連春興（北京教育學(xué)院豐臺分院）

李淑英（北京市門頭溝區(qū)大峪中學(xué)西校區(qū)）

“平行四邊形的判定”原來可以這樣教

連春興（北京教育學(xué)院豐臺分院）

李淑英（北京市門頭溝區(qū)大峪中學(xué)西校區(qū)）

為全面探究平行四邊形的判定方法，利用三個(gè)課時(shí)完成“根據(jù)性質(zhì)猜想判定、歸納分類簡約猜想、正誤甄別核實(shí)猜想”三項(xiàng)任務(wù).在這一系列綜合能力的訓(xùn)練中，學(xué)生不僅僅是知識的接受者，而且在教師的幫助下，可以更多扮演知識發(fā)生與發(fā)展的催生者.

探究成因；提出猜想；歸類簡約；甄別正誤

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課，很多時(shí)候要通過問題情境創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)活動，從數(shù)學(xué)的角度思考，借助直覺或合情推理，根據(jù)條件預(yù)測結(jié)果，或根據(jù)結(jié)果探究成因，直至通過演繹推理，以確認(rèn)我們的發(fā)現(xiàn).在這個(gè)過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)活動的實(shí)踐者，是問題解決經(jīng)驗(yàn)的積累者，甚至可以成為新知識的催生者.

但在實(shí)踐中，達(dá)成這樣的理想狀態(tài)談何容易？以“平行四邊形的判定”的教學(xué)為例，如果按照“定理—證明—應(yīng)用”的順序展開，雖然其中也包含學(xué)生的實(shí)踐觀察與思維訓(xùn)練，但由于我們的實(shí)踐平臺、問題設(shè)計(jì)的局限性，學(xué)生很難廣泛參與，下氣力去探究“定理”的成因；同時(shí)由于教學(xué)中基本不涉及命題的證偽，削弱了證明是為了“排除懷疑”的意義，使許多學(xué)生心目中“證明”成了“走過場”.這樣以定理的證明與應(yīng)用為重心的教學(xué)，難免使學(xué)生陷入記憶與模仿的巢臼.

為了改進(jìn)工作，筆者在任教年級對“平行四邊形的判定”的教學(xué)，采用“問題導(dǎo)學(xué)”的方式，按照“根據(jù)性質(zhì)猜想判定、歸納分類簡約猜想、正誤甄別核實(shí)猜想”三個(gè)步驟，進(jìn)行了整體設(shè)計(jì)，雖然歷經(jīng)三個(gè)課時(shí)才完成（在基礎(chǔ)好的學(xué)校可能不必），但實(shí)施過程順利，收到了意想不到的教學(xué)效果.

一、教學(xué)方案

考慮到所教學(xué)校學(xué)生基礎(chǔ)較弱的事實(shí)，我們對導(dǎo)學(xué)的“問題”設(shè)計(jì)得明確具體，以便于學(xué)生的廣泛參與.

第1課時(shí)：由性質(zhì)預(yù)測判定

問題1：如圖1，已知?ABCD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，試用簡潔的符號語言，一一寫出該平行四邊形的性質(zhì).

圖1

預(yù)設(shè)：先由學(xué)生回憶、回答，教師追問依據(jù)，然后整理寫出如下8條結(jié)論.

（1）AB∥CD；

（2）AD∥BC；

（3）AB=CD；

（4）AD=BC；

（5）∠BAD=∠DCB；

（6）∠ABC=∠ADC；

（7）AO=CO；

（8）BO=DO.

【設(shè)計(jì)意圖】過去，我們通常把提問平行四邊形定義、性質(zhì)定理，作為判定新課的引入，這對不善于語言表達(dá)的學(xué)生來說，要求無疑是高的.此處，我們先由學(xué)生寫出符號語言，再由教師追問依據(jù)，“逼出”抽象語言的概括（即使不嚴(yán)格也沒有關(guān)系），無疑降低了學(xué)習(xí)難度，即便是學(xué)生基礎(chǔ)再差，經(jīng)討論湊齊上述8條也是可以做到的.

問題2：問題1告訴我們，如果已知一個(gè)四邊形是平行四邊形，它就具備上述8條，那么，反過來思考，

預(yù)設(shè)：如果學(xué)生認(rèn)為具備上述8條的四邊形是平行四邊形，教師可引導(dǎo)學(xué)生討論，最少具備幾條就可以判斷此四邊形是平行四邊形.相信學(xué)生經(jīng)過討論，一定會發(fā)現(xiàn)一個(gè)四邊形如果滿足上述8條中的（1）（2），根據(jù)定義，就可知這個(gè)四邊形是平行四邊形，還比較容易發(fā)現(xiàn)分別滿足（1）（3），（2）（4），（3）（4），（7）（8）的四邊形也是平行四邊形，教師此時(shí)采用誰發(fā)現(xiàn)誰證明的方式，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.第一節(jié)課完成上述任務(wù)，課后作業(yè)可預(yù)留問題3.

【設(shè)計(jì)意圖】問題2的設(shè)計(jì)，把尋找確認(rèn)一個(gè)四邊形是平行四邊形的判定方法的任務(wù)交給學(xué)生，給學(xué)生廣泛參與、討論搭建一個(gè)適宜的平臺，以強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)主人翁意識.

第2課時(shí)：全面尋找判定方法

問題3：問題2的解決，使我們可以產(chǎn)生這樣的疑惑，即如果一個(gè)四邊形滿足上述8條中的任意兩條，它有沒有可能是平行四邊形？為了全面地、不遺漏地尋找平行四邊形的判定方法，請同學(xué)們試著寫出8條性質(zhì)兩兩組合的所有情況.

預(yù)設(shè)：雖然學(xué)生沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過計(jì)數(shù)方法，但根據(jù)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，完成這28個(gè)組合的羅列，是不困難的，即使羅列不全，稍加提示，也可以解決問題.

【設(shè)計(jì)意圖】如果我們的教學(xué)只功利地瞄準(zhǔn)中考，對問題3的設(shè)定，也許有教師認(rèn)為沒有意義，但此處我們提出“全面而不遺漏地尋找平行四邊形的判定方法”，揭示了研究數(shù)學(xué)問題的一般思路，滲透出解題過程中需要的一種研究問題的心態(tài)，而且問題不難，既立足于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，又著眼于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展和綜合素養(yǎng)的提升，突破了當(dāng)前教學(xué)的局限，其意義是深遠(yuǎn)的.

問題4：在8條性質(zhì)的28個(gè)兩兩組合中，同學(xué)們對滿足（1）（3），（2）（4）的情況，已經(jīng)證明得到判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.那么我們進(jìn)一步觀察，對滿足（1）（5），（1）（6），（2）（5），（2）（6）這四對組合的情況，你能否歸納成一個(gè)命題（猜想）？再進(jìn)一步，你能否把其余各種情況，也仿此做分類歸納？

預(yù)設(shè)：根據(jù)（1）（5），（1）（6），（2）（5），（2）（6）這四對組合可歸納為“一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”.

最后通過小組討論，把28個(gè)組合歸類簡約成如下11個(gè)命題.

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形［（1）（2）］.

（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形［（1）（3），（2）（4）］.

（3）一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形［（1）（4），（2）（3）］.

（4）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形［（1）（5），（1）（6），（2）（5），（2）（6）］.

（5）一組對邊平行,一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形［（1）（7），（1）（8），（2）（7），（2）（8）］.

（6）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形［（3）（4）］.

（7）一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形［（3）（5），（3）（6），（4）（5），（4）（6）］.

（8）一組對邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形［（3）（7），（3）（8），（4）（7），（4）（8）］.

（9）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形［（5）（6）］.

（10）一組對角相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形［（5）（7），（5）（8），（6）（7），（6）（8）］.

（11）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形［（7）（8）］.

【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察歸納，把符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言的能力之于學(xué)好數(shù)學(xué)，是非常重要的能力.對八年級學(xué)生來說，依據(jù)量力性原則，把28種組合的歸納簡約，是證明、證偽的基礎(chǔ)，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)意圖的關(guān)鍵.考慮到過去的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對如此大信息量的問題，進(jìn)行大手筆的觀察歸納的經(jīng)驗(yàn)并不多，所以可以充分發(fā)揮小組討論的作用，必要時(shí)教師幫助完善.

問題5：這11個(gè)命題，除命題（1）（平行四邊形定義）無需證明，命題（2）（6）（11）前面已經(jīng)證明外，對其余7個(gè)命題的真?zhèn)文隳苷鐒e幾個(gè)？請寫出你的結(jié)論.

預(yù)設(shè)：如果按順序排查，學(xué)生通過舉等腰梯形的反例否定命題（3），并證明命題（4）（5），這些問題都不大.第2節(jié)課完成上述任務(wù)，其余命題（7）（8）（9）（10）的排查留待課后思考，下節(jié)課解決.

【設(shè)計(jì)意圖】甄別命題有助于理性精神的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課獨(dú)特育人功能的重要體現(xiàn).此處問題5的設(shè)定，讓學(xué)生親身感受命題有真?zhèn)沃畡e，真命題需要邏輯論證，假命題需要舉反例否定.

第3課時(shí)：辨析命題真?zhèn)?/p>

預(yù)設(shè)：可先由學(xué)生匯報(bào)自己對命題（7）（8）（9）（10）的研究成果，教師點(diǎn)評、糾正、釋疑.在上述4個(gè)命題中，最易解決的當(dāng)屬命題（9），學(xué)生由四邊形兩對角相等，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，較易想到同側(cè)內(nèi)角互補(bǔ)，于是，平行四邊形得證.

命題（7）“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是偽命題，要否定它，學(xué)生舉反例可能遇到困難，教師可提示從為什么“邊、邊、角”不能作為三角形全等判定定理的角度進(jìn)行探究，如圖2所示的方法，即在?ABCD中，作CE=CA（注意點(diǎn)E可能在DA的延長線上，當(dāng)DA與AC不垂直時(shí)一定存在），顯然△DCE與△BAC滿足“邊、邊、角”，但不全等，旋轉(zhuǎn)△BAC至△FEC的位置，即可知四邊形EFCD滿足命題（7）的條件，但非平行四邊形.

圖2

命題（8）“一組對邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形”也是偽命題，反例的構(gòu)造我們可以采用如圖3所示的方法，即在?ABCD中，取BE=BC（同樣點(diǎn)E可能在AC的延長線上），連接DE，則四邊形ABED滿足命題8“一組對邊BE=AD，一條對角線BD被另一條對角線AE平分”的條件，但四邊形ABED非平行四邊形.

圖3

更有趣味和研究價(jià)值的當(dāng)數(shù)命題（10），雖然它不真，但它卻可分別表述為如下一假一真的兩個(gè)命題.

命題A：在四邊形中，連接一組相等對角頂點(diǎn)的對角線被另一條對角線平分，則該四邊形是平行四邊形.

命題B：在四邊形中，一組相等對角所對的對角線被另一條對角線平分，則該四邊形是平行四邊形.

在圖4中，四邊形ABCD是正方形，所以四邊形ABCE滿足命題A的條件，但顯見四邊形ABCE非平行四邊形.所以命題A假，進(jìn)而可知命題（10）假.

圖4

命題B的證明可見圖3，設(shè)∠BAD=∠BCD，BO=OD，若AO≠OC，不妨設(shè)OC＞AO，則可取OC上一點(diǎn)E，滿足AO=OE，此時(shí)，根據(jù)命題（11）真，可知四邊形ABED是平行四邊形.所以∠BAD=∠BED=∠BCD.所以E，C兩點(diǎn)重合.所以四邊形ABCD是平行四邊形.

【設(shè)計(jì)意圖】組織好對命題（7）（8）（9）（10）的排查，無疑是一場“攻堅(jiān)戰(zhàn)”.在這個(gè)過程中，一定有一些學(xué)生感受到證明寫不出、反例也舉不出的糾結(jié)，在這樣反復(fù)思索中，教師要根據(jù)學(xué)生情況，適時(shí)進(jìn)行啟發(fā)、引導(dǎo)，必要時(shí)可講授.但無論如何處理，總不能背離培養(yǎng)學(xué)生研究者的心態(tài)、提升數(shù)學(xué)思維能力的初衷.

二、課后反思

1.教學(xué)設(shè)計(jì)是能否突出學(xué)生主體地位的關(guān)鍵

平心而論，實(shí)施這份教學(xué)方案時(shí)，我們曾經(jīng)擔(dān)心，對于多數(shù)習(xí)慣于被動接受、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般的學(xué)生來說，能否適應(yīng)如此“反常”的教學(xué)？五個(gè)問題的解決過程能否由學(xué)生唱主角？如果憑著教師生拉硬拽、學(xué)生囫圇吞棗地完成學(xué)習(xí)過程，我們的設(shè)計(jì)意圖一定難以實(shí)現(xiàn)，到頭來，恐怕還不如傳統(tǒng)教學(xué)方式（直接講授）簡便易行.實(shí)踐表明，這種擔(dān)心是多余的.

綜觀我們提出的五個(gè)問題，無不具有“入口雖寬，出口卻嚴(yán)”的特征，也許正是由于這個(gè)特征，為基礎(chǔ)參差不齊的全體學(xué)生提供一個(gè)展示自我的平臺，絕大多數(shù)學(xué)生一改“被動接受”的學(xué)習(xí)方式，始終置身于主動學(xué)習(xí)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程中.

對于問題1，幾乎全部由學(xué)困生相互補(bǔ)充完成.

對于問題2，學(xué)生并沒有經(jīng)歷“具備8條，7條，……”的縮減過程，去判斷是否滿足平行四邊形，而是很快發(fā)現(xiàn)滿足（1）（2），即滿足定義.特別是在教師“誰發(fā)現(xiàn)誰舉證”的“政策”激勵(lì)下，學(xué)生興趣盎然，迅速完成了三個(gè)常用判定定理（即命題（2）（6）（11））的證明，第一節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)達(dá)到預(yù)期，滿足了學(xué)習(xí)平行四邊形判定的基本要求.

2.要注意發(fā)揮導(dǎo)學(xué)問題的“路標(biāo)”與“拐杖”功能

回顧我們利用三節(jié)課的時(shí)間，歷經(jīng)“根據(jù)性質(zhì)猜想判定、歸納分類簡約猜想、正誤甄別核實(shí)猜想”三個(gè)階段，解決了五個(gè)問題，反思這五個(gè)問題，它揭示了知識從哪里來，到哪里去，合理發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯（即使自圓其說也無妨），同時(shí)這五個(gè)問題的漸次提出還體現(xiàn)了人們解決此類問題思維活動的合理延伸與心路歷程，所以導(dǎo)學(xué)問題“路標(biāo)”的功能是顯而易見的.

那么，何處體現(xiàn)出“拐杖”的功能？觀察問題1中“性質(zhì)的條目化”，為解決問題2“具備幾條為平行四邊形”提供了備選項(xiàng)；問題2的解決又為問題3提供了“具備兩條可能是平行四邊形”的經(jīng)驗(yàn)；問題3明確了“為全面地、不遺漏地尋找平行四邊形的判定方法”的努力方向，彰顯了“寫出8條性質(zhì)兩兩組合”的意義；問題4的表述更是煞費(fèi)苦心，兩度給出不同組合歸類簡約的示例，其啟發(fā)性的發(fā)問，透漏出教師希望學(xué)生把其他組合也類比簡約的殷殷之情.這些無不體現(xiàn)出系列問題的“拐杖”功能.

憑借這根拐杖的幫助，學(xué)生表現(xiàn)出很高的積極性和創(chuàng)造知識的主人翁意識，雖然沒學(xué)過組合知識，但全班學(xué)生竟然有三分之一以上得到問題3中的28個(gè)組合.對于問題4，按照設(shè)計(jì)意圖，我們組織了學(xué)習(xí)小組的合作研討，在限定時(shí)間內(nèi)，全班6個(gè)小組中，有一組給出28個(gè)組合簡約成11個(gè)命題的合理答案，其余5個(gè)組雖然沒分完，但有3個(gè)組分成的10類中，竟然沒有錯(cuò)誤（看來相對其他問題的解決，觀察歸納能力較為薄弱）.這些都說明，學(xué)生在拐杖的幫助下，有了正常的發(fā)揮.

3.組織好“主題研究”是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、提升能力的重要手段

綜觀學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，一節(jié)課的容量不一定是越多越好，因?yàn)檎嬲睦斫馔鶃碜詫ι贁?shù)主題深入的探討，而不是來自對許多內(nèi)容廣泛的討論.此處我們用三個(gè)課時(shí)研究了一個(gè)問題：尋找平行四邊形的判定方法，表面看內(nèi)容不多，但從問題解決的過程來看，學(xué)生的收獲是多方面的.

其一，一改過去“線性單一的邏輯運(yùn)演、解題訓(xùn)練”模式，經(jīng)歷了“探究成因—提出猜想—?dú)w類簡約—甄別正誤”的全方位綜合訓(xùn)練過程，這恰恰揭示了數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律和一般研究問題的方法，這種規(guī)律性與示范性，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的正面影響不容低估.

其二，隨著5個(gè)問題的相繼解決，學(xué)生必然親歷先見“森林”，后見“樹木”的過程.試想，他們從平行四邊形定義出發(fā)，漸次證明了其余六個(gè)真命題，盡管其中有些真命題我們不能要求學(xué)生作為定理來運(yùn)用，但享受這個(gè)過程，絕不會影響學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識從心理認(rèn)同到邏輯建構(gòu)，感受平行四邊形概念體系的擴(kuò)充，甚至初步領(lǐng)略近代數(shù)學(xué)依靠公理化思想，自身不斷繁衍生息、由“少”到“多”的過程.特別是四個(gè)命題的證偽，使我們的思維活動更加豐滿，能力提升高度空前，這富于挑戰(zhàn)性的思維活動，甚至可能引發(fā)許多學(xué)生的心靈震撼，進(jìn)而被數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、和諧的魅力所折服，這其中蘊(yùn)含著多么深刻的教育價(jià)值！又將產(chǎn)生多么大的后效應(yīng)啊！

其三，三節(jié)課一氣呵成、渾然一體，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，不論一節(jié)課講到哪里，學(xué)生都知道將要發(fā)生什么，自己下一步應(yīng)該干什么，所以在實(shí)踐中，學(xué)生對第一節(jié)、第二節(jié)的課后作業(yè)完成得都較好，這為后續(xù)課的深入討論奠定了基礎(chǔ)，大大提高了教學(xué)效益.雖然三個(gè)課時(shí)都沒有安排平行四邊形判定定理的運(yùn)用練習(xí)，教學(xué)的重心從判定定理的應(yīng)用轉(zhuǎn)向了尋求平行四邊形的判定方法，但實(shí)際上尋求中也有應(yīng)用，特別是我們把定理的成因探究與正誤甄別牢牢地捆在了一起的時(shí)候，學(xué)生享受的是一頓精神大餐.

課后，筆者聽到學(xué)生一些議論，生1：“完成問題4時(shí)，我就沒找著門，在小組同學(xué)的幫助下我才發(fā)現(xiàn)，原來好幾個(gè)組合可以歸納成一句話.看來我們以前把符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言的練習(xí)較少，今后要加強(qiáng).”生2：“雖然我數(shù)學(xué)成績一直不太好，幾個(gè)命題的正誤甄別我只獨(dú)立完成了4個(gè)比較容易的，但我卻明白了一個(gè)道理，一個(gè)命題要么邏輯證明，要么反例否定，否則不能辨其真?zhèn)?”生3：“拿過一個(gè)命題，一開始總想證明它是真命題，受阻時(shí)也往往先懷疑自己沒找到證明的思路，萬般無奈之際，思路才開始游離于證明它和舉反例否定它之間……，最后在老師幫助下，徹底明白了.”生4：“平行四邊形的判定定理書上都寫著呢，老師還非讓我們找，找完了不算數(shù)，還要證，還要否，還要找全，真累??！”

這樸實(shí)無華，甚至有些頑皮的話語，反映出他們真實(shí)的學(xué)習(xí)心態(tài)，這不禁讓筆者突然悟出一個(gè)道理，學(xué)生不應(yīng)該僅僅作為知識的接受者，更重要的是在教師的幫助下，盡可能扮演知識發(fā)生與發(fā)展的催生者、主宰者，這也許正是課堂教學(xué)所追求的至高境界！

［1］連春興.談“平行四邊形判定”的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（1）：66-68.

［2］連春興.再論“問題導(dǎo)學(xué)”［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2015（3）：1-6.

2016—09—01

連春興（1954—），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.在上述8條中，具備幾條就可以判斷此四邊形是平行四邊形？試說明你的發(fā)現(xiàn).