●唐 庚 李 敏 (中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)分校 北京海淀 100086)

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化曲為直：直觀與嚴(yán)謹(jǐn)性的完美結(jié)合
——談利用曲線的切線判定零點(diǎn)的存在性

●唐 庚 李 敏 (中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)分校 北京海淀 100086)

文章利用曲線的切線界定其發(fā)展趨勢(shì)，在探究復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)過(guò)程中，利用切線的零點(diǎn)的可求性，將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行放縮，從而找到變號(hào)零點(diǎn)的所在區(qū)間，改進(jìn)了以往僅憑函數(shù)圖像發(fā)展趨勢(shì)直觀說(shuō)明的解決方式.

化曲為直;零點(diǎn);切線;探究

零點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)內(nèi)容的一個(gè)重要概念,也是近年高考的熱點(diǎn)之一.可是有時(shí)我們明知它的存在，卻不知它到底在哪里.下面舉例說(shuō)明.

例1 已知函數(shù)f(x)=ax2-ex(其中a∈R),f′(x)是其導(dǎo)函數(shù)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

上述2種解法，都是在函數(shù)與方程之間相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，訓(xùn)練了學(xué)生解決問(wèn)題的能力.但細(xì)細(xì)品來(lái)，覺(jué)得整個(gè)過(guò)程直觀性有余而嚴(yán)謹(jǐn)性不足.數(shù)學(xué)的根本任務(wù)在于優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展思維水平和能力，上述解法給人草草收兵、戛然而止的感覺(jué)，似乎意猶未盡.

為了完整地解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先回顧一下函數(shù)零點(diǎn)的定義：一般地，如果函數(shù)y=f(x)在實(shí)數(shù)a處的值為0，即f(a)=0,則a叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).如果函數(shù)y=f(x)在一個(gè)區(qū)間[a,b]上的圖像不間斷，并且在它的2個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即f(a)f(b)<0,則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)x0∈(a,b),使得f(a)=0，并稱這樣的零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn),即零點(diǎn)存在定理.還有一類(lèi)叫做不變號(hào)零點(diǎn)[1].

上述定義與定理，是我們判定零點(diǎn)是否存在的重要依據(jù).如果是變號(hào)零點(diǎn)，我們有必要指出這個(gè)零點(diǎn)存在范圍(區(qū)間).

我們先求曲線y=2ax-ex在x=ln4a(這是一個(gè)任意選定、便于計(jì)算的值，當(dāng)然ln4a∈(ln2a,+∞))處的切線，易得切點(diǎn)為(ln4a,2aln4a-4a)，切線斜率為-2a，因此切線方程為

y=-2ax+4aln4a-4a.

下面先證明曲線y1=2ax-ex始終位于直線y2=-2ax+4aln4a-4a的下方.

構(gòu)造函數(shù)

F(x)= 2ax-ex-(-2ax+4aln4a-4a)=

4ax-ex-(4aln4a-4a)，

則

F′(x)=4a-ex,

可知在(-∞,ln4a)上，F(xiàn)′(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,在(ln4a,+∞)上，F(xiàn)′(x)<0,F(x)單調(diào)遞減,因此F(x)在x=ln4a處取得極大值.因?yàn)镕(ln4a)=0,所以2ax-ex≤-2ax+4aln4a-4a在(-∞,+∞)上恒成立,即曲線y1=2ax-ex始終在直線y2=-2ax+4aln4a-4a下方,當(dāng)x=2ln4a時(shí)(這也是在(ln2a,+∞)內(nèi)一個(gè)任意選定、便于計(jì)算的值),y2|x=2ln4a=-2a·2ln4a+4aln4a-4a<0,從而g(2ln4a)<0.說(shuō)明函數(shù)f′(x)=g(x)=2ax-ex在[ln2a,2ln4a]上存在x2使得g(x2)=0，故函數(shù)g(x)分別在區(qū)間(0,ln2a),(ln2a,2ln4a)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)x1,x2.即f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)x1,x2.

嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，函數(shù)變號(hào)零點(diǎn)若存在，都應(yīng)該通過(guò)其在某個(gè)區(qū)間上端點(diǎn)值的異號(hào)來(lái)解決.很多情況下，這2個(gè)端點(diǎn)不易找到，于是有的解答只能依賴圖像直觀斷定，有的更是借助x→+∞時(shí)的趨勢(shì)，讓人產(chǎn)生只可意會(huì)不可言說(shuō)的感覺(jué).數(shù)學(xué)的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性在此也打了折扣.我們采用化曲為直的方式可以部分解決這類(lèi)問(wèn)題.

再來(lái)看一個(gè)流傳甚廣的例子：

2015年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一?？荚囍杏腥缦聠?wèn)題(改編)：

命題組給出的標(biāo)準(zhǔn)答案如下：

標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)第1)和第2)種情況的討論是沒(méi)有疑問(wèn)的.但第3)種情況是從函數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)上判定其圖像不是以x軸為漸近線，因此圖像在極值點(diǎn)的左、右2側(cè)都會(huì)穿過(guò)x軸，從而有2個(gè)零點(diǎn).這么做，與其說(shuō)是顯然，不如說(shuō)是無(wú)奈之舉,缺少理性思維，沒(méi)有深度，數(shù)學(xué)味隨之降低.下面借助切線對(duì)零點(diǎn)的存在性予以證明.

其中Δ=1+2a>0,因此上述方程有2個(gè)相異實(shí)根

在x=x1處，

g(x1)=-a(x1-1)>-alnx1=h(x1),

從而

f(x1)=g(x1)-h(x1)>0.

同理，在x=x2處

g(x2)=-a(x2-1)>-alnx2=h(x2),

從而

f(x2)=g(x2)-h(x2)>0.

調(diào)整后的解法，不再僅憑函數(shù)圖像的趨勢(shì)定性說(shuō)明,而是將曲線轉(zhuǎn)化為直線.這里的化曲為直，本質(zhì)是放縮法，是不等量代換,它將不可比較的含有指、對(duì)數(shù)與多項(xiàng)式的混合函數(shù)，轉(zhuǎn)化成了多項(xiàng)式函數(shù)，從而使計(jì)算成為了可能.這比憑運(yùn)氣去找到某個(gè)自變量使其函數(shù)值為正顯然要有依據(jù)、有規(guī)律，也更容易為人所接受，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

以上2個(gè)問(wèn)題都包含了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.數(shù)學(xué)解題就是在不斷轉(zhuǎn)化，化歸的基本目標(biāo)是將生疏化為熟悉、將復(fù)雜化為簡(jiǎn)單、將抽象化為直觀.但是選擇合理的有效的轉(zhuǎn)化途徑很重要,這就需要我們善于發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系并用于解決新問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的重要特征.教師要有意識(shí)地選擇一些具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，為發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)提供舞臺(tái).

新課標(biāo)指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，在于培養(yǎng)人的理性精神、理性的思維方式[2]，如果僅作圖形上的直觀解釋，勢(shì)必會(huì)使學(xué)習(xí)流于膚淺，缺乏深刻性.愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)更受到特殊尊重，一個(gè)理由是它的命題是絕對(duì)可靠的和無(wú)可爭(zhēng)辯的，而其他一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭(zhēng)辯的，并且經(jīng)常處于會(huì)被新發(fā)現(xiàn)的事實(shí)推翻的危險(xiǎn)之中.”我們教師任重而道遠(yuǎn).

[1] 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)(必修1)》(B版)[M].北京：人民教育出版社,2007.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2003版)[M].北京：人民教育出版社,2013.

2016-03-10；

2016-04-26.

唐 庚(1971-)，男，北京海淀人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)06-34-03