王華（江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)石馬中學(xué)）

教應(yīng)有理學(xué)需思辨
——基于超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的“無(wú)理數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

王華（江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)石馬中學(xué)）

無(wú)理數(shù)的無(wú)限不循環(huán)特性超出了日常生活經(jīng)驗(yàn)的范圍，學(xué)生難以真正理解.面對(duì)這樣沒(méi)有實(shí)際情境的數(shù)學(xué)內(nèi)容（超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)），本節(jié)課的設(shè)計(jì)通過(guò)尋找純數(shù)學(xué)情境，建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生感受不可公度量，“造”無(wú)理數(shù)，理性證明無(wú)理數(shù)等，進(jìn)而使教與學(xué)有理有據(jù).

無(wú)理數(shù)；超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)；生活情境；純數(shù)學(xué)情境

一、問(wèn)題提出

一直以來(lái)，中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂習(xí)慣于通過(guò)創(chuàng)設(shè)一系列的生活情境，以引發(fā)學(xué)生的態(tài)度體驗(yàn)，從而幫助學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容.但是有一些內(nèi)容超出學(xué)生的認(rèn)知范圍，是學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)之外的，僅憑現(xiàn)實(shí)生活情境無(wú)法達(dá)到的數(shù)學(xué)，即超經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，如無(wú)理數(shù).由于無(wú)法找到實(shí)際生活中的情境，往往這部分知識(shí)的教學(xué)演變成了教師的單向輸出，學(xué)生只是被動(dòng)的接受，為了掌握一個(gè)概念甚至只能死記硬背.筆者經(jīng)常思索：這樣的教學(xué)能給學(xué)生留下些什么呢？還有沒(méi)有更好的方式進(jìn)行這部分內(nèi)容的教學(xué)呢？

近一段時(shí)間，張奠宙教授在“中國(guó)數(shù)學(xué)教育之友初中”群里提出并持續(xù)發(fā)起了關(guān)于“超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)”的交流與研討.筆者有幸參與其中，認(rèn)真學(xué)習(xí)并領(lǐng)會(huì)張教授關(guān)于超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)的論述，現(xiàn)結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，基于超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)研究，以“無(wú)理數(shù)”為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

二、教材分析

1.教學(xué)內(nèi)容分析

如圖1所示.

圖1

2.教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)、難點(diǎn)

三、教學(xué)過(guò)程

1.體驗(yàn)可公度量，定義有理數(shù)

活動(dòng)1：兩條線段a和b，能否找到第三條線段c，將線段c當(dāng)做尺子，使其能以整數(shù)次量完線段a和b？

（1）a=6，b=10；

（2）a=0.7，b=1；

（3）教師簡(jiǎn)單介紹用輾轉(zhuǎn)相減法說(shuō)明上述線段公度.

輾轉(zhuǎn)相減法：用大數(shù)減小數(shù)，做一系列減法.例如，（1）10-6=4，6-4=2，4-2=2，2-2=0，即（10，6）→（6，4）→（4，2）→（2，2）最后相減為0；（2）1-0.7=0.3，0.7-0.3=0.4，0.4-0.3=0.1，0.3-0.1=0.2，0.2-0.1=0.1，0.1-0.1=0，即（1，0.7）→（0.7，0.3）→（0.4，0.3）→（0.3，0.1）→（0.2，0.1）→（0.1，0.1），最后相減為0.若上述線段最后相減為0，則兩條線段可公度.

師生活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生自主探究，問(wèn)題（1）中c為2時(shí)，分別3次、5次量完線段a和b，得問(wèn)題（2）中c為0.1時(shí)，分別7次、10次量完a和b，得教師簡(jiǎn)單介紹輾轉(zhuǎn)相減法，進(jìn)一步理解可公度量.進(jìn)而教師引導(dǎo)：能夠?qū)懗桑╩，n為整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】很長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)，人們一直相信任意兩數(shù)之比可以轉(zhuǎn)化為兩整數(shù)之比，在幾何上表現(xiàn)為對(duì)于任意兩條線段，必定存在第三條線段，也許很短，使其能整數(shù)次的度量完兩條線段.活動(dòng)1的設(shè)置是想讓學(xué)生經(jīng)歷兩條線段可公度的過(guò)程，從而定義：我們把能寫(xiě)成（m，n為整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)，并且體驗(yàn)任意兩條線段都是可公度的（盡管這是錯(cuò)誤的），為不可公度量的研究做知識(shí)上的鋪墊.

2.感受不可公度量，“發(fā)現(xiàn)”無(wú)理數(shù)

活動(dòng)2：將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形沿對(duì)角線剪開(kāi)，可以拼成一個(gè)大正方形，求大正方形的邊長(zhǎng).此時(shí)，能否找到第三條線段，使其能以整數(shù)次量完大正方形的邊長(zhǎng)和小正方形的邊長(zhǎng)1.

閱讀：（1）用輾轉(zhuǎn)相減法求正方形的邊與對(duì)角線的公度，發(fā)現(xiàn)公度根本不存在.

如圖2，BC是正方形的一邊，AC是對(duì)角線，現(xiàn)求兩者的公度，先作一次截?。涸贏C上截取CD=BC，AC截取CD后剩下的一段為AD；第二次截?。鹤鯠E⊥AC交AB于點(diǎn)E，易知AD=DE=EB，將BC轉(zhuǎn)化為AB，相當(dāng)于對(duì)BC（實(shí)際是AB）作了一次截取，即截BE=AD，剩下線段AE.而剩下的AE正好是以AD為邊的正方形的對(duì)角線.于是情況又和開(kāi)始時(shí)一樣，以下的步驟只是重復(fù)上述方式，這種重復(fù)永遠(yuǎn)不會(huì)完結(jié).因此不可能存在公度，即AC與AB不可公度.

圖2

（2）正五邊形、不可公度及無(wú)理數(shù).

從圖3中看出來(lái)，正五邊形的一邊長(zhǎng)度和對(duì)角線長(zhǎng)不可公度.所謂可公度的思想，其來(lái)源是求兩整數(shù)的最大公約數(shù).a除以b得余數(shù)r，繼續(xù)輾轉(zhuǎn)相除，若到某一步的余數(shù)為0，即除盡.兩數(shù)a，b可公度相當(dāng)于有“最小公約數(shù)”d.但是圖中說(shuō)明，從五邊形A1A2A3A4A5到B1B2B3B4B5，再到C1C2C3C4C5，……，這樣的過(guò)程永遠(yuǎn)不會(huì)完結(jié)，即說(shuō)明正五邊形的對(duì)角線和邊長(zhǎng)不可公度.師生活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生自主閱讀，教師適時(shí)解讀、點(diǎn)撥，進(jìn)而讓學(xué)生知道大正方形的邊長(zhǎng)和小正方形的邊長(zhǎng)1是不可公度的，也就是說(shuō)是無(wú)法“量”出來(lái)的，從而感受閱讀材料中圖形構(gòu)造的巧妙及前人的智慧.

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】在不少學(xué)生看來(lái)，有理數(shù)已經(jīng)非?！巴昝馈绷?，何必要引入無(wú)理數(shù)呢？除非有充分的理由，而這個(gè)理由就是不可公度量的存在.只有讓學(xué)生真正感受不可公度量的存在，才能切身的體會(huì)到無(wú)理數(shù)學(xué)習(xí)的必要性.但是這個(gè)過(guò)程又是非常之難，因?yàn)椴豢晒攘康陌l(fā)現(xiàn)本身就是一段傳奇.這里通過(guò)師生共話一段閱讀材料，回顧歷史上不可公度量的發(fā)現(xiàn)，幫助學(xué)生理解不可公度量的存在.

師生活動(dòng)預(yù)設(shè)：

師：我們知道，平方后等于2的數(shù)應(yīng)該是一點(diǎn)幾，請(qǐng)大家先找一個(gè)平方后接近2的小數(shù).

生：1.5.

師：1.52=2.25，比2大.再找一個(gè).

生：1.4.

師：1.42=1.96，比2小了.這說(shuō)明什么？

師：再找.

生：1.41.

師：1.412=1.9881，比2小，再找.

生：1.42.

師：1.422=2.0164，比2大了，這說(shuō)明什么.

師：繼續(xù)找.

生：1.414.

師：1.4142=1.999396，比2小，再找.

生：1.415.

師：1.4152=2.002225，比2大了，這又說(shuō)明什么.

師：還能再找嗎？

生：能！

師：按照這樣的方法我們就可以不斷地找下去，找到的數(shù)的平方會(huì)越來(lái)越接近2，那么到底等于多少呢？

師：觀察計(jì)算機(jī)的演算結(jié)果，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)算了這么多還沒(méi)有算完.

生：我發(fā)現(xiàn)其結(jié)果到目前為止沒(méi)有出現(xiàn)循環(huán).

師：它們真的是沒(méi)完沒(méi)了，又不循環(huán)嗎？那我們接著繼續(xù)研究.

活動(dòng)4：構(gòu)造一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

師生活動(dòng)預(yù)設(shè)：

師生共同尋找，如可以寫(xiě)這樣一個(gè)數(shù).

d=0.10100100010000…（相鄰兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0）.

生：這個(gè)數(shù)帶有某種規(guī)律，但肯定是不循環(huán)的無(wú)限小數(shù).

師：為什么是不循環(huán)的？

生：如果是循環(huán)小數(shù)，那么一定有有限長(zhǎng)的循環(huán)節(jié).例如，說(shuō)是一個(gè)100位循環(huán)節(jié).可是數(shù)d的兩個(gè)1之間的0，可以不斷增加，等到兩個(gè)1之間出現(xiàn)很多0.例如，一萬(wàn)個(gè)0的時(shí)候，那時(shí)將出現(xiàn)一個(gè)循環(huán)節(jié)里的數(shù)全部是0的情況.循環(huán)節(jié)里都是0，那等于說(shuō)，某位以后的各個(gè)數(shù)位全是0，即成了有限小數(shù)了.這和d的構(gòu)造不符.所以，它不能有循環(huán)節(jié).

學(xué)生嘗試構(gòu)造其他類(lèi)似的無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

教師總結(jié)：我們把這樣的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱(chēng)之為無(wú)理數(shù).

師：早在公元前5世紀(jì)古希臘的希帕索斯就是這樣證明的.敘述不多，理解不難，卻很有說(shuō)服力，我們把這種方法稱(chēng)為反證法.

其實(shí)反證法并不神秘.蘇軾有一首《琴詩(shī)》就是用反證法模式說(shuō)理的.

若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴？若言聲在指頭上，何不于君指上聽(tīng)？

詩(shī)意可以寫(xiě)成如下的命題：琴聲不在琴上.

用反證法證明.假設(shè)“琴上有琴聲”，那么琴放在匣中應(yīng)該“鳴”.然而這和琴放在匣中的“不鳴”的事實(shí)矛盾.因此假設(shè)“琴上有琴聲”是錯(cuò)的.原命題正確.證畢.

5.回顧探究過(guò)程，提煉學(xué)習(xí)心得

活動(dòng)6：說(shuō)一說(shuō)現(xiàn)在你理解的無(wú)理數(shù).

師生活動(dòng)預(yù)設(shè)：

師生小結(jié)：（1）無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，理解無(wú)理數(shù)涉及無(wú)限，是量不出來(lái)的.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)讓學(xué)生說(shuō)出自己關(guān)于無(wú)理數(shù)的理解，暢談學(xué)習(xí)中的所思所想，從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等維度去感受無(wú)理數(shù)學(xué)習(xí)的價(jià)值.

四、教學(xué)反思

無(wú)理數(shù)作為超經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師是無(wú)法找尋到一個(gè)匹配的生活情境的.因而無(wú)理數(shù)的學(xué)習(xí)必須遵循數(shù)學(xué)內(nèi)在的發(fā)展規(guī)律，尋找數(shù)學(xué)自身內(nèi)部的需要，創(chuàng)設(shè)合理的數(shù)學(xué)情境，既要讓學(xué)生了解什么樣的數(shù)是無(wú)理數(shù)，即學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)相關(guān)的知識(shí)，更要發(fā)揮無(wú)理數(shù)的教育功能，讓學(xué)生感受歷史上無(wú)理數(shù)概念形成的艱辛，體驗(yàn)人類(lèi)孜孜不倦的探索精神，并感悟人類(lèi)理性獲得最終勝利的震撼.數(shù)學(xué)來(lái)自實(shí)踐，但是又高于實(shí)踐.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注意現(xiàn)實(shí)生活情境的創(chuàng)設(shè)，但是不必要也不可能每堂課的內(nèi)容都有生活情境作為背景，很多內(nèi)容只能以純粹的數(shù)學(xué)情境來(lái)引入.因此，無(wú)理數(shù)的教學(xué)要注意以下要點(diǎn).

（1）無(wú)理數(shù)有現(xiàn)實(shí)模型，如單位正方形的對(duì)角線，這是學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)的入口.

（3）一般地，無(wú)理數(shù)的定義是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).學(xué)生應(yīng)當(dāng)知道的“無(wú)限”不循環(huán)過(guò)程是超經(jīng)驗(yàn)的，無(wú)論計(jì)算多少位都不會(huì)完結(jié).

（4）無(wú)理數(shù)可以人為地“造出來(lái)”，這是超經(jīng)驗(yàn)的理性思維.

（6）希帕索斯發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)是人類(lèi)理性思維的勝利.

（7）正五邊形的邊長(zhǎng)與其對(duì)角線的不可公度性是一個(gè)傳奇的故事，值得一讀.

本設(shè)計(jì)僅在于為“無(wú)理數(shù)”這一超經(jīng)驗(yàn)知識(shí)提供一種新的教學(xué)思路，通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷“不可公度量—無(wú)限不循環(huán)—論證是無(wú)理數(shù)”的過(guò)程，從而把握無(wú)理數(shù)概念發(fā)展的每一個(gè)“節(jié)點(diǎn)”，直面認(rèn)知難點(diǎn)，從而讓學(xué)生真正理順和講清無(wú)理數(shù)的概念，并且感受理性思辨（如反證法）在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)中的重要作用.當(dāng)然，對(duì)于無(wú)理數(shù)等超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)的理解不可能一蹴而就，通過(guò)本設(shè)計(jì)以期讓學(xué)生循著一條正確的道路，慢慢的琢磨，不斷的加深.例如，其中體現(xiàn)出來(lái)的理性思辨甚至應(yīng)貫穿整個(gè)的中學(xué)階段.

數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造一種使問(wèn)題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境.超經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)也應(yīng)當(dāng)是創(chuàng)設(shè)好的數(shù)學(xué)情境，進(jìn)而提出問(wèn)題.弗萊登塔爾說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是人的一種活動(dòng)，如同游泳，要在游泳中學(xué)會(huì)游泳，我們必須在創(chuàng)造數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).在浩瀚的數(shù)學(xué)歷史中沿著古人的探索腳步，尋找和設(shè)計(jì)好的問(wèn)題，不失為進(jìn)行超經(jīng)驗(yàn)教學(xué)的一種策略.本文問(wèn)題的設(shè)計(jì)，環(huán)環(huán)緊扣，很好地引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷無(wú)理數(shù)從發(fā)現(xiàn)到發(fā)展過(guò)程中的艱辛曲折，讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)中一絲不茍的純粹理性，從而將超經(jīng)驗(yàn)的無(wú)理數(shù)置身于自然延伸的數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河之中“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專(zhuān)家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2016—09—10

王華（1983—），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)課堂實(shí)效性和解題研究.