鄔云德（浙江省象山縣教育局教科研中心）

“常量與變量”課例及分析

鄔云德（浙江省象山縣教育局教科研中心）

課堂教學(xué)應(yīng)關(guān)注《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，但許多教師的教學(xué)與其存在偏差.鑒于此，筆者在對“常量與變量”進行重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，將形成的教學(xué)經(jīng)驗進行實踐，課后得到了同仁的認(rèn)可.

常量與變量；教學(xué)方法；教學(xué)分析

一、背景介紹

教學(xué)設(shè)計應(yīng)關(guān)注《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中課程內(nèi)容的教學(xué)要求，但調(diào)研發(fā)現(xiàn)許多教師的教學(xué)與《標(biāo)準(zhǔn)》存在偏差.鑒于此，筆者對浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“常量與變量”一節(jié)進行重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，將形成的教學(xué)經(jīng)驗進行實踐，課后得到了同仁的認(rèn)可.現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者.

二、教學(xué)實錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷再認(rèn)表征物體量的過程——明確研究的對象.

師：我們過去在分析現(xiàn)實世界的各種現(xiàn)象時，遇到過各種各樣靜態(tài)條件下的量.例如，物體運動中的速度、時間和距離；圓的半徑、周長和圓周率；購買商品的數(shù)量、單價和總價；……但世界是運動變化的，行星在宇宙中的位置隨時間變化而變化，氣溫隨海拔的變化而變化，樹高隨樹齡增長而變化，……因此，在分析現(xiàn)實世界的各種現(xiàn)象時，還會遇到動態(tài)條件下的量.這種動態(tài)條件下的量有何特征？有何意義？這節(jié)課我們再來認(rèn)識表征事物的量.

環(huán)節(jié)2：參與定義常量與變量的活動——形成常量與變量的概念.

師：如圖1，圓柱形水杯的底面半徑為5cm，高為10cm.現(xiàn)在老師慢慢地將熱水注入水杯內(nèi)（教師演示注水的過程）.問：在這個注水的過程中，哪些量的數(shù)值會不斷改變？哪些量的數(shù)值是固定不變的？

圖1

教師提示：可從數(shù)學(xué)、物理等多角度進行分析.

生1：水杯內(nèi)水的高度會不斷改變，水杯內(nèi)水平面的半徑、水平面的面積是固定不變的.

生2：水杯內(nèi)水的質(zhì)量會不斷改變，水杯的高度、水杯的體積是固定不變的.

生3：水杯中水對水杯底面的壓強會不斷改變，水的密度是固定不變的.

生4：注水的速度是不斷改變的量，水的溫度也是不斷改變的量.

師：好！從不同的角度看問題是數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗.

師：一般地，在一個運動變化的過程中，固定不變的量稱為常量，可以取不同數(shù)值的量稱為變量.例如，上述注水過程中的水杯內(nèi)水平面的半徑、水平面的面積等是常量；上述注水過程中水杯內(nèi)水的高度、水的質(zhì)量等是變量.

環(huán)節(jié)3：參與鞏固概念的活動——合作解答有代表性的問題.

師：現(xiàn)在請大家合作解答下列問題.

問題1：聲音在空氣中傳播的速度vm/s與溫度t℃之間有關(guān)系式v=331+0.6t.問：

（1）在聲音傳播的過程中，哪些量是變量？

（2）變量v是隨著哪個量的變化而變化的？

（3）當(dāng)t=10時，v是多少？其實際意義是什么？

約1分鐘后.

師：誰來回答第（1）小題？

生5：溫度t和聲音在空氣中傳播的速度v是變量.

師：不錯.誰來回答第（2）小題？

生6：變量v是隨著溫度t的變化而變化的.

師：不錯.誰來回答第（3）小題？

生7：當(dāng)t=10時，v=337.其實際意義是：當(dāng)溫度是10℃時，聲音的傳播速度是337m/s.

師：好的.這個問題中變量之間的變化關(guān)系是用符號（數(shù)字和字母）來表示的.

問題2：表1是我國人口數(shù)統(tǒng)計表，其中x表示年份，y表示人口數(shù).

表1

問：（1）在統(tǒng)計人口數(shù)的事項中，x和y表示的量是變量還是常量？為什么？

（2）變量y是隨著哪個量的變化而變化的？

（3）當(dāng)x=2010時，y是多少？其實際意義是什么？

（4）你通過閱讀表格中的數(shù)據(jù)，對我國人口問題有何感觸？

約2分鐘后.

師：誰來回答第（1）小題？

生8：在這個變化的過程中，x和y表示的量是變量.因為x和y可以取不同的數(shù)值.

師：不錯.誰來回答第（2）小題？

生9：變量y是隨著年份x的變化而變化的.

師：好的.誰來回答第（3）小題？

生10：當(dāng)x=2010時，y=13.71.其實際意義是：我國2010年的人口數(shù)是13.71億人.

師：好的.誰來回答第（4）小題？

生11：我國人口數(shù)太多了，應(yīng)該實行計劃生育政策.

生12：現(xiàn)在計劃生育政策放寬了，人口增加速度會更快.

師：好的.這個問題中變量之間的變化關(guān)系是用表格來表示的.

問題3：圖2描述的是一家快遞公司的收費標(biāo)準(zhǔn).其中t表示郵件的質(zhì)量，p表示每件快遞費，n表示快遞郵件的件數(shù).問：

圖2

（1）在投寄快遞郵件的事項中，t，p，n是常量，還是變量？

（2）當(dāng)t=6時，p是多少？當(dāng)t=10時，p是多少？當(dāng)t=12.5時，p是多少？

（3）若0＜t≤10，投寄n件郵件的快遞費記為w，此時t，p，n，w中哪些是常量？哪些是變量？

師：誰來回答第（1）小題？

生13：t，p，n都是變量.

師：好的.誰來回答第（2）小題？

生14：當(dāng)t=6時，p=6；當(dāng)t=10時，p=6；當(dāng)t=12.5時，p=9.

師：圖中實心點與空心點的含義分別是什么？

生14：實心點表示在變量變化關(guān)系的圖象上，空心點表示不在變量變化關(guān)系的圖象上.例如，當(dāng)p=10時，其對應(yīng)點是實心點而不是空心點.

師：好的.誰來回答第（3）小題？

生15：若0＜t≤10，則p為常量，t，n，w均為變量.

師：好的.這說明常量與變量相對地存在.這個問題中變量之間的變化關(guān)系是用圖象來表示的.

師：現(xiàn)在老師提出幾個反思性問題，請大家思考并回答.

師：上述問題中的變量是在怎樣的條件下產(chǎn)生的？

生16：這些變量都是在變化的過程中產(chǎn)生的.

師：好的.上述問題中描述變量之間的變化關(guān)系有幾種方法？

生17：有三種方法：可用符號（數(shù)字與字母）表示（如問題1）；可用表格表示（如問題2）；可用圖象表示（如問題3）.

師：好的.這三種表示變量之間變化關(guān)系的方法以后會經(jīng)常用到.

師：問題1中求v的值用的是什么方法？問題2中求y的值用的是什么方法？問題3中求p的值用的是什么方法？

生18：求v的值用的是代入計算法；求y的值用的是查表法；求p的值用的是作圖法.

師：好的.這三種求變量值的方法以后也會經(jīng)常用到.

師：大家能舉幾個常量和變量的例子嗎？請大家多角度思考并給出盡可能多的例子.

師：誰來說說自己所舉的例子？

生19：在購買水果時，若銷售價不變，則應(yīng)付款與購買量有關(guān).在這個過程中，銷售價是常量，購買量和應(yīng)付款是變量.

師：若應(yīng)付款不變，則購買量與銷售價有關(guān).這時常量和變量分別是什么？生19：這時應(yīng)付款是常量，購買量和銷售價是變量.師：因此，常量與變量是相對地存在的.請大家繼續(xù)說說自己所舉的例子.

生20：當(dāng)石子投入平靜的水面時，會產(chǎn)生一系列圓形水波.在這個過程中，圓形水波的半徑和圓形水波的面積是變量，求面積時用到的圓周率是常量.

生21：我每天上學(xué)都是采用步行的方式.在步行過程中，我家與學(xué)校的路程是常量，步行的速度和所用的時間是變量.

生22：如圖3，當(dāng)點P在邊BC上運動時，邊AB，BC，AC和△ABC的面積是常量；線段BP、線段AP、△ABP的面積等是變量.

圖3

……

師：好的.這說明常量和變量具有普遍存在性.

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結(jié).

首先，教師出示下列問題清單，并要求學(xué)生圍繞問題清單進行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

（2）何謂變量？變量是怎樣產(chǎn)生的？為何研究變量？

（3）你覺得還可以進一步研究什么？

其次，教師組織學(xué)生合作交流，并留給學(xué)生足夠的交流時間.

第三，在此基礎(chǔ)上，教師進行總結(jié)性講解.常量與變量都是表征事物的量，常量的特征是在運動變化的過程中固定不變，變量的特征是在運動變化的過程中會不斷改變；變量是在運動變化的過程中產(chǎn)生的，常量與變量是相對地存在的；表示變量之間的變化關(guān)系有三種方法（用數(shù)字和字母表示，用表格表示，用圖象表示），求變量的值有三種方法（代入計算法，查表法，作圖法）；由于萬物皆變，所以變量及變量之間的變化關(guān)系問題具有普遍存在性.利用常量之間的關(guān)系（代數(shù)式、方程、不等式）可以解決許多實際問題，利用變量之間的變化關(guān)系也能解決許多實際問題.

三、教學(xué)分析

“常量與變量”一節(jié)要求學(xué)生探索簡單實例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，了解常量與變量的意義.

盡管“常量與變量”一節(jié)的內(nèi)容比較單薄，但它是一節(jié)體驗性學(xué)習(xí)，并有為學(xué)習(xí)函數(shù)概念做鋪墊之意.本節(jié)課根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，將其教學(xué)立意于“再認(rèn)、體驗、滲透”.在參與定義常量與變量的活動的教學(xué)中，選用了學(xué)生比較熟悉的注水情境.盡管這個注水情境沒有多大的教育意義，但在教師認(rèn)知提示下，學(xué)生通過探索能分析出許多數(shù)學(xué)屬性和物理屬性的量.這既能滿足學(xué)生歸納常量與變量特征的需要，又滲透了多角度看問題的觀點，同時在分析過程中有能力發(fā)展個性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點，這體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》的要求.在參與鞏固概念的活動的教學(xué)中，以三個有代表性的實際問題為載體，運用教師價值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了完整的認(rèn)知過程——既有辨別、求值、思考等過程，又有解答問題之后的反思與舉例的過程.這能滿足鞏固概念，發(fā)展技能，體會常量與變量相對地存在，滲透表示函數(shù)有三種方法和求函數(shù)值有三種方法，感悟常量與變量具有廣泛存在性，以及世界是運動變化的，事物是相互聯(lián)系的觀點等的需要.

總之，課堂教學(xué)要基于《標(biāo)準(zhǔn)》，而本節(jié)課選用的載體與方法體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，也體現(xiàn)了過程教育和以學(xué)為中心的思想，能滿足學(xué)生感悟變量和函數(shù)思想及發(fā)展能力與個性的需要.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.

［4］姜曉剛.基于數(shù)學(xué)實驗的三角形的中位線定理的探究：一節(jié)江蘇省“教學(xué)新時空”研討課的設(shè)計與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（10）：56－59．

2016—08—12

鄔云德（1956—），男，中學(xué)高級教師，浙江省特級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究．