江蘇省泗陽經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)學(xué)校 劉小艷

對(duì)二次函數(shù)中巧用軸對(duì)稱性解決線段和最小值問題的一些思考

江蘇省泗陽經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)學(xué)校 劉小艷

在蘇科版八上《軸對(duì)稱圖形》一章中學(xué)習(xí)過利用軸對(duì)稱性解決線段和差最值問題，尤其是最小值問題屢見不鮮，而二次函數(shù)中也常出現(xiàn)這類問題。在此，就利用軸對(duì)稱性解決二次函數(shù)中線段和最值問題進(jìn)行探討。

一、兩條線段之和的最小值

例1：如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，AB=2，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=2。

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長(zhǎng)的最小值；

分析：

（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的定義易求A（1，0），B（3，0）。所以1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根。由韋達(dá)定理易求b、c的值；

（2）如圖，連接AC、BC，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA。根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)得到PA=PB，則△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來求該三角形的周長(zhǎng)的最小值即可；

解：（1）∵AB=2，對(duì)稱軸為直線x=2。

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）。

∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，

∴1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根。

由韋達(dá)定理，得

1+3=-b，1×3=c，

∴b=-4，c=3，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3；

（2）連接AC、BC，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA。

由（1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），

此時(shí)，PB+PC=BC。

二 、三條線段之和的最小值

（1）求拋物線的解析式。

（2）拋物線的對(duì)稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E，是否存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：

（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=，αβ=-2，進(jìn)而代入求出m的值即可得出答案；

（2）利用軸對(duì)稱求最短路線的方法，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，得出四邊形DNME的周長(zhǎng)最小為：D'E'+DE，進(jìn)而利用勾股定理求出即可；

解：（1）由題意可得：α，β是方程-mx2+4x+2m=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，

解得：m=1，

故拋物線解析式為：y=-x2+4x+2；

（2）存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使得四邊形DNME的周長(zhǎng)最小，∵y=-x2+4x+2=-（x-2）2+6，∴拋物線的對(duì)稱軸l為x=2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2，6），又∵拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，2），點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于l對(duì)稱，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2），

作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，

則D'的坐標(biāo)為；（-2，6），E'坐標(biāo)為：（4，-2），

連接D'E'，交x軸于M，交y軸于N，

此時(shí)，四邊形DNME的周長(zhǎng)最小為：，如圖1所示：延長(zhǎng)交于一點(diǎn)F，在Rt△中，=8，

設(shè)對(duì)稱軸l與CE交于點(diǎn)G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，

由上面兩個(gè)例題我們總結(jié)出一條規(guī)律：在二次函數(shù)中求線段和最小值時(shí)，可以把一條線段轉(zhuǎn)換成與它對(duì)稱的線段，從而利用兩點(diǎn)之間線段最短求出線段和的最小值。