王華（江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)石馬中學）

教應有理學需思辨
——基于超經(jīng)驗數(shù)學研究的“無理數(shù)”教學設計

王華（江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)石馬中學）

無理數(shù)的無限不循環(huán)特性超出了日常生活經(jīng)驗的范圍，學生難以真正理解.面對這樣沒有實際情境的數(shù)學內(nèi)容（超經(jīng)驗數(shù)學），本節(jié)課的設計通過尋找純數(shù)學情境，建立數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生感受不可公度量，“造”無理數(shù)，理性證明無理數(shù)等，進而使教與學有理有據(jù).

無理數(shù)；超經(jīng)驗數(shù)學；生活情境；純數(shù)學情境

一、問題提出

一直以來，中小學數(shù)學課堂習慣于通過創(chuàng)設一系列的生活情境，以引發(fā)學生的態(tài)度體驗，從而幫助學生理解所學內(nèi)容.但是有一些內(nèi)容超出學生的認知范圍，是學生已有經(jīng)驗之外的，僅憑現(xiàn)實生活情境無法達到的數(shù)學，即超經(jīng)驗的數(shù)學知識，如無理數(shù).由于無法找到實際生活中的情境，往往這部分知識的教學演變成了教師的單向輸出，學生只是被動的接受，為了掌握一個概念甚至只能死記硬背.筆者經(jīng)常思索：這樣的教學能給學生留下些什么呢？還有沒有更好的方式進行這部分內(nèi)容的教學呢？

近一段時間，張奠宙教授在“中國數(shù)學教育之友初中”群里提出并持續(xù)發(fā)起了關(guān)于“超經(jīng)驗數(shù)學”的交流與研討.筆者有幸參與其中，認真學習并領(lǐng)會張教授關(guān)于超經(jīng)驗數(shù)學的論述，現(xiàn)結(jié)合自己的教學實踐，基于超經(jīng)驗數(shù)學研究，以“無理數(shù)”為例進行教學設計.

二、教材分析

1.教學內(nèi)容分析

如圖1所示.

圖1

2.教學目標及重點、難點

三、教學過程

1.體驗可公度量，定義有理數(shù)

活動1：兩條線段a和b，能否找到第三條線段c，將線段c當做尺子，使其能以整數(shù)次量完線段a和b？

（1）a=6，b=10；

（2）a=0.7，b=1；

（3）教師簡單介紹用輾轉(zhuǎn)相減法說明上述線段公度.

輾轉(zhuǎn)相減法：用大數(shù)減小數(shù)，做一系列減法.例如，（1）10-6=4，6-4=2，4-2=2，2-2=0，即（10，6）→（6，4）→（4，2）→（2，2）最后相減為0；（2）1-0.7=0.3，0.7-0.3=0.4，0.4-0.3=0.1，0.3-0.1=0.2，0.2-0.1=0.1，0.1-0.1=0，即（1，0.7）→（0.7，0.3）→（0.4，0.3）→（0.3，0.1）→（0.2，0.1）→（0.1，0.1），最后相減為0.若上述線段最后相減為0，則兩條線段可公度.

師生活動預設：學生自主探究，問題（1）中c為2時，分別3次、5次量完線段a和b，得問題（2）中c為0.1時，分別7次、10次量完a和b，得教師簡單介紹輾轉(zhuǎn)相減法，進一步理解可公度量.進而教師引導：能夠?qū)懗桑╩，n為整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù).

【設計意圖】很長時間以來，人們一直相信任意兩數(shù)之比可以轉(zhuǎn)化為兩整數(shù)之比，在幾何上表現(xiàn)為對于任意兩條線段，必定存在第三條線段，也許很短，使其能整數(shù)次的度量完兩條線段.活動1的設置是想讓學生經(jīng)歷兩條線段可公度的過程，從而定義：我們把能寫成（m，n為整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)，并且體驗任意兩條線段都是可公度的（盡管這是錯誤的），為不可公度量的研究做知識上的鋪墊.

2.感受不可公度量，“發(fā)現(xiàn)”無理數(shù)

活動2：將兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，可以拼成一個大正方形，求大正方形的邊長.此時，能否找到第三條線段，使其能以整數(shù)次量完大正方形的邊長和小正方形的邊長1.

閱讀：（1）用輾轉(zhuǎn)相減法求正方形的邊與對角線的公度，發(fā)現(xiàn)公度根本不存在.

如圖2，BC是正方形的一邊，AC是對角線，現(xiàn)求兩者的公度，先作一次截取：在AC上截取CD=BC，AC截取CD后剩下的一段為AD；第二次截?。鹤鯠E⊥AC交AB于點E，易知AD=DE=EB，將BC轉(zhuǎn)化為AB，相當于對BC（實際是AB）作了一次截取，即截BE=AD，剩下線段AE.而剩下的AE正好是以AD為邊的正方形的對角線.于是情況又和開始時一樣，以下的步驟只是重復上述方式，這種重復永遠不會完結(jié).因此不可能存在公度，即AC與AB不可公度.

圖2

（2）正五邊形、不可公度及無理數(shù).

從圖3中看出來，正五邊形的一邊長度和對角線長不可公度.所謂可公度的思想，其來源是求兩整數(shù)的最大公約數(shù).a除以b得余數(shù)r，繼續(xù)輾轉(zhuǎn)相除，若到某一步的余數(shù)為0，即除盡.兩數(shù)a，b可公度相當于有“最小公約數(shù)”d.但是圖中說明，從五邊形A1A2A3A4A5到B1B2B3B4B5，再到C1C2C3C4C5，……，這樣的過程永遠不會完結(jié)，即說明正五邊形的對角線和邊長不可公度.師生活動預設：學生自主閱讀，教師適時解讀、點撥，進而讓學生知道大正方形的邊長和小正方形的邊長1是不可公度的，也就是說是無法“量”出來的，從而感受閱讀材料中圖形構(gòu)造的巧妙及前人的智慧.

圖3

【設計意圖】在不少學生看來，有理數(shù)已經(jīng)非常“完美”了，何必要引入無理數(shù)呢？除非有充分的理由，而這個理由就是不可公度量的存在.只有讓學生真正感受不可公度量的存在，才能切身的體會到無理數(shù)學習的必要性.但是這個過程又是非常之難，因為不可公度量的發(fā)現(xiàn)本身就是一段傳奇.這里通過師生共話一段閱讀材料，回顧歷史上不可公度量的發(fā)現(xiàn)，幫助學生理解不可公度量的存在.

師生活動預設：

師：我們知道，平方后等于2的數(shù)應該是一點幾，請大家先找一個平方后接近2的小數(shù).

生：1.5.

師：1.52=2.25，比2大.再找一個.

生：1.4.

師：1.42=1.96，比2小了.這說明什么？

師：再找.

生：1.41.

師：1.412=1.9881，比2小，再找.

生：1.42.

師：1.422=2.0164，比2大了，這說明什么.

師：繼續(xù)找.

生：1.414.

師：1.4142=1.999396，比2小，再找.

生：1.415.

師：1.4152=2.002225，比2大了，這又說明什么.

師：還能再找嗎？

生：能！

師：按照這樣的方法我們就可以不斷地找下去，找到的數(shù)的平方會越來越接近2，那么到底等于多少呢？

師：觀察計算機的演算結(jié)果，同學們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)算了這么多還沒有算完.

生：我發(fā)現(xiàn)其結(jié)果到目前為止沒有出現(xiàn)循環(huán).

師：它們真的是沒完沒了，又不循環(huán)嗎？那我們接著繼續(xù)研究.

活動4：構(gòu)造一個無限不循環(huán)小數(shù).

師生活動預設：

師生共同尋找，如可以寫這樣一個數(shù).

d=0.10100100010000…（相鄰兩個1之間依次多一個0）.

生：這個數(shù)帶有某種規(guī)律，但肯定是不循環(huán)的無限小數(shù).

師：為什么是不循環(huán)的？

生：如果是循環(huán)小數(shù)，那么一定有有限長的循環(huán)節(jié).例如，說是一個100位循環(huán)節(jié).可是數(shù)d的兩個1之間的0，可以不斷增加，等到兩個1之間出現(xiàn)很多0.例如，一萬個0的時候，那時將出現(xiàn)一個循環(huán)節(jié)里的數(shù)全部是0的情況.循環(huán)節(jié)里都是0，那等于說，某位以后的各個數(shù)位全是0，即成了有限小數(shù)了.這和d的構(gòu)造不符.所以，它不能有循環(huán)節(jié).

學生嘗試構(gòu)造其他類似的無限不循環(huán)小數(shù).

教師總結(jié)：我們把這樣的無限不循環(huán)小數(shù)稱之為無理數(shù).

師：早在公元前5世紀古希臘的希帕索斯就是這樣證明的.敘述不多，理解不難，卻很有說服力，我們把這種方法稱為反證法.

其實反證法并不神秘.蘇軾有一首《琴詩》就是用反證法模式說理的.

若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴？若言聲在指頭上，何不于君指上聽？

詩意可以寫成如下的命題：琴聲不在琴上.

用反證法證明.假設“琴上有琴聲”，那么琴放在匣中應該“鳴”.然而這和琴放在匣中的“不鳴”的事實矛盾.因此假設“琴上有琴聲”是錯的.原命題正確.證畢.

5.回顧探究過程，提煉學習心得

活動6：說一說現(xiàn)在你理解的無理數(shù).

師生活動預設：

師生小結(jié)：（1）無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，理解無理數(shù)涉及無限，是量不出來的.

【設計意圖】通過讓學生說出自己關(guān)于無理數(shù)的理解，暢談學習中的所思所想，從數(shù)學知識、數(shù)學素養(yǎng)等維度去感受無理數(shù)學習的價值.

四、教學反思

無理數(shù)作為超經(jīng)驗的數(shù)學知識，教師是無法找尋到一個匹配的生活情境的.因而無理數(shù)的學習必須遵循數(shù)學內(nèi)在的發(fā)展規(guī)律，尋找數(shù)學自身內(nèi)部的需要，創(chuàng)設合理的數(shù)學情境，既要讓學生了解什么樣的數(shù)是無理數(shù)，即學習無理數(shù)相關(guān)的知識，更要發(fā)揮無理數(shù)的教育功能，讓學生感受歷史上無理數(shù)概念形成的艱辛，體驗人類孜孜不倦的探索精神，并感悟人類理性獲得最終勝利的震撼.數(shù)學來自實踐，但是又高于實踐.數(shù)學教學應該注意現(xiàn)實生活情境的創(chuàng)設，但是不必要也不可能每堂課的內(nèi)容都有生活情境作為背景，很多內(nèi)容只能以純粹的數(shù)學情境來引入.因此，無理數(shù)的教學要注意以下要點.

（1）無理數(shù)有現(xiàn)實模型，如單位正方形的對角線，這是學習無理數(shù)的入口.

（3）一般地，無理數(shù)的定義是無限不循環(huán)小數(shù).學生應當知道的“無限”不循環(huán)過程是超經(jīng)驗的，無論計算多少位都不會完結(jié).

（4）無理數(shù)可以人為地“造出來”，這是超經(jīng)驗的理性思維.

（6）希帕索斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)是人類理性思維的勝利.

（7）正五邊形的邊長與其對角線的不可公度性是一個傳奇的故事，值得一讀.

本設計僅在于為“無理數(shù)”這一超經(jīng)驗知識提供一種新的教學思路，通過讓學生經(jīng)歷“不可公度量—無限不循環(huán)—論證是無理數(shù)”的過程，從而把握無理數(shù)概念發(fā)展的每一個“節(jié)點”，直面認知難點，從而讓學生真正理順和講清無理數(shù)的概念，并且感受理性思辨（如反證法）在獲取數(shù)學知識中的重要作用.當然，對于無理數(shù)等超經(jīng)驗數(shù)學的理解不可能一蹴而就，通過本設計以期讓學生循著一條正確的道路，慢慢的琢磨，不斷的加深.例如，其中體現(xiàn)出來的理性思辨甚至應貫穿整個的中學階段.

數(shù)學教師應當創(chuàng)造一種使問題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境.超經(jīng)驗的教學也應當是創(chuàng)設好的數(shù)學情境，進而提出問題.弗萊登塔爾說過，數(shù)學是人的一種活動，如同游泳，要在游泳中學會游泳，我們必須在創(chuàng)造數(shù)學中學習數(shù)學.在浩瀚的數(shù)學歷史中沿著古人的探索腳步，尋找和設計好的問題，不失為進行超經(jīng)驗教學的一種策略.本文問題的設計，環(huán)環(huán)緊扣，很好地引領(lǐng)學生經(jīng)歷無理數(shù)從發(fā)現(xiàn)到發(fā)展過程中的艱辛曲折，讓學生感受無理數(shù)發(fā)現(xiàn)中一絲不茍的純粹理性，從而將超經(jīng)驗的無理數(shù)置身于自然延伸的數(shù)學歷史長河之中“再創(chuàng)造”的數(shù)學學習.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2016—09—10

王華（1983—），男，中學一級教師，主要從事數(shù)學課堂實效性和解題研究.