●李建標 (余姚中學 浙江余姚 315400) ●唐恒鈞 (浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004)

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三點共線定理及應用

●李建標 (余姚中學 浙江余姚 315400) ●唐恒鈞 (浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004)

縱觀近幾年的數(shù)學高考試題，十分強調幾何背景和代數(shù)性質的結合.其中對于不少點在直線上的問題,可由平面向量中的三點共線定理順利求解.由三點共線的推論則可進一步求解平面區(qū)域中的變量范圍計算、平面區(qū)域有關的面積問題.文章通過典型例題的分析，闡述三點共線定理在平面向量問題中的應用價值及操作方式.

向量；三點共線定理；推論；變量范圍；區(qū)域面積

因為向量具有代數(shù)形式(有序實數(shù)對表示)與幾何形式(有向線段表示)的雙重特點，所以不少平面向量試題都強調幾何背景和代數(shù)性質的結合，要求學生綜合運用邏輯推理和運算能力解決實際問題．這類試題簡潔、新穎、思維靈活性強，具有較強的創(chuàng)新性，其中以線段或直線為背景的一類題常與三點共線定理有關.筆者綜合研究三點共線定理及它在各類問題中的應用.

1 三點共線定理及推論

故點A,B,P共線.

(必要性)因為點A,B,P共線,所以

令μ=1-λ，于是

λ+μ=1.

從推導過程知:當λ∈(0,1)時，μ∈(0,1)且點P在線段AB上；當λ>1時，μ<0且點P在BA的延長線上；當λ<0時，μ>1且點P在AB的延長線上.

1)點C在直線AB的外側(不含點O的一側)的充要條件是λ+μ>1;

2)點C在直線AB的內側(含點O的一側)的充要條件是λ+μ<1.

圖1

1)證明 (必要性)如圖1,聯(lián)結OC，AB，相交于點C′,則存在實數(shù)m(其中m>1)使得

于是

λ+μ=m(x′+y′)=m>1.

(充分性)因為λ+μ>1，所以存在m>1，使得

λ=mx′，μ=my′,

且

x′+y′=1，

從而

λ+μ=m(x′+y′)=m>1,

因為點C′在直線AB上，所以點C在直線AB外側.

同理可證推論1的第2)個結論(略).

推論2 如圖2，過點O作l2∥l1，則l2,l1把平面分成3個部分:第Ⅰ區(qū)域λ+μ>1，第Ⅱ區(qū)域0<λ+μ<1，第Ⅲ區(qū)域λ+μ<0.

圖2 圖3

2 三點共線定理的應用

考向1 點在線上

故

圖4 圖5

圖6 圖7

λ+μ=m(x+y)=m.顯然當點P與點B重合時，λ+μ取到最小值，此時

從而

即

故

考向2 平面區(qū)域中的變量范圍計算問題

圖8 圖9

分析 由三點共線定理知，當P在邊DC上運動時，x+y=1，△ADC所在區(qū)域可以用平行直線DC的一簇平行線表示.如圖9，由推論2知平行線向左下移動至直線l1(其中l(wèi)1∥CD，且l1過點O)處時，x+y=0；平移至直線l2(其中l(wèi)2∥CD，且l2過點A)處時，x+y=-1，因此x+y的取值范圍為[-1,1].

變式1 例3中的條件不變，求x+2y的取值范圍.

圖10 圖11

變式2 例3中的條件不變，求2x+y的取值范圍.

考向3 與平面區(qū)域有關的面積問題

( )

圖12 圖13

( )

A.8 B.16 C.32 D.64

圖14

分析 由推論3知λ≥0,μ≥0且λ+μ≤1,因此當a≥0,b≥0時，原不等式即為aλ+bμ≤2，如圖14，亦即

從而

故

總之,向量是數(shù)形結合的重要橋梁,是解決數(shù)學問題的有效工具.為此,在高中數(shù)學教學過程中,應高度重視向量及其三點共線定理的教學,并逐步加強向量在幾何問題與線性規(guī)劃應用方面的教學,切實發(fā)揮好向量的橋梁與工具作用.

[1] 梁懿濤．平面向量三點共線定理的推論及空間推廣[J]．中學數(shù)學研究，2011(7)：47-49．

[2] 馬海龍．平面向量三點共線與等和線妙用[J]．數(shù)學之友，2014(4)：61-62．

2016-02-25；

2016-03-28.

李建標(1973-)，男，浙江余姚人，中學高級教師，研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)06-39-04