王冰（遼寧省大連教育學院）

趙海英（遼寧省大連市第三十九中學）

以題論“法”以題論“道”
——人教版“等腰三角形”（習題課）教學設(shè)計及其特點

王冰（遼寧省大連教育學院）

趙海英（遼寧省大連市第三十九中學）

以一道典型題的研究為載體，展示幾何問題研究的基本思路和基本方法，體現(xiàn)新課程倡導的以學生為主體，發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的基本理念，追求數(shù)學習題教學的一種境界——不以題論題，而是以題論“法”，以題論“道”.

等腰三角形；習題課；以題論“法”；以題論“道”

數(shù)學習題教學的境界是不以題論題，而是以題論“法”、以題論“道”.這里的“法”，是解答數(shù)學習題的一般方法，這里的“道”，是數(shù)學思想方法.只有以題論“法”，以題論“道”，才能使學生真正把握數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)，提高數(shù)學核心素養(yǎng).

一、教學設(shè)計

1.內(nèi)容和內(nèi)容解析

（1）教學內(nèi)容.

人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊“等腰三角形”習題課.

（2）內(nèi)容解析.

本節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了等腰三角形的概念、性質(zhì)、判定方法，以及等邊三角形相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對等腰三角形進行深入研究.主要內(nèi)容是對教材上的一道典型題（習題13.3第12題）進行橫向拓展和縱向延伸.其中包括兩個環(huán)節(jié)：一是條件不變，發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論，并證明其中的兩個結(jié)論；二是結(jié)論不變，弱化條件，將問題“一般化”，或強化條件，將問題“特殊化”.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點是：以典型題的研究為載體，探索幾何問題的研究思路和研究方法.

2.目標和目標解析

（1）教學目標.

①在題目條件不變的前提下，探索并發(fā)現(xiàn)其他隱含結(jié)論.在結(jié)論不變的前提下，探索使其成立的條件.

②在對題目進行橫向拓展和縱向延伸的過程中，體會分類、轉(zhuǎn)化、類比、一般化、特殊化等數(shù)學思想和數(shù)學方法，進一步理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，提高思維能力.

（2）目標解析.

達成目標①的標志是：學生在題目條件不變的前提下能從不同的角度發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的結(jié)論，并且能對發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進行分類，從而明確探索幾何問題的研究思路.在題目結(jié)論不變的前提下，將問題“一般化”或“特殊化”，探索使其成立的條件.

達成目標②的標志是：學生在探索問題的過程中體會數(shù)學思想方法的作用：分類——使無序變得有序，轉(zhuǎn)化——使復雜變得簡單，類比——思路和方法的遷移，一般化、特殊化——探索問題的一般方法，進而加深對數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)的認識，使思維的廣闊性、深刻性、靈活性等得到鍛煉.

3.教學問題診斷分析

第一個環(huán)節(jié)中，很多學生所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是無序的，而且是不全面的；第二個環(huán)節(jié)中，很多學生不知道首先應該分別從兩個條件入手.其原因是學生沒有真正找到切入點，對幾何問題的研究思路和研究方法沒有清晰的認識.

本節(jié)課的教學難點是：以典型題的研究為載體，探索幾何問題的研究思路和方法.

4.教學支持條件分析

利用幾何畫板軟件，動態(tài)演示圖形變化，加深對圖形本質(zhì)特征的理解.

5.教學過程設(shè)計

引言：前面，我們學習了等腰三角形，研究了它的概念、性質(zhì)和判定，今天我們通過一節(jié)習題課來進一步鞏固等腰三角形的有關(guān)知識.

題目如圖1，△ABC和△DCE均是等邊三角形，且點B，C，E共線.BD與AE，AC分別相交于點P，M，CD與AE相交于點N.求證：BD=AE.

圖1

師生活動：學生獨立思考后，一名學生口述證明過程，教師板書，其他學生說明每一步的證明依據(jù).

【設(shè)計意圖】鞏固特殊的等腰三角形——等邊三角形的概念、性質(zhì)，為后續(xù)深入研究做準備.

（1）探索并證明題目的隱含結(jié)論.

問題1：在不添加任何條件的前提下，你還能得到哪些結(jié)論？

師生活動：教師提出問題，學生將自己發(fā)現(xiàn)的所有結(jié)論都寫在練習本上，教師讓一名學生到黑板上寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，其他學生相互補充.學生得出的結(jié)論主要有：AB=BC=AC，∠EAC=∠DBC，△BMC≌△ANC，AC∥DE，∠DPE=60°，∠BDC=∠AEC，CM=CN，AB∥DC，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，△MCD≌△NCE，∠APB=60°，等等.

【設(shè)計意圖】提出開放性問題，將題目向縱向延伸，讓學生嘗試多角度地發(fā)現(xiàn)結(jié)論，鍛煉學生思維的發(fā)散性.

追問1：剛才，我們找到了這么多的結(jié)論，你能對它們進行分類嗎？分類的依據(jù)是什么？

師生活動：學生獨立思考后進行小組交流，交流重點是：①相互補充；②對結(jié)論進行分類；③說明分類的依據(jù)，充分交流后小組派代表進行匯報.

學生經(jīng)過分類，將全等、角相等、線段相等、平行分別歸為一類.教師點撥，最初我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論時有些是無序的，經(jīng)過分類，就將無序變?yōu)橛行蛄?因此，我們不僅要能夠發(fā)現(xiàn)結(jié)論，更要知道應該從哪個角度去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，即從“形狀、大小、位置”三個角度，而“形狀、大小、位置”正是幾何學的研究對象，也是幾何學的研究本質(zhì).

【設(shè)計意圖】讓學生對發(fā)散的結(jié)論進行梳理，明確發(fā)現(xiàn)結(jié)論的角度，體會分類思想，提升對研究內(nèi)容、本質(zhì)的認識，增強思維的深刻性.

追問2：本節(jié)課我們只證明其中的兩個結(jié)論“∠APB=60°和CM=CN”，其他結(jié)論課后證明.

師生活動：學生口述“∠APB=60°”的證明過程，基本思路是：①（方法1）由題目證明“BD=AE”過程中的△ACE≌△BCD，得出∠EAC=∠DBC，再根據(jù)△AMP和△BMC的兩組角分別相等，得出∠APB=∠BCA=60°.②（方法2）先證明∠DPE=60°，由對頂角相等即可得出∠APB=∠BCA=60°，證明方法與方法1相同，略.“CM=CN”的證明過程寫在練習本上，最后，一名學生利用實物展臺講解證明思路，并展示證明過程，其他學生對其進行評價，并說明其他證明方法.

教師最后指出，平時做相對復雜的題目，如證明“CM=CN”，有的學生感覺沒有思路，覺得缺少證明的條件，其原因主要是他們沒有發(fā)現(xiàn)題中的隱含結(jié)論（此處教師利用課件依次展示圖形中∠EAC=∠DBC，△BMC與△ANC全等；∠BDC=∠AEC，△MCD與△NCE全等；等等，如圖2，3所示）.其實，一旦發(fā)現(xiàn)了這些結(jié)論，并證明其中的重要結(jié)論，復雜問題也就迎刃而解了.可見，前面發(fā)現(xiàn)題中的隱含結(jié)論有多么重要.有時不是我們做不到，而是想不到.

圖2

圖3

【設(shè)計意圖】引導學生用多種方法證明結(jié)論，體會發(fā)現(xiàn)隱含結(jié)論的重要性，進一步感悟轉(zhuǎn)化思想.

（2）拓展并推廣題目的前提條件.

問題2：在題目中，結(jié)論“BD=AE”是在“等邊”“共線”的條件下得到的，這個結(jié)論是否一定需要這么強的條件呢？

師生活動：學生獨立思考后小組交流，小組派代表匯報討論結(jié)果.

預案1：學生認為“點B，C，E可以不共線”.

追問1：為什么？

師生活動：學生很容易想到“因為∠ACB=∠DCE，所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE.所以△BCD和△ACE全等.從而得到BD=AE”.

此時，教師利用課件，動態(tài)展示△DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)的過程（如圖4），顯示出學生所說的兩個全等三角形，并用手指著題目證明的板書過程，與學生一起總結(jié)出“雖然點B，C，E位置變了，但是結(jié)論BD=AE沒有變，而且解題的思路和方法都沒有改變”.

圖4

追問2：類比順時針的旋轉(zhuǎn)，你能猜想一下逆時針旋轉(zhuǎn)的情況嗎？

教師動態(tài)展示△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)的過程，如圖5所示.

圖5

追問3：在以上的探究中∠APB=60°還成立嗎？

追問4：剛才得到的其他結(jié)論是否成立呢？類比共線時的證明，課后探討.

師生活動：教師演示，學生思考，并回答.

【設(shè)計意圖】通過動態(tài)的展示，讓學生進一步感受由“共線”到“不共線”的過程，深刻體會雖然圖形的位置改變了，但是結(jié)論不變，證明的思路和方法也不變，其原因是證明全等的關(guān)鍵條件沒有改變；由順時針旋轉(zhuǎn)到逆時針旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)思維的完整性；對學生的啟發(fā)，由課上到課下，體現(xiàn)思維的延續(xù)性.在整個探究過程中讓學生逐步體會類比、一般化的數(shù)學方法.

預案2：學生認為“可以不是等邊三角形，只要是等腰三角形即可”.

追問1：你是怎么想到的？

師生活動：學生回答“BD=AE的前提是△BCD和△ACE全等”.

追問2：全等的條件是什么？師生活動：學生回答“SAS”.追問3：只要“等腰三角形”就行嗎？還需要滿足什么條件？

師生活動：學生答“頂角相等”.

追問4：必須是頂角相等嗎？

此處若學生發(fā)現(xiàn)“底角相等也可以”.教師要繼續(xù)追問“為什么？”教師點撥，“我們發(fā)現(xiàn)，雖然圖形變了（屏幕展示圖6），但是結(jié)論BD=AE沒有變，而且解題的思路和方法（指向板書過程）也都沒有改變”.

圖6

屏幕顯示題目：如圖6，△ABC和△DCE均是等腰三角形，其中CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE=α，且點B，C，E共線.求證：BD=AE.

【設(shè)計意圖】讓學生在由“等邊”到“不等邊”的過程中，體會雖然圖形的形狀改變了，但是結(jié)論BD=AE沒有改變，證明的思路和方法也沒有改變，其原因是證明全等的關(guān)鍵條件沒有改變；由“等邊”到“等腰”，將問題推廣到一般的情況.在此過程中讓學生進一步體會類比、一般化的數(shù)學思想.

問題3：剛才我們探討了“不共線”可以，“不等邊”也可以，那么既“不共線”又“不等邊”可以嗎？

動態(tài)展示△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)的過程，如圖7所示.

圖7

師生活動：學生發(fā)現(xiàn)可以，原因同前.學生發(fā)現(xiàn)，原來題目中的條件不必是兩個等邊三角形，只要是兩個頂角相等的等腰三角形就可以了，這個問題就更具有一般性了.教師指出，我們不僅要學會發(fā)現(xiàn)結(jié)論，還要抓住圖形的本質(zhì)特征，嘗試著把問題推廣到一般情況.這也是研究問題的思路和方法.

追問1：我們剛才研究問題的思路是將問題“一般化”，還可以怎樣研究呢？

師生活動：學生很容易回答出將問題“特殊化”.

追問2：特殊的等腰三角形還有什么？

師生活動：學生很容易想到等腰直角三角形（屏幕顯示圖8，然后動態(tài)展示），類比剛才的研究思路和方法，學生可以課下研究.

圖8

【設(shè)計意圖】深化問題的研究，增強學生思維的全面性、深刻性.

（3）小結(jié).

教師與學生一起回顧本節(jié)課的學習過程，并讓學生回答以下問題.

①本節(jié)課研究了哪些主要內(nèi)容？

②本節(jié)課研究問題的主要思路是什么？

③在研究過程中體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想和數(shù)學方法？

④對本節(jié)的研究內(nèi)容你還有哪些新的想法？

師生活動：教師提出問題，學生回答.對于問題④，學生可能提出“對于原題目，如果連接MN，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？如果連接PC，還能發(fā)現(xiàn)哪些新結(jié)論？”等等.

【設(shè)計意圖】前兩個問題主要是引導學生從知識內(nèi)容、學習過程、研究方法等方面總結(jié)自己的收獲，并從中體會所運用的數(shù)學思想方法，建立知識之間、方法之間、過程之間、解決問題策略之間的普遍聯(lián)系.第三個問題，主要是拓展學生的思維，使學生不僅能夠分析問題、解決問題，而且還逐漸地學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，學生由“學會”向“會學”“樂學”轉(zhuǎn)變.

（4）作業(yè).

①證明“問題1”中得到的其他結(jié)論.

②探索“問題2”中一般化和特殊化后的結(jié)論，并證明.

③證明“問題3”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，探索并證明“連接PC”后的其他結(jié)論.

【設(shè)計意圖】將問題探索自然延續(xù)到課后，讓學生進一步鞏固本節(jié)課所學內(nèi)容、方法，啟發(fā)學生逐漸體會如何發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題.

6.目標檢測設(shè)計

如圖9，△ABC和△DCE均是等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE.

（1）求證：BD=AE；

（2）若∠BAC=70°，求∠BPE的度數(shù).

圖9

【設(shè)計意圖】考查學生對幾何問題研究方法的掌握程度.

二、設(shè)計特點

這是一節(jié)習題課的教學設(shè)計.傳統(tǒng)的習題課一般是教師將一組題呈現(xiàn)給學生，學生分析題、解答題，總結(jié)解題方法，從而豐富學生的解題經(jīng)驗.本節(jié)課，教師不是以學生會解題為目標，而是以一道典型題為載體，通過對這道題進行橫向拓展和縱向延伸，引導學生學會研究數(shù)學問題的一般方法，學會用上位的數(shù)學思想方法解決一類問題.這樣的設(shè)計，不再是“以題論題”，而是“以題論法”“以題論道”.

本節(jié)課內(nèi)容主要包括兩個環(huán)節(jié)：一是條件不變，發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論，并證明其中的兩個結(jié)論；二是結(jié)論不變，弱化條件，將問題一般化，或強化條件，將問題特殊化.

在第一環(huán)節(jié)中，條件不變，探究更多的結(jié)論.這是一個開放性的問題，開放性的問題本身給學生提供了廣闊的探究空間，也使學生思維發(fā)散性得到很好的鍛煉.對“究竟應從哪個角度發(fā)現(xiàn)新結(jié)論？”的再思考，又可以使學生對無序的發(fā)現(xiàn)過程進行理性分析，這個過程具有方法論意義，學生通過反思，可以深刻地認識到這正是幾何學的研究對象和研究本質(zhì)，進而實現(xiàn)思維由發(fā)散到聚合的飛躍.學生正是在這種發(fā)散與聚合的過程中，感悟研究數(shù)學問題的切入點和一般方法.在第二個環(huán)節(jié)中，條件弱化時，圖形在變，位置在變，圖形和位置都在變，學生在這變的過程中體會不變的本質(zhì)——研究策略、研究方法、研究過程等都是不變的，學生也在這不變的過程中，進一步感悟變的規(guī)律——將條件一般化或特殊化，這也充分體現(xiàn)了數(shù)學思想方法——一般化、特殊化.整節(jié)課，學生在多角度地發(fā)現(xiàn)結(jié)論、多種方法證明結(jié)論、多維度地拓展問題的過程中，可以進一步提高分析問題、解決問題的能力，漸漸地學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題.學生在對眾多結(jié)論的探究角度的分析中，在從他人獲得的結(jié)論與自己結(jié)論的比較與修正中，在變與不變的感悟中，思維的廣闊性、深刻性、批判性、靈活性等品質(zhì)都能得到有效發(fā)展，學生的思維水平和數(shù)學素養(yǎng)也能得到進一步提升.

［1］俞求是，王冰.《義務教育教科書·數(shù)學》教師教學用書（八年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［2］王冰.教材分析：從宏觀到微觀［J］.中學數(shù)學教學參考（中旬），2011（5）：29-31.

［3］王冰.變中出彩［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2008（4）：18-20.

2016—09—30

王冰（1964—），女，中學高級教師，遼寧省特級教師，大連市領(lǐng)軍人才，主要從事初中數(shù)學教學、中考命題及教材編寫研究．