江蘇省啟東市呂四中學(xué) 周 華

例談充分必要條件法解決數(shù)學(xué)問題的途徑

江蘇省啟東市呂四中學(xué) 周 華

偵探小說愛好者熟知千篇一律的情節(jié)，把懷疑的范圍逐步縮小，最后偵探發(fā)現(xiàn)了罪犯。事實上，解數(shù)學(xué)題也存在著類似的情況，我們在解數(shù)學(xué)題時經(jīng)常用到"充要條件"(即等價轉(zhuǎn)化)，但卻很少注重“充分條件”和“必要條件”的應(yīng)用，本文旨在通過幾例說明“必要條件”在解題中的應(yīng)用，先求出使得命題成立的“必要條件”，再由題設(shè)進(jìn)一步求出使得命題成立的“充要條件”，從而解決問題。

必要條件；充要條件；定義域；充分條件；等價轉(zhuǎn)化

我們在平常的教學(xué)中可以看到，大部分學(xué)生對充分條件和必要條件的理解普遍感到十分困難，抓不住它的本質(zhì)。雖然江蘇省高考數(shù)學(xué)考試說明中對這部分內(nèi)容的要求不是太高，但它作為一種數(shù)學(xué)的解題思想，對培養(yǎng)學(xué)生理解問題和解決問題的能力是有很大用處的。

定義2：理解“充分”，“必要”詞語的含義并定性地判斷關(guān)系?！俺浞帧毕喈?dāng)于“有我便已足夠，無需其他”；“必要”相當(dāng)于“沒它不行，但唯有它也未必行”。

眾所周知，等價轉(zhuǎn)化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中的作用往往體現(xiàn)在化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，并且通過等價轉(zhuǎn)化得到的結(jié)論是不需要檢驗的。

但在數(shù)學(xué)解題中，有很多情形不易、不宜，甚至是不可能進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，這時只有“退而求其次”，可以考慮用非等價轉(zhuǎn)化的方法來解題，常見的方法有“先必要后充分”和“先充分再必要”，本文主要談?wù)勏日页鍪菇Y(jié)論成立的必要條件，然后再驗證其充分性。

一、運用充分必要條件法解決數(shù)列與不等式的綜合問題

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個重要的內(nèi)容，也是歷年高考、競賽的常見題型，近幾年江蘇高考題很喜歡把數(shù)列定義成為壓軸題，用來拉開分?jǐn)?shù)，選拔人才。呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題，特別是與不等式的綜合是教學(xué)的難點，往往入手比較困難，不容易想到解題思路，有時還會出現(xiàn)運算量比較大的情況，所以在此類問題中巧妙運用充分必要條件的解題思想往往會給解題帶來方便。

這個不等式不能解，如果硬做，只能通過取值一個一個進(jìn)行嘗試可以得到答案，但是需要花的時間太長，在考試時很難算到答案。

故可以判斷最大正整數(shù)n的值為12。

評注：此類問題，若按數(shù)列的基本思路循規(guī)蹈矩，即用等比數(shù)列的通項公式求出這個數(shù)列的通項公式代入不等式兩邊，然后解不等式。思路簡單、清晰，學(xué)生容易上手，但由于化簡得到的不等式較大，屬于不可解的不等式，代入檢驗的運算過程復(fù)雜，計算量大，需要學(xué)生有足夠的耐心和細(xì)心，一般學(xué)生很難解到最終的結(jié)果（具體解法略），但若能找到其必要條件把它配成可以解的不等式也許能很快找到結(jié)論。

二、運用充分必要條件解決含參數(shù)不等式恒成立問題

函數(shù)的基礎(chǔ)性強，特征性明顯，是高中數(shù)學(xué)教材中非常重要的部分，也是學(xué)生普遍覺得比較頭疼的問題。習(xí)題中對函數(shù)的考查也是必不可少的，而函數(shù)的單調(diào)性，有關(guān)函數(shù)的不等式恒成立問題是考查的一個重點和熱點內(nèi)容。我們平常接觸的解決含有參數(shù)不等式恒成立的問題大概分成如下幾種：1.分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題；2.直接轉(zhuǎn)化為最值問題；3.數(shù)形結(jié)合法。以上三種解法是幾種常用的基本方法，但是有些題目因為分離參數(shù)之后的函數(shù)表達(dá)式太大，導(dǎo)致到后面最值求不出來，從而得不到最終的結(jié)論。但如果能找到不等式成立的必要條件探索出參數(shù)的值，然后驗證其充分性也許會事半功倍。

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

（2）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時，，求k的最大值。

當(dāng)a≤0，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）。

當(dāng)a＞0函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，lna），增區(qū)間為（lna，+∞）。

（2）當(dāng)a=1，。 得到，代入不等式

這個時候直接求函數(shù)的最小值比較困難，轉(zhuǎn)而先找不等式恒成立的必要條件：

不等式對于x=1恒成立

然后驗證當(dāng)k=2，在x＞0恒成立。

利用導(dǎo)數(shù)，可得函數(shù)g（x）在（0，1）為增函數(shù)，在（1，+∞）為減函數(shù)。

所以k=2,在x＞0恒成立。所以k的最大值為2。

評注：此類問題，用導(dǎo)數(shù)求解一類參數(shù)取值范圍或最值的問題在高考中很常見，而本題用常規(guī)的等價轉(zhuǎn)化即分離常數(shù)再求相應(yīng)函數(shù)的最值難以求解，而解答方法——“先必要后充分”是一種容易掌握的好方法。函數(shù)導(dǎo)數(shù)的大題往往放在最后兩個題中，如果能夠掌握這種方法，就可以在高考中取得明顯的優(yōu)勢。

化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，也是高考重點考查的方法之一。而大多數(shù)考題或者是大家的解題習(xí)慣多是實施等價轉(zhuǎn)化，即尋找題目求解的充要條件，很少涉及不等價轉(zhuǎn)化。以上幾道例題都有一定難度，而善于利用尋找必要條件，可以達(dá)到化繁為簡，化難為易，避免了分類討論，實現(xiàn)大題小做。因此，利用必要條件解題，可以縮小參數(shù)范圍，開闊解題思路，優(yōu)化解題過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。