著使用代入法或者加減法消去其中一個(gè)未知數(shù)，而是通過(guò)方程①－②，方程①＋②，將原方程轉(zhuǎn)化為x，y的系數(shù)簡(jiǎn)單的同解方程，這種方法稱之為間接消元。通過(guò)間接消元，方程組的計(jì)算量大大減少，錯(cuò)誤率也隨之降低。

解析：例3中未知數(shù)的系數(shù)比例2更大，若采用常規(guī)的代入法或者加減法，計(jì)算更復(fù)雜。但我們有了解決例3的經(jīng)驗(yàn)，分析例3的角度隨之發(fā)生變化，我們不再臉紅心跳，而是淡定從容。我們嘗試方程①－②，方程①＋②，又會(huì)有怎樣新的發(fā)現(xiàn)呢？

點(diǎn)評(píng)：我們嘗試沿用例3的方法：方程①－②，方程①＋②。發(fā)現(xiàn)①－②得：x+y=1③，①＋②得：4037x+4033y=4029④。方程④的系數(shù)更復(fù)雜沒(méi)有達(dá)到簡(jiǎn)化方程的效果，但①－②得到x,y之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，我們?cè)儆脁表示y，或者y表示x，代入消元；也可以變形方程③加減消元，這個(gè)系數(shù)復(fù)雜的二元一次方程組就迎刃而解了。

如何有的放矢地消元？要解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是分析二元一次方程組的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇突破口。當(dāng)二元一次方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1或－1時(shí)，常用代入消元法；當(dāng)二元一次方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等、互為相反數(shù)、倍數(shù)關(guān)系或不存在任何特殊化簡(jiǎn)關(guān)系時(shí)，不妨使用加減消元法；當(dāng)二元一次方程組中的兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)復(fù)雜貌似毫無(wú)規(guī)律，但兩個(gè)方程通過(guò)調(diào)整未知數(shù)的系數(shù)整體加減，化簡(jiǎn)得到未知數(shù)之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，就不直接消元，采用間接消元的方法先化簡(jiǎn)得到未知數(shù)之間的簡(jiǎn)單特殊關(guān)系，再應(yīng)用代入法或加減法消元。消元法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常用且重要的思想方法——轉(zhuǎn)化思想，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將二元一次方程組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元一次方程的問(wèn)題。間接消元?jiǎng)t將看似無(wú)規(guī)律且復(fù)雜的二元一次方程組問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有規(guī)律且簡(jiǎn)單的同解二元一次方程組問(wèn)題。只要準(zhǔn)確把握二元一次方程組的特點(diǎn)，一定可以優(yōu)化二元一次方程組的解法！