●臧 華 (姜堰區(qū)蔣垛中學(xué) 江蘇泰州 225503)

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例析習(xí)題課教學(xué)的生成性策略

●臧 華 (姜堰區(qū)蔣垛中學(xué) 江蘇泰州 225503)

習(xí)題課教學(xué)并不是簡單的講評習(xí)題，要注重發(fā)掘習(xí)題本身的潛在價(jià)值和課堂上師生互動產(chǎn)生的生成性資源，比如對學(xué)生錯題的點(diǎn)評和一題多解、一題多變的拓展等等.

生成;糾錯;一題多解;一題多變

對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，向?qū)W生傳授預(yù)設(shè)的知識和解題方法很重要，但是動態(tài)的師生活動產(chǎn)生的生成性資源也不能被忽視.下面通過對3道習(xí)題的處理談?wù)勆尚哉n堂教學(xué)的策略.

策略1 發(fā)掘“錯誤”資源，發(fā)揮“示錯”功能

學(xué)生“出錯”是教學(xué)過程中隨機(jī)出現(xiàn)的偶然現(xiàn)象，它一般通過學(xué)生板演、課后問問題暴露出來或者教師批改作業(yè)過程中發(fā)現(xiàn)，如果稍加利用，也許“由暗變明升境界”.

師：請大家看看這道題該怎么處理？

教師在教室巡視，沒有找到正確的解法，投影展示幾位學(xué)生的解法：

從而z的最小值是4.

從而z的最小值是4.

師：這3種解法各異，誰對誰錯，如果錯了，到底錯在哪里？大家討論一下.

生5：令t=xy,則

師：哪位同學(xué)小結(jié)一下，在應(yīng)用基本不等式解題時需要注意哪些問題？

生6：注意“一正二定三相等”,尤其是“當(dāng)且僅當(dāng)”是否與條件矛盾.

師(繼續(xù)追問)：如果矛盾呢？

生6：可以換元后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.

評注 學(xué)生“出錯”，教師臉上不需要“烏云密布”，錯誤往往是正確的先導(dǎo)，有時候“示錯”是一種教學(xué)機(jī)智[1]，“糾錯”更能“守得云開見月明”.

策略2 注重一題多解，生成思維通道

在課堂上，不同的學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)、思考角度、審題方向等不同，同一道題目會出現(xiàn)各種解法的碰撞，這是解題過程中自然發(fā)生的現(xiàn)象，我們在教學(xué)過程中如果能合理引導(dǎo)、善加開發(fā)，不僅能使之成為新的可利用的資源，更能培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題的習(xí)慣.

生1：以F1F2為直徑構(gòu)圓，圓的半徑r=c=3<4=b，即圓與橢圓無交點(diǎn).

師：你是從什么角度思考的？

師：還有其他方法嗎？

生2：由題可知

而在橢圓中,

12>16不可能成立,因此不存在.

師：依然是觀察焦點(diǎn)三角形的特征，發(fā)現(xiàn)短軸端點(diǎn)處∠F1PF2最大，還有其他方法嗎？

生4：設(shè)P(5cosθ,4sinθ)，由PF1⊥PF2知

而

即

因此不存在.

師：設(shè)參數(shù)方程處理，未知數(shù)變少了，還有其他方法嗎？

生5：設(shè)∠PF1F2=θ，則

PF1⊥PF2,

于是

師：你的想法很富創(chuàng)意，結(jié)合了直角三角形的特征和橢圓的第一定義處理，還有其他方法嗎？

生6：設(shè)P(x0,y0),由焦半徑知

因?yàn)镻F1⊥PF2,所以

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,

即

得

不符合題意，因此不存在.

師：你結(jié)合了勾股定理和橢圓的第二定義處理，想法奇妙，是否還有其他方法？

師：采用了代數(shù)法處理垂直問題，二元二次方程組解的個數(shù)對應(yīng)點(diǎn)P的個數(shù).

評注 處理解析幾何問題一般有2個角度：1)用解析法(坐標(biāo)法，參數(shù)法)處理垂直問題;2)用幾何法(角、邊、面積)處理垂直問題.但本題思考的方向有很多：由因索果、由果索因、知識范疇、結(jié)構(gòu)特征、圖形特征、方程的思想等等.問題雖然簡單，但是解法別開生面，帶動了很多知識的生成.一題多解既要關(guān)注正確的解題方法，又要能揭示出得出解法的思維歷程，這樣才能促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提升[2].

策略3 利用一題多變，生成本質(zhì)結(jié)論

前蘇聯(lián)教育家奧加涅相說過：很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性，這個過程顯然在擴(kuò)大學(xué)生解題的“武器庫”[3].在教學(xué)過程中，對原型題稍加引申、拓廣，不但能夠幫助學(xué)生認(rèn)識新舊題型的架梯結(jié)構(gòu)，又能夠促進(jìn)學(xué)生思維水平的提高.

證明 該函數(shù)定義域?yàn)镽，且

f(-x)+f(x)=

從而

f(-x)=-f(x),

因此該函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.

說明 本題以具體函數(shù)為背景考查奇函數(shù)的性質(zhì)：若f(-x)=-f(x)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)O(0,0)對稱.下面去掉具體函數(shù)，修改為抽象函數(shù).

變式1 (變背景)已知函數(shù)y=f(x)滿足f(-x+1)=-f(x+1),則y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱.

證明 由f(-x+1)=-f(x+1),知y=f(x+1)為奇函數(shù)，即y=f(x+1)的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱，故y=f(x)的圖像關(guān)于(1,0)對稱.

說明 繼續(xù)修改條件f(-x+1)=-f(x+1)，移項(xiàng).

變式2 (變條件)已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+f(-x)=2，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于(0,1)對稱.

證明 由f(x)+f(-x)=2,得

f(-x)-1=-[f(x)-1]，

從而y=f(x)-1為奇函數(shù),圖像關(guān)于(0,0)對稱，因此y=f(x)的圖像關(guān)于(0,1)對稱.

說明 將數(shù)字修改為字母，推廣到一般結(jié)論.

變式3 (推廣變式)已知函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b，則y=f(x)的圖像關(guān)于(a,b)對稱.

證明 因?yàn)閒(a+x)+f(a-x)=2b，所以

f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b]，

從而y=f(x+a)-b的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱，故y=f(x)的圖像關(guān)于(a,b)對稱.

說明 再由一般結(jié)論回到具體函數(shù)的應(yīng)用，但是難度提高了.

1)求證：f(x)+f(1-x)=1;

2)指出該函數(shù)圖像的對稱中心并說明理由;

得證.

即

3)解 由f(x)+f(1-x)=1，得

…

說明 試題的變式還可以從結(jié)論出發(fā)，結(jié)論的變題可以逆向考查新學(xué)習(xí)的知識.

變式5 (結(jié)論變式)求證：二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像沒有對稱中心.

證明 假設(shè)(m,n)是f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像的對稱中心，則對任意x∈R，都有

f(m+x)+f(m-x)=2n，

即a(m+x)2+b(m+x)+c+a(m-x)2+b(m-x)+c=2n恒成立,從而ax2+am2+bm+c=n恒成立，也就是a=0且am2+bm+c-n=0與a≠0矛盾,因此f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像沒有對稱中心.

評注 習(xí)題課教學(xué)的弊端是就題論題.變題是解題教學(xué)創(chuàng)新資源開發(fā)的有效途徑，變式教學(xué)可以將數(shù)學(xué)核心知識由易到難、由淺入深地逐步展示給學(xué)生[4]，以達(dá)到“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的效果，有助于擴(kuò)展學(xué)生思維的寬度，培養(yǎng)思維的發(fā)散能力.

習(xí)題課教學(xué)是教師專業(yè)水平和課堂教學(xué)藝術(shù)的生動體現(xiàn)，我們要讓學(xué)生在錯中悟，在多解中讓思維四通八達(dá)，在變題中探究出“不變”的本質(zhì)！

[1] 殷偉康.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中示錯教學(xué)的策略[J].教育理論與實(shí)踐,2012(9)：11-12.

[2] 劉剛.一題多解，多題一解，一題多變有效性的探索[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2014(5)：27-28.

[3] 蔡俊瑞.充分發(fā)揮例習(xí)題的潛在功能[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,1999(4)：7-8.

[4] 陳人豪.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“變式”教學(xué)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),1998(6)：38-41.

2016-03-11；

2016-04-22.

臧 華(1980-)，男，江蘇姜堰人，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

A

1003-6407(2016)06-09-04