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        淺談“條件概率”教學設計

        2016-12-27 16:42:31陳曉婕
        課堂內外·教師版 2016年12期
        關鍵詞:樣本空間概型紅球

        陳曉婕

        【摘 要】 條件概率是高中概率教學的一個難點,學生難懂,教師難教,其教學引起了教師們的重視,諸多研究正逐步展開. 其中,王志軍老師的《“條件概率”教學設計》一文從實踐層面,給出了這一內容教學的諸多建議,頗有價值. 筆者根據(jù)其建議,結合自己的教學實踐,再深入談談對條件概率教學設計的三點建議,以就教于同行.

        【關 鍵 詞】 條件概率;幾何概型;古典概型

        一、設置情境,引入概念

        學生在必修三已經(jīng)學習過古典概型和幾何概型的概念,能夠準確理解隨機試驗、隨機事件的含義,并且能夠靈活運用分類或分步原理求解事件包含的基本事件的個數(shù),這為本節(jié)學習條件概率做好了知識準備. 但條件概率對于學生是一個全新的概念,根據(jù)隨倩倩老師的研究《評估學生條件概率學習的困難》發(fā)現(xiàn),學生在對條件概率的理解上存在許多錯誤的認知,如“因果偏見”、“時間順序偏見”、混淆P(AB)和P(AB)、混淆限制條件等[1]. 因此針對學生出現(xiàn)的問題,本文主要從“條件概率”教學中易出現(xiàn)的三個問題入手,再次深入探討了三個問題的解決方法.

        從教師的角度分析,本節(jié)教學易出現(xiàn)如下問題:

        1. 推導條件概率公式化定義的過程并不完備,此處王志軍老師也有提出,單純從古典概型角度的闡述會略去對幾何概型條件概率的研究[2];

        2. 僅指出0≤P(AB)≤1,教師可對P(AB)=0和1的特殊情況做適當處理,加深學生的理解;

        3. 缺少對條件概率本質的闡述和直觀的圖形認識,抓不住概念的本質.

        對此,教師可以根據(jù)新課程的要求,創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境,使學生參與到解決數(shù)學問題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的活動中去,經(jīng)歷條件概率公式產(chǎn)生的過程. 例如:

        例1:箱子里有紅、黃、白三個小球,現(xiàn)由甲、乙2名同學依次無放回地摸球,問乙同學摸到紅球的概率是多少?

        解:B=“乙同學摸到紅球”,則所有可能發(fā)生的結果記為Ω{白紅,白黃,紅白,紅黃,黃白,黃紅}.

        由古典概型,得P(B)

        問題1:如果已知甲沒有摸到紅球,那么乙摸到紅球的概率又是多少呢?

        我們分析問題1,已知甲在沒有摸到紅球的條件下去求乙摸到紅球的概率,這就是一個條件概率問題. 現(xiàn)在給出條件概率定義.

        定義:一般地,若有兩個事件A、B,已知在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,記做:P(AB).

        問題1 (方法一)

        解:設事件A=“甲沒有摸到紅球”,事件B=“乙摸到紅球”,則A={紅白,紅黃,黃白,黃紅}為我們所要研究的對象.

        一方面,由古典概型,P(BA)

        另一方面,由古典概型P(AB),代入上式,得到一個與計數(shù)無關的更為一般的公式:

        這個公式就是條件概率公式,其中P(AB)表示事件AB同時發(fā)生的概率. 因此問題1還可以直接用條件概率公式求解.

        問題1 (方法二)

        說明:在問題1的方法二中,我們用條件概率公式 P(BA)=進行解答,清晰明了,言簡意賅,不僅加深學生對概念的理解,而且激發(fā)學生對條件概率公式靈活應用. 接下來我們再來看一個例題:

        例2:如圖1,邊長為3的大正方形被平均分成9個部分,向大正方形內隨機投擲一個點(投中且不考慮邊界),記為Ω,設投中左上角的小正方形為事件A,投中陰影部分為事件B,求P(B)和P(BA).

        另一方面,在幾何概型中,若以m(A),m(AB)分別記事件A,AB所對應點集的測度(包括長度、面積和體積),且m(A)>0,則有P(AB)=,P(A)=.

        同樣得到P(BA)

        在一般情況下,我們把這個算式作為條件概率的定義.

        一般地,設A、B為兩個事件,P(A)>0,稱P(BA)=為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率.

        說明:問題的設置是為了使學生產(chǎn)生“心理缺口”,激發(fā)對本節(jié)的學習興趣. 同時,引例“摸球”來源于教材,做出改編的目的是為了避免“X1X2Y、X2YX1、YX1X2”等符號的干擾,給學生更加清晰直觀的認識. 從古典概型和幾何概型兩個方面進行歸納,引出條件概率的概念,目的是使學生體會公式的合理性.

        二、抓住本質,深入理解

        問題2:為什么P(B)≠P(BA)呢?

        從韋恩圖的角度,這個公式可以理解為:已知樣本點落在了A中(事件A已經(jīng)發(fā)生),求落在B中(事件B發(fā)生)的概率. 由于樣本點已經(jīng)落在A中的條件下,又要落在B中,故要落在AB中(即事件AB發(fā)生).

        在這種觀點的理解下,原來的樣本空間Ω縮減成為了事件A所對應的樣本空間,原來事件B所對應的樣本空間縮減成為了事件AB所對應的樣本空間.[3]

        可見,P(BA)與積事件P(AB)是不一樣的,且P(BA)=.

        P(B)≠P(BA)的原因是樣本空間發(fā)生了變化.

        問題3:樣本空間縮小后,P(BA)一定會大于P(B)嗎?

        例3:(2011年湖南卷)如圖3,EFGH是以O為圓心,半徑為1的圓的內接正方形.

        將一顆豆子隨機地扔到該圖內,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內”,則

        說明:問題3的設置是為了糾正學生常見的認知錯誤,即認為樣本空間縮減后的概率就一定會變得比原來大. 但事實上,P(BA)不一定大于P(B),搞清樣本空間的變化才是把握條件概率的關鍵.

        【參考文獻】

        [1] 隨倩倩. 評估學生條件概率學習的困難[D]. 上海:華東師范大學,2012.

        [2] 王志軍. “條件概率”教學設計[J]. 中小學數(shù)學,2012(6):34-36.

        [3] 朱賢良. 把握“縮減樣本空間”突破條件概率難點[J]. 河北理科教學研究,2015(1):40-42.

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