●梁昌金 (壽縣第一中學(xué) 安徽壽縣 232200)

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2道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的證明

●梁昌金 (壽縣第一中學(xué) 安徽壽縣 232200)

不等式是競(jìng)賽的熱點(diǎn)、難點(diǎn).遇到好的賽題，我們不妨停下來(lái)，注重其證明方法的研究、賽題的加強(qiáng)和推廣，形成一系列有價(jià)值的命題.

競(jìng)賽題；不等式；命題

1 題目及證明

例1 已知a,b,c>0.求證:

(a+b+c).

(2013年沙特阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克試題)

例2 已知a,b,c是滿足a+b+c=3的正數(shù),求證:

(2016年敘利亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

2道題目結(jié)構(gòu)相似，筆者先給出2道競(jìng)賽題的證明，再對(duì)這2道競(jìng)賽題加以研究[1].

1.1 例1的證明

證法1 由常見(jiàn)不等式a2+b2≥2ab，得

從而

證法2 由柯西不等式變形形式，得

1.2 例2的證明

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取到等號(hào).

從而

于是

當(dāng)a=b=c時(shí),取到等號(hào).

2 推廣命題

由以上證明可知，a,b,c是滿足a+b+c=3且至多1個(gè)為0的實(shí)數(shù)即可.

由此我們不難得到：

命題1 已知a,b,c>0，則

由例1的證法2知不等式(3)強(qiáng)于不等式(1).

命題2 已知a,b,c>0，則

證明過(guò)程同例1的證法2，此處從略.

由例2的證明過(guò)程可得:

命題3 已知a,b,c>0，則

(a+b+c).

式(3)+式(4)得:

命題4 已知a,b,c>0，則

命題5 已知a,b,c>0，則

從而

由命題4、命題5可知更一般地，有:

命題6 已知a,b,c>0，λ≥-1，則

證明 當(dāng)λ=-1時(shí)，

(a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c),

原不等式成立.

當(dāng)λ>-1時(shí)，

從而

于是

故原不等式成立.

命題1～6均是三元情形不等式，下面筆者嘗試進(jìn)行項(xiàng)數(shù)的推廣[2].

命題7 已知a1,a2,…,an>0，則

命題8 已知a1,a2,…,an>0，則

于是M=N，因此

即命題成立.

不等式探究總是令人著迷，2道賽題的后續(xù)探究，筆者不再贅述，留給有興趣的讀者研究.

[1] 馬占山.對(duì)一道賽題的證法探究與推廣[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(11)：47-49.

[2] 鐘建新.一道第31屆IMO預(yù)選題的推廣[J].數(shù)學(xué)通訊，2008(7)：46-48.

[3] 曾建平.用配對(duì)法證明一類分式不等式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2007(9)：24-25.

2016-03-31；

2016-04-30.

梁昌金(1981-)，男，安徽壽縣人，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)06-48-03