☉江蘇省梅村高級中學(xué) 梅紅

從新知教學(xué)談教學(xué)設(shè)計(jì)

☉江蘇省梅村高級中學(xué) 梅紅

新知教學(xué)與復(fù)習(xí)教學(xué)不同，是一種以教材冰冷的線性材料為主體的創(chuàng)編式教學(xué).對每一位教師而言，新知教學(xué)背景公平，如何將新知教學(xué)演繹到位就需要教師教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)功底了.新知教學(xué)需要講什么？需要向?qū)W生傳遞什么？需要讓教師注重什么？有位老師這么說：教師要把簡單的數(shù)學(xué)教材教得有味道，離不開一定的后期加工.這種加工需要注意三個方面：第一，新知的引入是否合理和到位？牽強(qiáng)的情境會讓整堂課行走在文不對題的道路上；第二，學(xué)生是否做到了思考？這種思考可以是探究，也可以是啟發(fā)式下的引導(dǎo)，只要針對學(xué)情是合理的、恰當(dāng)?shù)模际怯幸饬x的；最后，學(xué)習(xí)新知的收獲在哪里？僅僅小結(jié)是不夠的，要讓學(xué)生頓悟在貌似看不到數(shù)學(xué)的地方發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識，用到了數(shù)學(xué)知識，用數(shù)學(xué)的眼光看待生活，才是最真的收獲.

筆者以《三角函數(shù)誘導(dǎo)公式》一課進(jìn)行一次新知教學(xué)設(shè)計(jì)，跟大家一起探討這種設(shè)計(jì)是否合理、高效？從這樣的設(shè)計(jì)中獲得一些思考，與大家交流.

一、設(shè)計(jì)流程

1.教材分析

本節(jié)課選自普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4第1.3節(jié)，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式作為高中課程中極為重要的一節(jié)內(nèi)容承接著學(xué)生對三角函數(shù)的認(rèn)識，從銳角、鈍角到任意角知識面的擴(kuò)展，從任意角的三角函數(shù)值又回歸到銳角的三角函數(shù)值，一放一收體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想，即由已知所學(xué)去探究未知的領(lǐng)域，又將未知的知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)的知識.在三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)中，化歸思想貫穿始終，無論是在引入任意角的三角函數(shù)值，到將其轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，在整個教學(xué)中滲透了化歸的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步形成化歸的意識.

2.學(xué)情分析

本課授課對象為高一學(xué)生，他們剛剛掌握任意角、弧度制、任意角的三角函數(shù)定義以及三角函數(shù)線相關(guān)知識，能解決一部分相關(guān)問題，具備了繼續(xù)探索任意角三角函數(shù)值的基本功.通過合理的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生將任意角三角函數(shù)的求解轉(zhuǎn)化到銳角范圍內(nèi)求解，在教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，讓學(xué)生獲得知識形成的過程.

3.重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：學(xué)會如何將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，體會把未知問題化歸為已知問題的思想方法.

難點(diǎn)：如何發(fā)現(xiàn)單位圓的對稱性與任意角終邊對稱性的關(guān)系，并利用其關(guān)系由此得到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.

4.教學(xué)流程

（1）課堂引入

引入1：我們初中的時候?qū)W習(xí)了銳角的三角函數(shù)，知道了一些特殊銳角的三角函數(shù)值，如那么對任意的一個銳角你有辦法求出它的三角函數(shù)值嗎？

師生互動：學(xué)生回答，借助電腦、計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算可以得到結(jié)論，而教師以類比對數(shù)中的常用對數(shù)表和自然對數(shù)表，在沒有這些工具的情況下，也能求解其三角函數(shù)值，靠的就是《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》，我們觀察下表中的正弦和余弦部分，我們發(fā)現(xiàn)表中的角度是從0°到90°，即我們可以查到］內(nèi)所有角的三角函數(shù).

引入2：在之前的課中我們將角的概念推廣到了任意角，那么任意角的三角函數(shù)怎么依靠這個表格來得到.（類比對數(shù)的值通過換底公式轉(zhuǎn)換成常用對數(shù)和自然對數(shù)然后借助查詢常用對數(shù)表和自然對數(shù)表得到數(shù)值）

師生互動：表中沒有提供銳角以外的角的三角函數(shù)

值，那么怎么用這個表格查到任意角的三角函數(shù)值呢？這說明了什么呢？我們可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：以此，正式將課程引導(dǎo)到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中，探究如何將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化到銳角的三角函數(shù).

（2）互動探究

探究1：首先，我們回顧下任意角的概念和任意角的三角函數(shù)的定義（過程略）.根據(jù)上節(jié)課所學(xué)，“終邊相等的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此即其中k∈Z，我們可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到［0，2π）內(nèi)的三角函數(shù)值，我們把這組公式稱為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一.

設(shè)計(jì)意圖：公式一的實(shí)質(zhì)就是當(dāng)角的終邊轉(zhuǎn)整圈時，同名三角函數(shù)值是周而復(fù)始的.

探究2：那么現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變到如何將［0，2π）內(nèi)的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到］內(nèi)的三角函數(shù)值，根據(jù)公式一的啟發(fā)，我們尋找三角函數(shù)值的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為尋找角的終邊所具有的某些特殊關(guān)系.公式一的實(shí)質(zhì)就是“當(dāng)角的終邊轉(zhuǎn)整圈時，同名三角函數(shù)值是周而復(fù)始的，那么我們思考下在一些特殊條件下，是否也能得到一些有用的結(jié)論呢？

圖1

問題1：若角的終邊只旋轉(zhuǎn)半圈，那么旋轉(zhuǎn)前后的兩個角的三角函數(shù)有何關(guān)系呢？

師生互動：具體地，如圖1所示，設(shè)角α的終邊OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°到OP1這個位置，則以O(shè)P1為終邊的角與角α的三角函數(shù)有何關(guān)系呢？我們利用三角函數(shù)線和三角形的全等知識可以得到，

sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα.

追問1：如果角α的終邊OP是按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到OP1這個位置，那么得到的結(jié)果又是什么？

順時針旋轉(zhuǎn)180°即相當(dāng)于求-π+α的三角函數(shù)值，由圖像可知，-π+α與π+α角的終邊是相同的，所以由公式一可知，兩者的三角函數(shù)值也是相等的，這就巧妙地運(yùn)用到了公式一.

追問2：那么tan（π+α）與tanα又是什么關(guān)系？我們可以利用剛才得到的兩式相除得到其關(guān)系.

追問2：在公式四的推導(dǎo)過程中，關(guān)鍵因素在于哪里？

關(guān)鍵點(diǎn)在于利用了兩個角的終邊OP與OP1關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.

總結(jié)2：由此，我們可以發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式實(shí)際上就是角的終邊對稱關(guān)系的另一種表現(xiàn)形式而已，即在形的方面表現(xiàn)出來的是角的終邊的對稱性，而在數(shù)的方面表現(xiàn)出來的就是三角函數(shù)的誘導(dǎo)關(guān)系.

問題2：那么我們剛才的一系列操作將第三象限角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到了第一象限角，那么二、四象限角是否也能轉(zhuǎn)換呢？根據(jù)我們剛才探究的過程，同學(xué)們自己來探究下二、四象限角的三角函數(shù)值應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化？

啟發(fā)：由公式四的啟發(fā)，探究任意角的三角函數(shù)值得可以轉(zhuǎn)化成探究角的終邊的對稱關(guān)系，那么當(dāng)兩個角的終邊分別關(guān)于x軸，y軸對稱時，你能總結(jié)出什么結(jié)論呢？

二、設(shè)計(jì)反思

本課的設(shè)計(jì)有幾處值得借鑒之處：

第一，新知的引入樸實(shí)無華，卻處處顯示著三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的“光輝”，因?yàn)檫@里最現(xiàn)實(shí)的問題是銳角之外的角，我們?nèi)绾慰焖偾蠼馄淙呛瘮?shù)值？通過前期的三角函數(shù)線給了我們指導(dǎo)和方向，這是為什么要將誘導(dǎo)公式的原因！相比有些課，這里的引入筆者以為無需情境化，讓學(xué)生思考銳角之外的角如何求解才是最切入主題的引入.

第二，本課探究是承前啟后的，三角函數(shù)線是解決本課的重要知識，其重要性不言而喻，讓學(xué)生作圖探索既回顧知識有運(yùn)用知識解決新問題，可謂一舉兩得.

第三，陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方向，本課中我們能夠?qū)⑷我饨堑娜呛瘮?shù)利用四個誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)值，解決了之前無法計(jì)算的角的值的問題，在整節(jié)課的探究過程中，我們發(fā)現(xiàn)了任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化的問題，本質(zhì)上就是角的終邊的對稱關(guān)系，以此，在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該利用化歸的思想，通過數(shù)形結(jié)合，將問題形象化，簡單化去解決我們遇到的數(shù)學(xué)問題.

最后，筆者想說新知教學(xué)的設(shè)計(jì)不一定需要華麗的情境、層出不窮的變式，讓教學(xué)靜于心、精于型，讓學(xué)生想一想、靜下心才是常態(tài)課教學(xué)最返璞歸真之處.

1.吳成海.高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育應(yīng)著力于思維培養(yǎng)［J］.新課程（教育學(xué)術(shù)），2011（7）.

2.周湖平，李陽華.賞析幾道以斐波那契數(shù)列為背景的高考題和競賽題［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2013（1）.

3.王珂.數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的返璞歸真［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2014（7）.Z