姜鴻雁（江蘇省無(wú)錫市河埒中學(xué)）

在交會(huì)處提升能力

姜鴻雁（江蘇省無(wú)錫市河埒中學(xué)）

在教學(xué)過(guò)程中，教師可用整體意識(shí)和民主理念引領(lǐng)自己的教學(xué)行為，復(fù)習(xí)課教學(xué)亦如此.在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，于知識(shí)點(diǎn)、方法點(diǎn)的交會(huì)處，讓舊題、舊知識(shí)這些“老歌”唱出“新意”，讓復(fù)習(xí)課不再枯燥；在課堂教學(xué)時(shí)，教師可與學(xué)生角色變換，讓學(xué)生在實(shí)現(xiàn)主人翁的挑戰(zhàn)中，提升各項(xiàng)能力.復(fù)習(xí)課如此上，教師在提升自己的同時(shí)，把快樂(lè)與成就帶給了學(xué)生.

幾何問(wèn)題；方程思想；知識(shí)交會(huì)；角色變換；思維共振

筆者2015年6月底參加江蘇省無(wú)錫市名師評(píng)比活動(dòng)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，上了一節(jié)課題為“品味角平分線”（蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第七章“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”）的復(fù)習(xí)課，得到聽(tīng)課教師的一致好評(píng).筆者回顧課堂教學(xué)的過(guò)程，結(jié)合自己對(duì)復(fù)習(xí)課的一些認(rèn)識(shí)，形成文字，期待大家批評(píng)指正.

一、課堂實(shí)錄及說(shuō)明

師：雖然我們第一次見(jiàn)面，但幾天前老師就牽掛你們，猜測(cè)你們的復(fù)習(xí)進(jìn)度，預(yù)測(cè)你們的學(xué)習(xí)狀態(tài)，相信同學(xué)們一定已經(jīng)厲兵秣馬了.今天我們一起重溫一位“老朋友”，看看它能給我們帶來(lái)什么樣的思維碰撞.

問(wèn)題1：在△ABC中，∠A=n.如圖1，△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）.

圖1

師：為什么？

生1：因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

師：你用了什么數(shù)學(xué)思想？

生1：用了整體思想，即把∠ABC+∠ACB，∠OBC+∠OCB看成一個(gè)整體.

師：還有不同的解法嗎？

生2：如圖2，延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E.

圖2

因?yàn)椤螧EC=∠A+∠ABE，∠BOC=∠BEC+∠ACO，所以∠BOC=∠A+∠ABE+∠ACO.

因?yàn)锽O，CO分別平分∠ABC，∠ACB，

師：你用到了什么圖形及其結(jié)論？

生2：“魚(yú)形”ABOC，結(jié)論是∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO.

師：哦，因?yàn)樗L(zhǎng)得像“魚(yú)”，還有不同思路么？

圖3

生3：如圖3，連接AO并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)D.由此可知∠BOD=∠ABO+∠BAO，∠DOC=∠ACO+∠OAC，所以∠BOC=∠BAC+∠ABO+∠ACO，其余過(guò)程與生1相同.

師：你用不同的方法把“魚(yú)形”的結(jié)論證明了.借助生3的輔助線，我突然有了一個(gè)想法，∠BAO+∠ABO+∠ACO的值是多少？為什么？

生4：應(yīng)該是90°.因?yàn)槿切蔚娜龡l角平分線相交于一點(diǎn)，點(diǎn)O是兩條角平分線交點(diǎn)，則連接線段AO也應(yīng)該平分∠BAC.

生：哦！那得到本題的數(shù)量關(guān)系就簡(jiǎn)單了.

【設(shè)計(jì)意圖】此題讓學(xué)生從一個(gè)非常熟悉的問(wèn)題入手，引出課題，讓學(xué)生在“老師”的角色中完成知識(shí)的回憶.可是課堂進(jìn)展到此，在一個(gè)個(gè)“還有什么不同的思路”的追問(wèn)中，學(xué)生思維并沒(méi)有運(yùn)行到筆者預(yù)設(shè)的軌道——用方程思想解決幾何問(wèn)題，這說(shuō)明學(xué)生在這方面留有空白.同時(shí)也說(shuō)明學(xué)生需要引導(dǎo).生3、生4的表現(xiàn)是本節(jié)課意外的生成.

師：還有其他方法嗎？角的平分線提供了角與角之間的倍分關(guān)系，如果我們用字母表示小角度數(shù)的話，那大角的度數(shù)將很容易表示；三角形的內(nèi)角和定理是推理過(guò)程中的重要支柱，如果從方程視角來(lái)看，則可認(rèn)為是相等關(guān)系；這些將給我們帶來(lái)什么呢？試試看！

師：如果設(shè)∠OBC=x，則……

生：∠ABC=2x.

師：下面的過(guò)程哪位小老師能講下去？

生5：設(shè)∠OCB=y，則∠ACB=2y，能得到兩個(gè)方程：在△BOC中，x+y+∠BOC=180°①，在△ABC中，2x+2y+∠A=180°②.

師：對(duì)于這兩個(gè)方程，我們?cè)撛趺崔k呢？

生：消去x，y.用①×2-②，或者①-②÷ 2，……

師：用方程方法解決幾何問(wèn)題，是解決問(wèn)題的常用思路.當(dāng)角與角之間存在倍分關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)用字母表示角度，則它們的數(shù)量關(guān)系就更加明顯，使問(wèn)題解決更加方便.今天讓我們?cè)诜匠趟枷敕椒ㄏ缕肺督瞧椒志€.

師：這里的未知數(shù)x，y的值我們并沒(méi)有求，那他們的作用是什么？

生：輔助未知數(shù).

師：為了方便記憶、理解和積累經(jīng)驗(yàn)，把這幅圖也起個(gè)名字.這是三角形的兩條內(nèi)角平分線，我們就叫它“二內(nèi)”吧.有“二內(nèi)”，則會(huì)有什么？

生：“二外”.

【設(shè)計(jì)意圖】在眾多方法說(shuō)完之后，又是一個(gè)追問(wèn)“還有其他方法嗎？”當(dāng)學(xué)生陷入深思的時(shí)候，他們正處在“憤”“悱”狀態(tài)，教師的一個(gè)提示，一個(gè)點(diǎn)撥，讓學(xué)生的思維激起浪花.一道舊題目，給出了新做法，讓三角形中的計(jì)算與二元一次方程組兩部分知識(shí)波相遇形成了思維的共振效果.同時(shí)，也為解決下面的問(wèn)題打開(kāi)了思維的閥門(mén)，既是幫助學(xué)生理解記憶，又為后面串題成線做好思維的導(dǎo)火線.

問(wèn)題2：在△ABC中，∠A=n.如圖4，△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分線相交于點(diǎn)O′，求∠BO′C的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）.

圖4

筆者把“二內(nèi)”“二外”兩幅圖畫(huà)在一起，即如圖5所示.

圖5

師：哪位同學(xué)愿意做小老師到臺(tái)上來(lái)講？

生6：設(shè)∠O′BC=x，∠O′CB=y，則∠CBD=2x，∠BCE=2y.得到兩個(gè)方程：x+y+∠BO′C=180°①，∠A+（180°-2x）+（180°-2y）=180°②.消去x，y，解得

師：兩道非常熟悉的問(wèn)題，在新視角下，對(duì)它們卻有了全新的認(rèn)識(shí).在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要慢慢學(xué)會(huì)像這樣把所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行整合重組，以便提升自己解決問(wèn)題的能力.觀察問(wèn)題1與問(wèn)題2的結(jié)論，有何發(fā)現(xiàn)？

觀察片刻后，有學(xué)生提出：∠BOC與∠BO′C互補(bǔ).

師：為什么呢？

生7：我是看兩個(gè)角的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)角的和是180°.

師：不錯(cuò)，能不能結(jié)合圖形給出證明？

生8到黑板上給出證明，證明過(guò)程略.

師：誰(shuí)能結(jié)合平時(shí)的解題，提出與三角形角平分線相關(guān)的問(wèn)題來(lái)嗎？

生9：如圖6，BP，CP分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF的平分線，∠A=n，求出∠P的度數(shù).

師：太棒了，誰(shuí)能解決這道題？

圖6

筆者把生9所說(shuō)圖形與圖5畫(huà)在了一起，所以呈現(xiàn)在黑板上的是圖7.

圖7

生10到講臺(tái)上運(yùn)用∠ACF，∠PCF分別是△ABC，△PBC的外角，結(jié)合方程組很快解決了問(wèn)題.得∠P=

【設(shè)計(jì)意圖】部分學(xué)生能自如地用方程解決熟悉的問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)把方程思想同化到自己的知識(shí)體系中了.學(xué)生感嘆方法的簡(jiǎn)潔，說(shuō)明學(xué)生認(rèn)可這個(gè)方法，同時(shí)讓學(xué)生感到知識(shí)的重組意義多么重大.這正是復(fù)習(xí)課的意義與價(jià)值所在.

師：你們發(fā)現(xiàn)∠P與∠O′的關(guān)系了嗎？為什么？

生11：由剛才的討論可知，△BPO′是直角三角形，所以∠P與∠O′互余.從表達(dá)式也可以看出這一點(diǎn).

師：很好，從數(shù)、形角度都能看出這一點(diǎn).有一點(diǎn)要做補(bǔ)充說(shuō)明：圖7中，CO′，CP分別是∠BCE，∠ACF的平分線，△BPO′與點(diǎn)B，點(diǎn)O′，點(diǎn)C，點(diǎn)P四個(gè)點(diǎn)有關(guān)，想想這里有一個(gè)什么問(wèn)題需要交待？

生：O′，C，P三點(diǎn)共線.

生12：CO′，CP分別是對(duì)頂角∠BCE，∠ACF的角平分線，對(duì)頂角的平分線在同一直線上.

師：很好.這是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)魅力的彰顯.到此，我們運(yùn)用方程思想，將熟悉的結(jié)論重新梳理，將熟悉的圖形重新整合，發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性.把一個(gè)個(gè)零散的題目、結(jié)論串起來(lái)，有助于我們的記憶和掌握，更有助于提高學(xué)習(xí)能力，希望同學(xué)們將這種學(xué)習(xí)的方法成為一種經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣.

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)是對(duì)熟悉的結(jié)論進(jìn)行重組和整合，不僅提高了學(xué)生的思維能力，也是在暗示學(xué)生學(xué)會(huì)整合知識(shí)，注意知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，有助于理解與記憶，這是學(xué)習(xí)方法也是經(jīng)驗(yàn)積累.

師：剛才都是在三角形中研究問(wèn)題，我們還要在四邊形、多邊形中研究；剛才是研究了角的平分線問(wèn)題，我們還要研究角的三等分線、四等分線……

后面的教學(xué)進(jìn)程，就是把角平分線問(wèn)題推廣到四邊形等多邊形中，在方程思想的浸潤(rùn)之下，逐一解決.其中有部分問(wèn)題是學(xué)生編寫(xiě)的.

師：時(shí)間過(guò)得真快，我們合作了一節(jié)課，同學(xué)們表現(xiàn)很出色.我們要通過(guò)這節(jié)課學(xué)會(huì)在復(fù)習(xí)的過(guò)程中整合曾經(jīng)做過(guò)的題目，學(xué)會(huì)串題成線；重組學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)方法，在這些數(shù)學(xué)思想和方法的指導(dǎo)下編織知識(shí)線條，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并逐步養(yǎng)成良好的思維方式和習(xí)慣，相信你們到收獲結(jié)果的時(shí)候一定能滿載而歸！

【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)課堂教學(xué)運(yùn)行到這里，已經(jīng)下課了，沒(méi)有時(shí)間把思維的天地推廣到n邊形，更沒(méi)有時(shí)間推廣到三等分線、四等分線等，甚至連給學(xué)生自我總結(jié)的時(shí)間都沒(méi)有，筆者只能自己總結(jié)，點(diǎn)出本節(jié)課的設(shè)計(jì)意圖.

二、教后思考

1.在知識(shí)方法交會(huì)融合處，提升學(xué)生能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中明確提出，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要關(guān)注知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和延伸點(diǎn)，把每節(jié)課的知識(shí)置于整體知識(shí)體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系.所以，教師在教學(xué)過(guò)程中，要用整體的意識(shí)、理念引領(lǐng)自己的教學(xué)行為，復(fù)習(xí)課教學(xué)亦如此.用整體的教學(xué)目光看，前面所學(xué)知識(shí)方法為后面的學(xué)習(xí)做鋪墊，后面的知識(shí)往往又能反過(guò)來(lái)促進(jìn)前面知識(shí)的深入理解與提升，相輔相成，互相促進(jìn)，使學(xué)習(xí)呈螺旋上升的態(tài)勢(shì).

這種態(tài)勢(shì)讓我們思考：在復(fù)習(xí)課中，我們除了構(gòu)建一章章知識(shí)框架外，除了講練習(xí)題外，除了糾錯(cuò)外，還要做什么？筆者認(rèn)為，既然后繼學(xué)習(xí)的知識(shí)方法能為前面所學(xué)知識(shí)注入新的思維活力，那么在復(fù)習(xí)時(shí)，需要用后來(lái)學(xué)過(guò)的方法重新審視曾經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題，并在此過(guò)程中，將曾經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題重新整合，讓它們由原來(lái)的點(diǎn)狀零散分布，到線狀甚至片狀分布，讓學(xué)生有耳目一新之感，讓學(xué)生感覺(jué)復(fù)習(xí)課不再枯燥，更是提升學(xué)生認(rèn)知能力、思維能力的契機(jī)，是對(duì)教師教學(xué)設(shè)計(jì)的挑戰(zhàn).

以本節(jié)課為例，在知識(shí)方法的交會(huì)處，我們可以聽(tīng)到思維拔節(jié)的聲音.上課前，在筆者把學(xué)案下發(fā)之后，就聽(tīng)到不少學(xué)生在下面竊竊私語(yǔ)：這些題目我們以前都做過(guò)，又是它們！但在課中，卻不時(shí)聽(tīng)到“這個(gè)方法好簡(jiǎn)潔！”的感嘆，這是學(xué)生積極情態(tài)的反映，他們還會(huì)有“復(fù)習(xí)課沒(méi)意思”的想法嗎？另外，在教師的點(diǎn)撥之下，學(xué)生能夠自如地把角平分線與方程（組）內(nèi)容交織于一體，這不僅是對(duì)解決幾何圖形能力的提高，也是促進(jìn)方程模型思想的建立，展示了數(shù)學(xué)知識(shí)方法的相輔相成，水乳交融.這種學(xué)生思維的拔節(jié)態(tài)勢(shì)，反映出學(xué)生的解題能力、思維能力就在這個(gè)點(diǎn)上得到提升.

培養(yǎng)學(xué)生重組知識(shí)，要先從教師開(kāi)始，教師不但要有這個(gè)意識(shí)，更要有行動(dòng).這需要教師要懷著整體教學(xué)的意識(shí)，沉下心、研教材、深思考，才能具備一雙發(fā)現(xiàn)知識(shí)交會(huì)的眼睛，才能改進(jìn)自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，提升自己，成就學(xué)生.

2.在師生的角色交會(huì)互換中，提升學(xué)生能力

《標(biāo)準(zhǔn)》中還明確指出，教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，為學(xué)生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件.筆者認(rèn)為，教師的這“三者”角色，不僅體現(xiàn)在課前的教學(xué)設(shè)計(jì)上，還要體現(xiàn)在具體的教學(xué)活動(dòng)中.

在本節(jié)課中，在學(xué)生能講題的地方，筆者都給了學(xué)生上臺(tái)表演的機(jī)會(huì)；學(xué)生能編題的地方，筆者鼓勵(lì)學(xué)生編寫(xiě)題目，這時(shí)學(xué)生是小老師.相反，在學(xué)生講、解題的時(shí)候，最需要幫助之處、最需要點(diǎn)撥之地，筆者給他們一架梯子，還原教師角色.本節(jié)課就是在教師與學(xué)生的角色交會(huì)互換中，讓學(xué)生成為主人，在實(shí)現(xiàn)主人翁的挑戰(zhàn)中，除了有新發(fā)現(xiàn)，更增添一份自信.讓學(xué)生做主人，這既會(huì)給課堂帶來(lái)意外的生成，更能提升學(xué)生的思維和表達(dá)能力等綜合素質(zhì).

具體來(lái)說(shuō)，從講題角度，對(duì)于“二內(nèi)”這個(gè)基本圖形及基本結(jié)論（如圖1中，∠BOC=90°+的教學(xué)，幾乎都是學(xué)生充當(dāng)小老師的角色在講解，而筆者不斷地提問(wèn).在讓他們做小老師的同時(shí)，筆者更期盼方程思路能從學(xué)生口中流露，可是事與愿違.在這過(guò)程中，產(chǎn)生了意想不到的生成：復(fù)習(xí)了三角形角平線相交于一點(diǎn)并隨之產(chǎn)生解決這道題的另一思路.在這時(shí)，筆者恢復(fù)教師的身份，因勢(shì)利導(dǎo)，給了他們思維一個(gè)“支點(diǎn)”.雖然在這個(gè)環(huán)節(jié)里花了不少時(shí)間，筆者課前的教學(xué)預(yù)設(shè)也沒(méi)能完成，但筆者決不因?yàn)榍懊鏁r(shí)間花長(zhǎng)了而后悔，因?yàn)檎窃谶@個(gè)民主的過(guò)程中，學(xué)生積極思考、求知求真的積極情態(tài)得到了激發(fā).

從答題角度，教學(xué)常態(tài)是教師拋出問(wèn)題，學(xué)生解答問(wèn)題.其實(shí)，我們也可以在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候讓學(xué)生自己編寫(xiě)題目，這不但讓學(xué)生有主人翁的感覺(jué)，更重要的是，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)得到了培養(yǎng)，這一點(diǎn)在復(fù)習(xí)過(guò)程中，價(jià)值更加可觀.例如，在本節(jié)課中，“一內(nèi)一外”問(wèn)題的提出，以及把方程思想推廣到四邊形時(shí)，其中部分問(wèn)題，都是來(lái)自學(xué)生之口.學(xué)生在編寫(xiě)的過(guò)程中，已經(jīng)自覺(jué)、不自覺(jué)地串題成“線”，整合重組所學(xué)內(nèi)容，逐步達(dá)到“會(huì)一題，通一類”的境界.課堂的最后，雖然對(duì)學(xué)生提出的在“n邊形和角的三等分線、四等分線”的話題沒(méi)有時(shí)間解決，但是已經(jīng)給了學(xué)生思維飛翔的翅膀.

在復(fù)習(xí)課中，只有教師對(duì)知識(shí)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，才能有學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造；在復(fù)習(xí)課中，只有學(xué)生真正參與的課堂，才是靈動(dòng)的課堂，不僅有教師的預(yù)設(shè)，更有來(lái)自學(xué)生寶貴的生成.在教師的預(yù)設(shè)中，學(xué)生向教師學(xué)習(xí)；在學(xué)生的生成中，教師可以向?qū)W生學(xué)習(xí).課堂是思維碰撞的場(chǎng)所，為營(yíng)造這樣的場(chǎng)所需要教師和學(xué)生一起努力.

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］符永平.老歌新唱淺印深痕：“發(fā)現(xiàn)式復(fù)習(xí)課型”操作體系科學(xué)構(gòu)建的研究與實(shí)踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2009（11）：27-30.

［4］姜曉剛.基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的三角形的中位線定理的探究：一節(jié)江蘇省“教學(xué)新時(shí)空”研討課的設(shè)計(jì)與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（10）：56－59．

［5］鄔云德.寓“過(guò)程教育”于“認(rèn)識(shí)不等式”教學(xué)探索及反思［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（1/2）：68-70.

［6］孫慶民，于彬.基于“導(dǎo)學(xué)·反思”教學(xué)法的教學(xué)案例及幾點(diǎn)思考：以“平行四邊形的性質(zhì)（第一課時(shí)）”為例［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（6）：46-49.

［7］于彬.基于“兩人制暑期集中課例打磨”的實(shí)踐與思考：以“圓（第一課時(shí)）”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（10）：12-14.

2016—08—15

姜鴻雁（1975—），女，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事課堂教學(xué)研究.