●張永寧 (三明市第九中學(xué) 福建三明 365001)

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巧妙“搭配” “合理”設(shè)計(jì)
——試題創(chuàng)作點(diǎn)滴體會(huì)

●張永寧 (三明市第九中學(xué) 福建三明 365001)

文章將若干基本初等函數(shù)進(jìn)行巧妙地“搭配”，并圍繞考查目標(biāo)“合理”地設(shè)計(jì)相關(guān)參數(shù)，創(chuàng)作出考查功能良好的試題．

函數(shù);導(dǎo)數(shù);試題;創(chuàng)作

利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)，知識(shí)點(diǎn)的主要考查目標(biāo)為導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值等相關(guān)內(nèi)容，通過對(duì)導(dǎo)數(shù)值或?qū)Ш瘮?shù)的性質(zhì)研究，來解決曲線的切線問題，解決原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大(小)值和閉區(qū)間上的最大(小)值等問題．在這個(gè)過程中，還可同時(shí)考查與函數(shù)有關(guān)的其他數(shù)學(xué)知識(shí)及其相關(guān)的應(yīng)用水平，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想和能力的綜合考查[1]．

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合試題，往往以常見的基本初等函數(shù)為背景函數(shù)．其原因在于:一方面是出于對(duì)基本函數(shù)及其性質(zhì)的考查要求;另一方面以基本初等函數(shù)為背景的函數(shù)綜合問題，具有良好的“立足點(diǎn)”，能夠使試題的“考點(diǎn)具體，內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)熟知”．若能將基本初等函數(shù)進(jìn)行巧妙地“搭配”，并圍繞考查目標(biāo)“合理”地設(shè)計(jì)相關(guān)參數(shù)，則可創(chuàng)作出考查功能良好的試題．

筆者擬對(duì)若干基本初等函數(shù)的“組合型”函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，并通過具體例題，談?wù)劰P者在試題創(chuàng)作中的點(diǎn)滴體會(huì)，以拋磚引玉，敬請(qǐng)同行指正．

1 “二次型”與“指數(shù)型”的組合

1．1 模型分析

顯然f(x)與f′(x)具有相同的結(jié)構(gòu)．由于ex>0對(duì)x∈R恒成立，從而對(duì)原函數(shù)f(x)和導(dǎo)函數(shù)f′(x)的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)2個(gè)式子中的二次函數(shù)進(jìn)行研究．

不妨設(shè)f(x)的2個(gè)零點(diǎn)為x1,x2，2個(gè)極值點(diǎn)(即f′(x)的2個(gè)零點(diǎn))為x3,x4,則

為便于有效地設(shè)置相應(yīng)系數(shù)，將以上2個(gè)式子變形為

在式(3)中，通過嘗試給定極值點(diǎn)x3，x4的值，既可設(shè)定零點(diǎn)x1，x2的值，也可設(shè)定常數(shù)b，c與a的關(guān)系．值得注意的是:x3與x4的取值還需滿足式(2)中的(2a-b)2+4a(b-c)≥0的條件，結(jié)合式(3)得x3，x4的前置條件為(x3+x4)2≥4x3x4．

1.2 創(chuàng)設(shè)試題

對(duì)于上述模型，可以根據(jù)需要，通過設(shè)置相應(yīng)的參數(shù)來確定題坯[2]．

從而

考慮到簡(jiǎn)捷性，可令a=2，此時(shí)

圖1

1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程.

3)試討論f(x)在定義域上是否存在最小值，若存在，則求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(試題解答：略.)

1)由于f(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，因此可用第1)小題的設(shè)置，求解常數(shù)a，b，c，以此考查特定系數(shù)法，考查函數(shù)的零點(diǎn)、二次函數(shù)與方程、函數(shù)的求導(dǎo)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)；

2)因?yàn)閒(x)存在2個(gè)極值點(diǎn)，則必有相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，所以第2)小題設(shè)置的目的，是通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)(即原函數(shù)的可能極值點(diǎn))的研究，考查原函數(shù)的單調(diào)性，并考查不等式的知識(shí)與應(yīng)用；

故結(jié)合f(x)的單調(diào)性可得，f(x)在R上的極小值即為最小值,因此第3)小題的設(shè)置意在對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用的考查，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想與方法．

事實(shí)上，如果構(gòu)建f(x)=(ax2+bx+c)ex的函數(shù)，也具有上述的同樣功效，在此不作贅述．

2 “一次型”與“對(duì)數(shù)型”的組合

2.1 模型分析

對(duì)于f(x)=(x-a)(lnx-k)+m(其中a，k，m為常數(shù))，可得

基于此，可作以下探究：

1)對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)m=0時(shí)，f(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn)x1=ek，若a>0，則還存在另一個(gè)零點(diǎn)x2=a．

2)對(duì)于導(dǎo)函數(shù)f′(x)，若a≥0，則f′(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，f′(x)必存在唯一的零點(diǎn)(即f(x)的極值點(diǎn))；若a<0，則f′(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)存在最小值f′(-a)．

對(duì)于以上幾種情況，可根據(jù)考查目標(biāo)，選取適當(dāng)?shù)牟牧蟻碓O(shè)置參數(shù)、構(gòu)建試題．如f′(x3)+f′(x4)=0，則曲線y=f(x)在x3和x4處的2條切線的斜率互為相反數(shù)(即2條切線的傾斜角互補(bǔ))；或令f′(x3)=f′(x4)，則2條切線平行；或在x3+x4與x3x4中應(yīng)用基本不等式等等．

2．2 創(chuàng)設(shè)試題

圖2

基于此，可形成以下試題：

1)求常數(shù)m的值，并求導(dǎo)數(shù)f′(x)的解析式.

2)求證：在定義域內(nèi)f(x)≥0恒成立.

3)是否存在曲線y=f(x)上的2個(gè)點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2)(其中x1≠x2)，同時(shí)滿足下列條件：①x1x2=e2；②曲線y=f(x)在P1,P2處切線的傾斜角互補(bǔ)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)，否則請(qǐng)說明理由．

(試題解答：略.)

1)第1)小題考查的目的，是在函數(shù)f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn)的條件下，確定常數(shù)m的值，以此考查待定系數(shù)法，考查函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)、函數(shù)與方程思想，考查基本函數(shù)的求導(dǎo)方法等知識(shí)．

3)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P1,P2處切線的傾斜角互補(bǔ)，則

f′(x1)+f′(x2)=0，

即

又x1x2=e2，從而

x1+x2=2e，

解得x1=x2=e，與x1≠x2的條件不符．第3)小題的設(shè)置主要借助“特殊”結(jié)構(gòu)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和推理論證能力．

型如f(x)=(x-a)(lnx-k)+m的函數(shù)，還可以對(duì)參數(shù)進(jìn)行其他的設(shè)置，如令a=0，m=e，有

f(x)=xlnx-2x+e，f′(x)=lnx-1，

同樣也使原函數(shù)有唯一、共同的零點(diǎn)和極值點(diǎn)e，也能創(chuàng)設(shè)出相應(yīng)能力的考查試題．

3 “二次型”與“對(duì)數(shù)型”的組合

3.1 模型分析

設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c+klnx(其中a，b，c，k為系數(shù))，則

可考慮以下功能：

1)不等式的應(yīng)用.

或

2)基于二次函數(shù)的研究，轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的極值和單調(diào)性等問題.

若Δ=b2-8ak>0，則f′(x)=0有2個(gè)相異正實(shí)根x1，x2(其中x1≠x2)，并使x1，x2(其中x1≠x2)為f(x)的2個(gè)極值點(diǎn)；

若Δ=b2-8ak≤0，則f′(x)=0有2個(gè)相等正實(shí)根或無實(shí)根，使f(x)無極值點(diǎn)并在定義域內(nèi)具有單調(diào)性．

3.2 創(chuàng)設(shè)試題

考慮到簡(jiǎn)潔性，取a=1，則

f(x)=x2+bx+c+klnx，

[f′(x)]min=b+4.

2)鑒于導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)(即原函數(shù)可能的極值點(diǎn))的重要地位，同時(shí)也為了考查二次函數(shù)，不妨設(shè)f′(x)的2個(gè)零點(diǎn)分別為x1和x2，則

且

Δ=b2-8k>0．

因?yàn)閗=2，若將b繼續(xù)設(shè)定為特定系數(shù)，則

①x1x2=1?ln(x1x2)=ln1=0；

②b2-16>0；

由此可設(shè)置如下試題：

例3 已知函數(shù)f(x)=x2-mx+4+2lnx.

1﹚當(dāng)m=5時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

2﹚設(shè)直線l是曲線y=f(x)的切線，若l的斜率存在最小值-2，求m的值，并求取得最小斜率時(shí)切線l的方程；

3﹚已知f(x)分別在x1,x2(其中x1≠x2)處取得極值，求證：f(x1)+f(x2)<2．

(試題解答：略.)

1)考慮到表述的自然流暢及字母的使用習(xí)慣等因素，將b替換為-m，即

f(x)=x2-mx+4+2lnx，

和

3)第2)小題的設(shè)置，意在考查均值不等式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

4)由于f(x)分別在x1,x2(其中x1≠x2)處取得極值，則可轉(zhuǎn)化為x1,x2是2x2-mx+2=0的2個(gè)不相等的正根，借助上述分析，可證明

第3)小 題的設(shè)置，在于強(qiáng)化考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查基于不等式知識(shí)的函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算求解能力、分析問題與解決問題的能力[3]．

[1] 馬茂年．高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法與應(yīng)試技巧透視[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2011(2)：1-6．

[2] 馮精華．新課程理念下中學(xué)數(shù)學(xué)試題編制的研究與探索[D]．福州:福建師范大學(xué)教育碩士學(xué)位論文，2006．

[3] 單墫．幾何不等式[M]．上海：上海教育出版社，1980：55-60．

2016-03-23；

2016-04-30.

張永寧(1962-)，男，山東濰坊人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

A

1003-6407(2016)06-30-04