●鄧群毅 (浙江大學(xué)附屬中學(xué) 浙江杭州 310007)

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利用對(duì)數(shù)平均不等式巧解高考數(shù)學(xué)題

●鄧群毅 (浙江大學(xué)附屬中學(xué) 浙江杭州 310007)

文章介紹了幾何—對(duì)數(shù)—算術(shù)平均不等式，通過具體實(shí)例展示了其在高考真題、模擬試題、模塊考試試題中的具體應(yīng)用，給出了簡(jiǎn)潔、有效的解法，擴(kuò)寬了解題思路.

幾何平均；對(duì)數(shù)平均；算術(shù)平均

算術(shù)—幾何平均不等式是大家熟悉的，但是加強(qiáng)這個(gè)不等式得到的幾何—對(duì)數(shù)—算術(shù)平均不等式則比較少見.以對(duì)數(shù)平均不等式為背景的試題不斷出現(xiàn)在近幾年的高考模擬考試、高考和大學(xué)自主招生考試中.以下筆者通過舉例說明幾何—對(duì)數(shù)—算術(shù)平均不等式的具體應(yīng)用.

1 認(rèn)識(shí)不等式

2 不等式的應(yīng)用舉例

例1 已知函數(shù)f(x)=ex,其中x∈R.

1),2)略.

(2013年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

由對(duì)數(shù)—算術(shù)平均不等式，得

即

評(píng)注 待比較的2個(gè)式子以指數(shù)形式給出，經(jīng)過變換后，可直接使用對(duì)數(shù)—算術(shù)平均不等式，問題迎刃而解.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=alnx-bx2，其圖像在點(diǎn)P(2,f(2))處切線的斜率為-3.

1)略.

2)當(dāng)a=2時(shí)，令g(x)=f(x)-kx，設(shè)x1，x2(其中x1

(江蘇省南通市2014屆高三第一次數(shù)學(xué)模擬試題第20題)

證明 由a=2，a=8b-6，知b=1，即

g(x)=2lnx-x2-kx.

因?yàn)閤1，x2是函數(shù)g(x)=0的2個(gè)根，所以

2個(gè)式子相減得

又x1≠x2，從而

于是

由對(duì)數(shù)—算術(shù)平均不等式得

即

因此

g′(x0)<0.

評(píng)注 表達(dá)式g′(x0)中有對(duì)數(shù)平均的變形結(jié)構(gòu)，可直接利用對(duì)數(shù)—算術(shù)平均不等式判定其符號(hào).

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

1)，2)略.

3)設(shè)n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明.

(2014年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

證明 由題意，得

從而g(1)+g(2)+…+g(n)>n-f(n)，該不等式等價(jià)于

(n+1).

由對(duì)數(shù)—算術(shù)平均不等式的變形，知

即

(浙江省五校2011屆高三第一次數(shù)學(xué)聯(lián)考自選模塊第3題)

證明 令b′=2b，只需要證明

由對(duì)數(shù)—算術(shù)平均不等式的變形，得

取n=1,2,3，把所得的3個(gè)不等式相加，利用幾何—對(duì)數(shù)平均不等式，得

評(píng)注 把例4中的不等式推廣到n元情形，即2008年浙江大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題的第6題：

3 解題感悟

在高三試卷講評(píng)時(shí)，要關(guān)注試題的背景和實(shí)質(zhì)，擺脫參考答案的限制，拓寬解題思路.一方面，教師自己要善于解題，充分挖掘問題；另一方面，在課堂教學(xué)中，可以介紹一些新穎的解題方法，啟發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力.“研究問題，追求本質(zhì)”應(yīng)該成為所有數(shù)學(xué)教師努力的方向.

[1] 姜衛(wèi)東.關(guān)于對(duì)數(shù)平均的一個(gè)不等式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007(10):53-54.

2016-01-11；

2016-04-06.

鄧群毅(1987-)，男，浙江遂昌人，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)競(jìng)賽和數(shù)學(xué)解題.

O122.6

A

1003-6407(2016)06-20-03